两圆的公切线

第一课时 两圆的公切线（一）

　　教学目标：

　　（1）理解两圆相切长等有关概念，掌握两圆外公切线长的求法；

　　（2）培养学生的归纳、总结能力；

　　（3）通过两圆外公切线长的求法向学生渗透“转化”思想．

　　教学重点：

　　理解两圆相切长等有关概念，两圆外公切线的求法．

　　教学难点：

　　两圆外公切线和两圆外公切线长学生理解的不透，容易混淆．

　　教学活动设计

　　（一）实际问题（引入）

　　很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，给我们以一条直线和两个同时相切的形象．（这里是一种简单的数学建模，了解数学产生与实践）

　　（二）两圆的公切线概念

　　1、概念：

　　教师引导学生自学．给出两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义：

　　和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线．

　

　　(1)外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线．

　　(2)内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线．

　　(3)公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长．

　　2、理解概念：

　　(1)公切线的长与切线的长有何区别与联系?

　　(2)公切线的长与公切线又有何区别与联系?

　　(1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方，即都是线段的长．但公切线的长是对两个圆来说的，且这条线段是以两切点为端点；切线长是对一个圆来说的，且这条线段的一个端点是切点，另一个端点是圆外一点．

　　(2)公切线是直线，而公切线的长是两切点问线段的长，前者不能度量，后者可以度量．

　　（三）两圆的位置与公切线条数的关系

　　组织学生观察、概念、概括，培养学生的学习能力．添写教材P143练习第2题表．

　　（四）应用、反思、总结

　　例1、已知：⊙O₁、⊙O₂的半径分别为2cm和7cm，圆心距O₁O₂=13cm，AB是⊙O₁、⊙O₂的外公切线，切点分别是A、B．求：公切线的长AB．

　　分析：首先想到切线性质，故连结O₁A、O₂B，得直角梯形AO₁O₂B．一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质．（组织学生分析，教师点拨，规范步骤）

　　解：连结O₁A、O₂B，作O₁A⊥AB，O₂B⊥AB．

　　过 O₁作O₁C⊥O₂B，垂足为C，则四边形O₁ABC为矩形，

　　于是有

　　O₁C⊥C O₂，O₁C= AB，O₁A=CB．

　　在Rt△O₂CO₁和．

　　O₁O₂=13，O₂C= O₂B- O₁A=5

　　AB= O₁C= (cm)．

　　反思：（1）“转化”思想，构造三角形；（2）初步掌握添加辅助线的方法．

　　 例2*、如图，已知⊙O₁、⊙O₂外切于P，直线AB为两圆的公切线，A、B为切点，若PA=8cm，PB=6cm，求切线AB的长．

　　分析：因为线段AB是△APB的一条边，在△APB中，已知PA和PB的长，只需先证明△PAB是直角三角形，然后再根据勾股定理，使问题得解．证△PAB是直角三角形，只需证△APB中有一个角是90°(或证得有两角的和是90°)，这就需要沟通角的关系，故过P作两圆的公切线CD如图，因为AB是两圆的公切线，所以∠CPB=∠ABP，∠CPA=∠BAP．因为∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°，所以2∠CPA+2∠CPB=180°，所以∠CPA+∠CPB=90°，即∠APB=90°，故△APB是直角三角形，此题得解．

　　解：过点P作两圆的公切线CD

　　∵ AB是⊙O₁和⊙O₂的切线，A、B为切点

　　∴∠CPA=∠BAP　　∠CPB=∠ABP

　　又∵∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°

　　∴ 2∠CPA+2∠CPB=180°

　　∴∠CPA+∠CPB=90°　　即∠APB=90°

　　在 Rt△APB中，AB²=AP²+BP²

　　

　　说明：两圆相切时，常过切点作两圆的公切线，沟通两圆中的角的关系．

　　（五）巩固练习

　　1、当两圆外离时，外公切线、圆心距、两半径之差一定组成(　)

　　(A)直角三角形　(B)等腰三角形　(C)等边三角形　(D)以上答案都不对．

　　此题考察外公切线与外公切线长之间的差别，答案(D)

　　2、外公切线是指

　　(A)和两圆都祖切的直线　(B)两切点间的距离 

　　(C)两圆在公切线两旁时的公切线　(D)两圆在公切线同旁时的公切线

　　直接运用外公切线的定义判断．答案：(D)

　　3、教材P141练习（略）

　　（六）小结（组织学生进行）

　　知识：两圆的公切线、外公切线、内公切线及公切线的长概念；

　　能力：归纳、概括能力和求外公切线长的能力；

　　思想：“转化”思想．

　　（七）作业：P151习题10，11．

第二课时 两圆的公切线（二）

　　教学目标：

　　（1）掌握两圆内公切线长的求法以及公切线与连心线的夹角或公切线的交角；

　　（2）培养的迁移能力，进一步培养学生的归纳、总结能力；

　　（3）通过两圆内公切线长的求法进一步向学生渗透“转化”思想．

　　教学重点：

　　两圆内公切线的长及公切线与连心线的夹角或公切线的交角求法．

　　教学难点：

　　两圆内公切线和两圆内公切线长学生理解的不透，容易混淆．

　　教学活动设计

　　（一）复习基础知识

　　（1）两圆的公切线概念：公切线、内外公切线、内外公切线的长．

　　（2）两圆的位置与公切线条数的关系．（构成数形对应，且一一对应）

　　（二）应用、反思

　　例1、（教材例2）已知：⊙O₁和⊙O₂的半径分别为4厘米和2厘米，圆心距 为10厘米，AB是⊙O₁和⊙O₂的一条内公切线，切点分别是A，B．

　　求：公切线的长AB。

　　组织学生分析，迁移外公切线长的求法，既培养学生解决问题的能力，同时也培养学生学习的迁移能力．

　　解：连结O₁A、O₂B，作O₁A⊥AB，O₂B⊥AB．

　　过 O₁作O₁C⊥O₂B，交O₂B的延长线于C，

　　则O₁C= AB，O₁A=BC．

　　在Rt△O₂CO₁和．

　　　O₁O₂=10，O₂C= O₂B+ O₁A=6

　　　∴O₁C= (cm)．

　　　∴AB=8（cm）

　　反思：与外离两圆的内公切线有关的计算问题，常构造如此题的直角梯行及直角三角形，在Rt△O₂CO₁中，含有内公切线长、圆心距、两半径和重要数量．注意用解直角三角形的知识和几何知识综合去解构造后的直角三角形．

　　例2 （教材例3）要做一个图那样的矿型架，将两个钢管托起，已知钢管的外径分别为200毫米和80毫米，求V形角α的度数．

　　解：(略)

　　反思：实际问题经过抽象、化简转化成数学问题，应用数学知识来解决，这是解决实际问题的重要方法．它属于简单的数学建模．

　　组织学生进行，教师引导．

　　归纳：（1）用解直角三角形的有关知识可得：当公切线长l、两圆的两半径和R+r、圆心距d、两圆公切线的夹角α四个量中已知两个量时，就可以求出其他两个量．

， ；

　　（2）上述问题可以通过相似三角形和解三角形的知识解决．

　　（三）巩固训练

　　教材P142练习第1题，教材P145练习第1题．

　　学生独立完成，教师巡视，发现问题及时纠正．

　　（四）小结

　　（1）求两圆的内公切线，“转化”为解直角三角形问题．公切线长、圆心距、两半径和三个量中已知任何两个量，都可以求第三个量；

　　（2）如果两圆有两条外(或内)公切线，并且它们相交，那么交点一定在两圆的连心线上；

　　（3）求两圆两外(或内)公切线的夹角．

　　（五）作业

　　教材P153中12、13、14．

第三课时 两圆的公切线（三）

　　教学目标：

　　（1）理解两圆公切线在解决有关两圆相切的问题中的作用, 辅助线规律，并会应用；

　　（2）通过两圆公切线在证明题中的应用，培养学生的分析问题和解决问题的能力．

　　教学重点：

　　会在证明两圆相切问题时，辅助线的引法规律，并能应用于几何题证明中．

　　教学难点：

　　综合知识的灵活应用和综合能力培养．

　　教学活动设计

　　（一）复习基础知识

　　（1）两圆的公切线概念．

　　（2）切线的性质，弦切角等有关概念．

　　（二）公切线在解题中的应用

　　例1、如图，⊙O₁和⊙O₂外切于点A，BC是⊙O₁和⊙O₂的公切线，B，C为切点．若连结AB、AC会构成一个怎样的三角形呢？

　　

　　观察、度量实验（组织学生进行）

　　猜想：（学生猜想）∠BAC=90°

　　证明：过点A作⊙O₁和⊙O₂的内切线交BC于点O．

　　∵OA、OB是⊙O₁的切线，

　　∴OA=OB．

　　同理OA=OC．

　　∴ OA=OB=OC．

　　∴∠BAC=90°．

　　反思：（1）公切线是解决问题的桥梁，综合应用知识是解决问题的关键；（2）作两圆的公切线是常见的一种作辅助线的方法．

　　例2、己知：如图，⊙O₁和⊙O₂内切于P，大圆的弦AB交小圆于C，D．

　　求证：∠APC＝∠BPD．

　　分析：从条件来想，两圆内切，可能作出的辅助线是作连心线O₁O₂，或作外公切线．

　　证明：过P点作两圆的公切线MN．

　　∵∠MPC=∠PDC，∠MPN=∠B，

　　∴∠MPC－∠MPN=∠PDC－∠B，

　　即∠APC＝∠BPD．

　　反思：（1）作了两圆公切线MN后，弦切角就把两个圆中的圆周角联系起来了．要重视MN的“桥梁”作用．（2）此例证角相等的方法是利用已知角的关系计算．

　　拓展：（组织学生研究，培养学生深入研究问题的意识）

　　己知：如图，⊙O₁和⊙O₂内切于P，大圆⊙O₁的弦AB与小圆⊙O₂相切于C点．

　　是否有：∠APC＝∠BPC即PC平分∠APB．

　　答案：有∠APC＝∠BPC即PC平分∠APB．如图作辅助线，证明方法步骤参看典型例题中例4．

　　（三）练习

　　练习1、教材145练习第2题．

　　练习2、如图，已知两圆内切于P，大圆的弦AB切小圆于C，大圆的弦PD过C点．

　　求证：PA·PB=PD·PC．

　　证明：过点P作两圆的公切线EF

　　∵ AB是小圆的切线，C为切点

　　∴∠FPC=∠BCP，∠FPB=∠A

　　又∵∠1=∠BCP-∠A　　∠2=∠FPC-∠FPB

　　∴∠1=∠2　　∵∠A=∠D，∴△PAC∽△PDB

　　

　　∴PA·PB=PD·PC

　　说明：此题在例2题的拓展的基础上解得非常容易．

　　（三）总结

　　学习了两圆的公切线，应该掌握以下几个方面

　　1、由圆的轴对称性，两圆外(或内)公切线的交点(如果存在)在连心线上．

　　2、公切线长的计算，都转化为解直角三角形，故解题思路主要是构造直角三角形． 

　　3、常用的辅助线：

　　（1）两圆在各种情况下常考虑添连心线；

　　（2）两圆外切时，常添内公切线；两圆内切时，常添外公切线．

　　4、自己要有深入研究问题的意识，不断反思，不断归纳总结．

　　（四）作业教材P151习题中15，B组2．

探究活动

　　问题：如图1，已知两圆相交于A、B，直线CD与两圆分别相交于C、E、F、D．

　　(1)用量角器量出∠EAF与∠CBD的大小，根据量得结果，请你猜想∠EAF与∠CBD的大小之间存在怎样的关系，并证明你所得到的结论．

　　(2)当直线CD的位置如图2时，上题的结论是否还能成立?并说明理由．

　　(3)如果将已知中的“两圆相交”改为“两圆外切于点A”，其余条件不变（如图3），那么第（1）题所得的结论将变为什么？并作出证明．

　

　　提示：（1）（2）（3）都有∠EAF+∠CBD=180°．证明略（如图作辅助线）．

　　说明：问题从操作测量得到的实验数据入手，进行数据分析，归纳得出猜想，进而证明猜想成立．这也是数学发现的一种方法．第(2)、(3)题是对第(1)题结论的推广和特殊化．第(3)题中若CD移动到与两圆相切于点C、D，那么结论又将变为∠CAD＝90°．

《两圆的公切线》