初二数学精华

一元一次不等式和一元一次不等式组

不等式和它的基本性质

　　考点扫描：

　　1．了解不等式的意义。

　　2．掌握不等式的三条基本性质，并会运用这些基本性质将不等式变形。

　　名师精讲：

　　1．不等式的概念：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子，叫做不等式。

　　2．不等式的基本性质

　　（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。用式子表示：如果a>b，那a+c>b+c（或a–c>b–c）

　　（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。用式子表示：如果a>b，且c>0，那么ac>bc(或>)

　　（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。用式子表示：如果a>b，且c<0，那么ac<bc(或<)

　　3．不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据。不等式的性质与等式的性质类似，但等式的结论是“仍是等式”，而不等式的结论则是“不等号方向不变或改变”。在运用性质（2）和性质（3）时，要特别注意不等式的两边乘以或除以同一个数，首先认清这个数的性质符号，从而确定不等号的方向是否改变。

　　中考典例：

　　1．（天津市）若a>b，则下列不等式一定成立的是（　　 ）
　　A、<1　　B、>1　　C、–a>–b　　D、a–b>0

　　考点：不等式的性质

　　评析：不等式的性质是：不等式两边同时加上或减去同一个数（或整式）不等号不变；不等式两边同时乘以或除以正数不等号不变；不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向改变。因此a＞b，所以a、b均可为负数也可为正数，所以A、B选项都不对，C选项不等号的方向没改变，所以也不对，因a＞b，（a、b代表的是任意数）所以根据不等式的性质运用排除法，可知正确选项为D。

　　真题专练

　　1．（北京海淀区）比较大小：当实数a<0时，1+a 　　　　1–a(填“<”或“>”)

　　2．（广东省）已知实数a、b满足ab＞0，a+b＜0，则满足条件的实数a、b可分别为　　 (写出满足条件的两个数即可)。

　　3．（北京西城区）如果a＞b，那么下列结论中错误的是（　 ）
　　A、a–3＞b–3　　B、3a＞3b
　　C、＞　　　　D、–a＞–b　　

　　4．（北京海淀区）若a–b＜0，则下列各式中一定正确的是（　 ）
　　A、a＞b　　B、ab＞0　　C、　　D、–a＞–b　

　　5．（天津市）若a＞b，且c为实数则下列各式正确的是（　 ）
　　A、ac＞bc　　B、ac＜bc　　C、ac²＞bc²　　D、ac²≥bc²

　　6．（荆门市）已知a、b、c是有理数，且a＞b＞c，那么下列式子正确的是（　 ）
　　A、a+b＞b+c　　B、a–b＞b–c　　C、ab＞bc　　D、

　　答案：
　　1、<　　　2、–1，–2　　　3、D　　　4、D　

　　5、D（提示：按c＞0、c=0、c＜0三种情况讨论）　

　　6、A（提示：a、b、c是任意有理数，所以C、D不对，当C是负数或0时B不对，因a＞c故a+b＞b+c）

不等式的解集

　　考点扫描：

　　1．了解不等式的解和解集的概念。

　　2．会在数轴上表示不等式的解集。

　　名师精讲：

　　1．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解。一般地，一个一元一次不等式有无数多个解。

　　2．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

　　“不等式的解”与“不等式的解集”是两个不同的概念，前者是指能使不等式成立的每一个未知数的值，后者是指能使不等式成立的所有未知数的值的集合。但二者之间也有着密切联系，即所有解组成了解集，解集中包括了每一个解。

　　求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

　　3．不等式解集的表示方法。

　　（1）用不等式表示：如5x>10的解集是x>2，它的解集仍是一个不等式，这种表示法简单明了，容易知道哪些数不是原不等式的解。

　　（2）用数轴表示：它的优点是数形结合、直观形象，尤其是在解较复杂的不等式或解不等式组时，易于找到正确的答案。在数轴上表示不等式的解集时，要注意：当解集包括端点时，在端点处画实心圆圈，否则，画空心圆圈。

　　中考典例：

　　（龙岩市、宁德市）不等式2x+10＞3的解集是　　　　 。

　　考点：不等式的解集

　　评析：不等式的解集是使不等式成立的所有未知数的值组成的集合。该题可用不等式的性质两边同时减10，然后两边再除以2，求得解集为x>。

　　真题专练

　　1．（石家庄市）不等式–6x＞4的解集是（　 ）
　　A、x＞　　B、x＜　　C、x＞　　D、x＜

　　2．（宜昌市）如果不等式（a–1）x＞a–1的解集是x＜1，则a的取值范围是（ ）

　　3．（徐州市）不等式5x–4＜6x的解集是　　　　　　 。

　　4．（西安市）若代数式3x+4的值不大于0，则x的取值范围是（　 ）
　　A、x＜　　B、x≥　　C、x≤-　　D、x＜–

　　答案：

　　1、B；

　　2、a＜1（提示：因为不等号的方向改变了，所以a–1＜0，即a＜1）；

　　3、x＞–4；

　　4、C（提示：3x+4的值不大于0，即得不等式3x+4≤0）