数轴

教学目标

　　1．了解数轴的概念和数轴的画法，掌握数轴的三要素；

　　2．会用数轴上的点表示有理数，会利用数轴比较有理数的大小；

　　3．使学生初步了解数形结合的思想方法，培养学生相互联系的观点。

教学建议

　　一、重点、难点分析

　　本节的重点是初步理解数形结合的思想方法，正确掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数,并会比较有理数的大小．难点是正确理解有理数与数轴上点的对应关系。数轴的概念包含两个内容，一是数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可，二是这三个要素都是规定的。另外应该明确的是，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数。通过学习，使学生初步掌握用数轴解决问题的方法，为今后充分利用“数轴”这个工具打下基础．

　　二、知识结构　　

　　有了数轴，数和形得到了初步结合，这有利于对数学问题的研究，数形结合是理解数学、学好数学的重要思想方法，本课知识要点如下表：

定义

三要素

应用

数形结合

规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴

原 点

正方向

单位长度

帮助理解有理数的概念，每个有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点并非都是有理数

比较有理数大小，数轴上右边的数总比左边的数要大

　　在理解并掌握数轴概念的基础之上，要会画出数轴，能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点所表示的数，要知道所有的有理数都可以用数轴上的点表示，会利用数轴比较有理数的大小。

　　三、教法建议

　　小学里曾学过利用射线上的点来表示数，为此我们可引导学生思考：把射线怎样做些改进就可以用来表示有理数?伴以温度计为模型，引出数轴的概念.数轴是一条具有三个要素（原点、正方向、单位长度）的直线，这三个要素是判断一条直线是不是数轴的根本依据。数轴与它所在的位置无关，但为了教学上需要，一般水平放置的数轴，规定从原点向右为正方向。要注意原点位置选择的任意性。

　　关于有理数与数轴上的点的对应关系，应该明确的是有理数可以用数轴上的点表示，但数轴上的点与有理数并不存在一一对应的关系。根据几个有理数在数轴上所对应的点的相互位置关系，应该能够判断它们之间的大小关系。通过点与有理数的对应关系及其应用，逐步渗透数形结合的思想。

　　四、数轴的相关知识点

　　1．数轴的概念

　　（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．

　　    这里包含两个内容：一是数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可．二是这三个要素都是规定的．

　　（2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数．

　　    以数轴是理解有理数概念与运算的重要工具．有了数轴，数和形得到初步结合，数与表示数的图形（如数轴）相结合的思想是学习数学的重要思想．另外，数轴能直观地解释相反数，帮助理解绝对值的意义，还可以比较有理数的大小．因此，应重视对数轴的学习．

　　2．数轴的画法

　　（1）画直线（一般画成水平的）、定原点，标出原点“O”．

　　（2）取原点向右方向为正方向，并标出箭头．

　　（3）选适当的长度作为单位长度，并标出…，－3，－2，－1，1，2，3…各点。具体如下图。

　　（4）标注数字时，负数的次序不能写错，如下图。

　　3．用数轴比较有理数的大小

　　（1）在数轴上表示的两数，右边的数总比左边的数大。

　　（2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。

　　（3）比较大小时，用不等号顺次连接三个数要防止出现“ ”的写法，正确应写成“ ”。

　　五、数轴定义的理解

　　1.规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，如图1所示．

　　2.所有的有理数，都可以用数轴上的点表示．例如：在数轴上画出表示下列各数的点(如图2)．

　　A点表示-4； B点表示-1.5；

　　O点表示0； C点表示3.5；

　　D点表示6．

　　从上面的例子不难看出，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，又从正数和负数在数轴上的位置，可以知道：

　　正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．

　　因为正数都大于0，反过来，大于0的数都是正数，所以，我们可以用 ，表示 是正数；反之，知道 是正数也可以表示为 。

　　同理， ，表示 是负数；反之 是负数也可以表示为 。

　　      3．正数轴常见几种错误

　　1)没有方向

　　2)没有原点

　　3)单位长度不统一

　　教学设计示例

数轴(一)

　　教学目标

　　1．使学生正确理解数轴的意义，掌握数轴的三要素；

　　2．使学生学会由数轴上的已知点说出它所表示的数，能将有理数用数轴上的点表示出来；

　　3．使学生初步理解数形结合的思想方法．

　　教学重点和难点

　　重点：初步理解数形结合的思想方法，正确掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数．

　　难点：正确理解有理数与数轴上点的对应关系．

　　课堂教学过程设计

　　一、从学生原有认知结构提出问题

　　1．小学里曾用“射线”上的点来表示数，你能在射线上表示出1和2吗？

　　2．用“射线”能不能表示有理数？为什么？

　　3．你认为把“射线”做怎样的改动，才能用来表示有理数呢？

　　待学生回答后，教师指出，这就是我们本节课所要学习的内容——数轴．

　　二、讲授新课

　　让学生观察挂图——放大的温度计，同时教师给予语言指导：利用温度计可以测量温度，在温度计上有刻度，刻度上标有读数，根据温度计的液面的不同位置就可以读出不同的数，从而得到所测的温度．在0上10个刻度，表示10℃；在0下5个刻度，表示-5℃．

　　与温度计类似，我们也可以在一条直线上画出刻度，标上读数，用直线上的点表示正数、负数和零．具体方法如下(边说边画)：

　　1．画一条水平的直线，在这条直线上任取一点作为原点(通常取适中的位置，如果所需的都是正数，也可偏向左边)用这点表示0(相当于温度计上的0℃)；

　　2．规定直线上从原点向右为正方向(箭头所指的方向)，那么从原点向左为负方向(相当于温度计上0℃以上为正，0℃以下为负)；

　　3．选取适当的长度作为单位长度，在直线上，从原点向右，每隔一个长度单位取一点，依次表示为1，2，3，…从原点向左，每隔一个长度单位取一点，依次表示为-1，-2，-3，…

　　提问：我们能不能用这条直线表示任何有理数？(可列举几个数)

　　在此基础上，给出数轴的定义，即规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．

　　进而提问学生：在数轴上，已知一点P表示数-5，如果数轴上的原点不选在原来位置，而改选在另一位置，那么P对应的数是否还是-5？如果单位长度改变呢？如果直线的正方向改变呢？

　　通过上述提问，向学生指出：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度，缺一不可．

　　三、运用举例  变式练习

　　例1  画一个数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：

　　例2  指出数轴上A，B，C，D，E各点分别表示什么数．

　　课堂练习

　　

　　示出来．

　　2．说出下面数轴上A，B，C，D，O，M各点表示什么数？

　　最后引导学生得出结论：正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，零用原点表示．

　　四、小结

　　指导学生阅读教材后指出：数轴是非常重要的数学工具，它使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示了数和形之间的内在联系，为我们研究问题提供了新的方法．

　　本节课要求同学们能掌握数轴的三要素，正确地画出数轴，在此还要提醒同学们，所有的有理数都可用数轴上的点来表示，但是反过来不成立，即数轴上的点并不是都表示有理数，至于数轴上的哪些点不能表示有理数，这个问题以后再研究．

　　五、作业

　　1．在下面数轴上：

　　(1)分别指出表示-2，3，-4，0，1各数的点．

　　(2)A，H，D，E，O各点分别表示什么数？

　　2．在下面数轴上，A，B，C，D各点分别表示什么数？

　　3．下列各小题先分别画出数轴，然后在数轴上画出表示大括号内的一组数的点：

　　(1)｛-5，2，-1，-3，0｝； (2)｛-4，2.5，-1.5，3.5｝；

　　

　　课堂教学设计说明

　　从学生已有知识、经验出发研究新问题，是我们组织教学的一个重要原则．小学里曾学过利用射线上的点来表示数，为此我们可引导学生思考：把射线怎样做些改进就可以用来表示有理数？伴以温度计为模型，引出数轴的概念．教学中，数轴的三要素中的每一要素都要认真分析它的作用，使学生从直观认识上升到理性认识．直线、数轴都是非常抽象的数学概念，当然对初学者不宜讲的过多，但适当引导学生进行抽象的思维活动还是可行的．例如，向学生提问：在数轴上对应一亿万分之一的点，你能画出来吗？它是不是存在等．

 

数   轴（二）

　　一、素质教育目标

　　（一）知识教学点

　　1．掌握数轴的三要素，能正确画出数轴．

　　2．能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点所表示的数．

　　（二）能力训练点

　　1．使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，逐步形成应用数学的意识．

　　2．对学生渗透数形结合的思想方法．

　　（三）德育渗透点

　　使学生初步了解数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点．

　　（四）美育渗透点

　　通过画数轴，给学生以图形美的教育，同时由于数形的结合，学生会得到和谐美的享受．

　　二、学法引导

　　1．教学方法：根据教师为主导，学生为主体的原则，始终贯穿“激发情趣—手脑并用—启发诱导—反馈矫正”的教学方法．

　　2．学生学法：动手画数轴，动脑概括数轴的三要素，动手、动脑做练习．

　　三、重点、难点、疑点及解决办法

　　1．重点：正确掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数．

　　2．难点：有理数和数轴上的点的对应关系。

　　四、课时安排

　　1课时

　　五、教具学具准备

　　电脑、投影仪、自制胶片．

　　六、师生互动活动设计

　　师生同步画数轴，学生概括数轴三要素，师出示投影，生动手动脑练习

　　七、教学步骤

　　（一）创设情境，引入新课

　　师：大家知识温度计的用途是什么？

　　生：温度计可以测量温度

　　（出示投影1）

　　三个温度计．其中一个温度计的液面在0上20个刻度，一个温度计的液面在0下5个刻度，一个温度计的液面在0刻度．

　　师：三个温度计所表示的温度是多少？

　　生：2℃，－5℃，0℃．

　　我们能否用类似温度计的图形表示有理数呢？

　　这种表示数的图形就是今天我们要学的内容—数轴（板书课题）．

　　【教法说明】从温度计用标有读数的刻度来表示温度的高低这个事实出发，引出本节课所要学的内容—数轴．再从温度计这个实物形象抽象出数轴来研究．既激发了学生的学习兴趣，又使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，培养了用数学的意识．

　　（二）探索新知，讲授新课

　　1．数轴的画法

　　与温度计类似，可以在一条直线上画出刻度，标上读数，用直线上的点表示正数、负数和零，具体做法如下：

　　第一步：画直线定原点 原点表示0（相当于温度计上的0℃）．

　　第二步：规定从原点向右的为正方向 那么相反的方向（从原点向左）则为负方向．（相当于温度计上℃以上为正，0℃以下为负）．

　　第三步：选择适当的长度为单位长度 （相当于温度计上每1℃占1小格的长度）．

　　【教法说明】教师边讲解边示范，学生跟着一起画图．培养学生动手、动脑和实际操作能力，同时，把类比作为一种重要方法贯穿于概念形成过程的始终，让学生在认知过程中领悟这种思想方法．

　　让学生观察画好的直线，思考以下问题：

　　（出示投影1）

　　（1）原点表示什么数？

　　（2）原点右方表示什么数？原点左方表示什么数？

　　（3）表示＋2的点在什么位置？表示－1的点在什么位置？

　　（4）原点向右0.5个单位长度的A点表示什么数？原点向左 个单位长度的B点表示什么数？

　　根据老师画图的步骤，学生思考在一条水平的直线上都画出什么？然后归纳出数轴的定义．

　　学生活动：同学们思考，并要求同桌相互叙述，互相纠正补充，语句通顺后举手回答．大家思考准备更正或补充．

　　【教法说明】通过“观察—类比—思考—概括—表达”展现知识的形成是从感性认识上升到理性认识的过程，让学生在获取知识的过程中，领会数学思想和思维方法，并有意识地训练学生归纳概括和口头表达能力．

　　教师根据学生回答给予肯定或否定，纠正后板书．

　　2．数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．

　　向学生提出问题：数轴上为什么要规定原点、正方向和单位长度呢？它们各起什么作用？引导学生结合温度订正确回答这个问题，从而知道数轴三要素的重要性，了解三者缺一不可，认识和掌握判断一条直线是不是数轴的依据．

　　学生活动：同桌之间、前后桌之间讨论．使学生从直观认识上升到理性认识．

　　3．尝试反馈，巩固练习

　　请大家回答下列问题：

　　（出示投影2）

　　（1）有人说一条直线是一条数轴，对不对？为什么？

　　（2）下列所画数轴对不对？如果不对，指出错在哪里？

　　　

　　学生活动：学生思考，不准讨论，想好后举手回答．

　　让其他学生对其回答进行评判，对确有疑问的题目，教师给予讲解．

　　【教法说明】此组练习的目的是巩固数轴的概念．

　　答案：（2）①缺原点，②缺正方向，③数轴不是射线而是直线，④缺单位长度，⑥提醒学生注意在同一数轮上必须用同一单位长度进行度量．⑤⑦是数轴，同时⑦为学习平面直角坐标系打基础．

　　4．有理数与数轴上点的关系

　　通过刚才的学习我们知道所有的有理数都可以用数轴上的点来表示．

　　例1  画一条数轴，并画出表示下列各数的点：

　　1，5，0，－2.5， ．

　　学生练习：同学们在练习本上画一条数轴，然后在数轴上标出各点，一名学生板演．教师巡回指导，发现问题及时纠正．

　　【教法说明】让学生动手自己画数轴，有助于培养学生实际操作能力．例1是把给定的有理数用数轴上的点来表示，完成由“数”到“形”的思维过程，有助于学生加深对数轴概念的理解．

　　（出示投影4）

　　例2　指出数轴上 A、B、C、D、E各点分别表示什么数？

　　先让学生思考一会，然后学生举手回答

　　解：A表示－3；B表示 ； C表示3；D表示 ；E表 ．

　　【教法说明】例2是让学生说出数轴上的点表示的有理数，完成了由“形”到“数”的思维过程．例1、例2从各自不同的两个侧面，体现出数形结合，渗透了数形之间相互转化的数学思想．
　5．尝试反馈，巩固练习

　　（出示投影5）

　　①说出下面数轴上A、B、C、D、O、M各点表示什么数？

　　②将－3， ，1.5，－6， ，2.25， ，－5，1

　　各数用数轴上的点表示出来．

　　【教法说明】①题由点读数练习，②题由数找点练习，进一步巩固加深本节所学的内容．

　　（三）归纳小结

　　师：①数轴是非常重要的数学工具，它使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示数与形之间的内在联系，是帮助学生理解数学、学习数学的重要思想方法．本章有理数的有关性质和运算都是结合数轴进行的．

　　②掌握数轴三要素，正确地画出数轴，提醒同学们，所有的有理数都可用数轴上的各点来表示，但是反过来不成立，即数轴上的各点，并不是都表示有理数．以后再研究．

　　八、随堂练习

　　1．判断题

　　（1）直线就是数轴（　　）

　　（2）数轴是直线（　　）

　　（3）任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示（　　）

　　（4）数轴上到原点距离等于3的点所表示的数是＋3（　　）

　　（5）数轴上原点左边表示的数是负数，右边表示的数是正数，原点表示的数是0．（　　）

　　2．画一条数轮，并画出表示下列各数的点

　　 ，－5，0，＋3.2，－1.4

　　九、布置作业

　　（－）必做题：课本第56页1、2．

　　（二）选做题：课本第56页及第57页B组l．

　　（三）思考题：

　　①在数轮上距原点3个单位长度的点表示的数是_____________

　　②在数轮上表示－6的点在原点的___________侧，距离原点___________个单位长度，表示＋6的点在原点的__________侧，距离原点____________个单位长度．

　　【教法说明】由于学生在知识、技能、能力方面发展不尽相同，所以分层次地布置作业，兼顾学习有困难和学有余力的学生，使他们都能达到大纲中规定的基本要求，并使部分学生能发展他们的数学才能．

　　十、板书设计

　　随堂练习答案

　　1．× √ √ × √      2．略

　　作业答案

　　（一）必做题

　　1．（1）依次是

　　  （2）依次是

　　2．依次是

　　（二）选做题：

　　3．略  B组1．（1）－6，（2）－1，（3）3；（4）0

　　（三）思考题：①  ②左，6，右，6

探究活动

　　(1)在数轴上表示出距离原点3个单位长度和4.5个单位长度的点，并用“＜”号将这些点所表示的数排列起来；

　　(2)写出比-4大但不大于2的所有整数．

　　分析：画数轴时，数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可．

　　(1)在数轴上，距离原点3个单位长度和4.5个单位长度的点各有两个，它们分别在原点两旁且关于原点对称．画出这些点，这些点所表示的数的大小就排列出来了；

　　(2)在数轴上画出大于-4但不大于2的数的范围，这个范围内整数点所表示的整数就是所求．“不大于2”的意思是小于或等于2．

　　解：(1)数轴上，距离原点3个单位的点是+3和-3，距离原点4.5个单位的点是+4.5和-4.5．

　　由图看出：

-4.5＜-3＜3＜4.5

　　(2)在数轴上画出大于-4但不大于2的数的范围．

　　由图知，大于-4但不大于2的整数是：-3，-2，-1，0，1，2．

　　点评：利用数轴，数形结合，是解这一类问题的好方法．