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数轴


教学目标

  1.了解数轴的概念和数轴的画法,掌握数轴的三要素;

  2.会用数轴上的点表示有理数,会利用数轴比较有理数的大小;

  3.使学生初步了解数形结合的思想方法,培养学生相互联系的观点。


教学建议

  一、重点、难点分析

  本节的重点是初步理解数形结合的思想方法,正确掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数,并会比较有理数的大小.难点是正确理解有理数与数轴上点的对应关系。数轴的概念包含两个内容,一是数轴的三要素:原点、正方向、单位长度缺一不可,二是这三个要素都是规定的。另外应该明确的是,所有的有理数都可用数轴上的点表示,但数轴上的点所表示的数并不都是有理数。通过学习,使学生初步掌握用数轴解决问题的方法,为今后充分利用“数轴”这个工具打下基础.

  二、知识结构  

  有了数轴,数和形得到了初步结合,这有利于对数学问题的研究,数形结合是理解数学、学好数学的重要思想方法,本课知识要点如下表:

定义

三要素

应用

数形结合

规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴

原 点

正方向

单位长度

帮助理解有理数的概念,每个有理数都可用数轴上的点表示,但数轴上的点并非都是有理数

比较有理数大小,数轴上右边的数总比左边的数要大

  在理解并掌握数轴概念的基础之上,要会画出数轴,能将已知数在数轴上表示出来,能说出数轴上已知点所表示的数,要知道所有的有理数都可以用数轴上的点表示,会利用数轴比较有理数的大小。

  三、教法建议

  小学里曾学过利用射线上的点来表示数,为此我们可引导学生思考:把射线怎样做些改进就可以用来表示有理数?伴以温度计为模型,引出数轴的概念.数轴是一条具有三个要素(原点、正方向、单位长度)的直线,这三个要素是判断一条直线是不是数轴的根本依据。数轴与它所在的位置无关,但为了教学上需要,一般水平放置的数轴,规定从原点向右为正方向。要注意原点位置选择的任意性。

  关于有理数与数轴上的点的对应关系,应该明确的是有理数可以用数轴上的点表示,但数轴上的点与有理数并不存在一一对应的关系。根据几个有理数在数轴上所对应的点的相互位置关系,应该能够判断它们之间的大小关系。通过点与有理数的对应关系及其应用,逐步渗透数形结合的思想。

  四、数轴的相关知识点

  1.数轴的概念

  (1)规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

      这里包含两个内容:一是数轴的三要素:原点、正方向、单位长度缺一不可.二是这三个要素都是规定的.

  (2)数轴能形象地表示数,所有的有理数都可用数轴上的点表示,但数轴上的点所表示的数并不都是有理数.

      以数轴是理解有理数概念与运算的重要工具.有了数轴,数和形得到初步结合,数与表示数的图形(如数轴)相结合的思想是学习数学的重要思想.另外,数轴能直观地解释相反数,帮助理解绝对值的意义,还可以比较有理数的大小.因此,应重视对数轴的学习

  2.数轴的画法

  (1)画直线(一般画成水平的)、定原点,标出原点“O”.

  (2)取原点向右方向为正方向,并标出箭头.

  (3)选适当的长度作为单位长度,并标出…,-3,-2,-1,1,2,3…各点。具体如下图。

  

  (4)标注数字时,负数的次序不能写错,如下图。

  

  3.用数轴比较有理数的大小

  (1)在数轴上表示的两数,右边的数总比左边的数大。

  (2)由正、负数在数轴上的位置可知:正数都有大于0,负数都小于0,正数大于一切负数。

  (3)比较大小时,用不等号顺次连接三个数要防止出现“ ”的写法,正确应写成“ ”。

  五、数轴定义的理解

  1.规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴,如图1所示.

  2.所有的有理数,都可以用数轴上的点表示.例如:在数轴上画出表示下列各数的点(如图2).

  A点表示-4; B点表示-1.5;

  O点表示0; C点表示3.5;

  D点表示6.

  从上面的例子不难看出,在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大,又从正数和负数在数轴上的位置,可以知道:

  正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数.

  因为正数都大于0,反过来,大于0的数都是正数,所以,我们可以用 ,表示 是正数;反之,知道 是正数也可以表示为 。

  同理, ,表示 是负数;反之 是负数也可以表示为 。

        3.正数轴常见几种错误

  1)没有方向

  

  2)没有原点

  

  3)单位长度不统一

  教学设计示例

数轴(一)

  教学目标

  1.使学生正确理解数轴的意义,掌握数轴的三要素;

  2.使学生学会由数轴上的已知点说出它所表示的数,能将有理数用数轴上的点表示出来;

  3.使学生初步理解数形结合的思想方法.

  教学重点和难点

  重点:初步理解数形结合的思想方法,正确掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数.

  难点:正确理解有理数与数轴上点的对应关系.

  课堂教学过程设计

  一、从学生原有认知结构提出问题

  1.小学里曾用“射线”上的点来表示数,你能在射线上表示出1和2吗?

  2.用“射线”能不能表示有理数?为什么?

  3.你认为把“射线”做怎样的改动,才能用来表示有理数呢?

  待学生回答后,教师指出,这就是我们本节课所要学习的内容——数轴.

  二、讲授新课

  让学生观察挂图——放大的温度计,同时教师给予语言指导:利用温度计可以测量温度,在温度计上有刻度,刻度上标有读数,根据温度计的液面的不同位置就可以读出不同的数,从而得到所测的温度.在0上10个刻度,表示10℃;在0下5个刻度,表示-5℃.

  与温度计类似,我们也可以在一条直线上画出刻度,标上读数,用直线上的点表示正数、负数和零.具体方法如下(边说边画):

  1.画一条水平的直线,在这条直线上任取一点作为原点(通常取适中的位置,如果所需的都是正数,也可偏向左边)用这点表示0(相当于温度计上的0℃);

  2.规定直线上从原点向右为正方向(箭头所指的方向),那么从原点向左为负方向(相当于温度计上0℃以上为正,0℃以下为负);

  3.选取适当的长度作为单位长度,在直线上,从原点向右,每隔一个长度单位取一点,依次表示为1,2,3,…从原点向左,每隔一个长度单位取一点,依次表示为-1,-2,-3,…

  提问:我们能不能用这条直线表示任何有理数?(可列举几个数)

  在此基础上,给出数轴的定义,即规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

  进而提问学生:在数轴上,已知一点P表示数-5,如果数轴上的原点不选在原来位置,而改选在另一位置,那么P对应的数是否还是-5?如果单位长度改变呢?如果直线的正方向改变呢?

  通过上述提问,向学生指出:数轴的三要素——原点、正方向和单位长度,缺一不可.

  三、运用举例  变式练习

  1  画一个数轴,并在数轴上画出表示下列各数的点:

  2  指出数轴上A,B,C,D,E各点分别表示什么数.

  课堂练习

  

  示出来.

  2.说出下面数轴上A,B,C,D,O,M各点表示什么数?

  最后引导学生得出结论:正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,零用原点表示.

  四、小结

  指导学生阅读教材后指出:数轴是非常重要的数学工具,它使数和直线上的点建立了对应关系,它揭示了数和形之间的内在联系,为我们研究问题提供了新的方法.

  本节课要求同学们能掌握数轴的三要素,正确地画出数轴,在此还要提醒同学们,所有的有理数都可用数轴上的点来表示,但是反过来不成立,即数轴上的点并不是都表示有理数,至于数轴上的哪些点不能表示有理数,这个问题以后再研究.

  五、作业

  1.在下面数轴上:

  (1)分别指出表示-2,3,-4,0,1各数的点.

  (2)A,H,D,E,O各点分别表示什么数?

  2.在下面数轴上,A,B,C,D各点分别表示什么数?

  3.下列各小题先分别画出数轴,然后在数轴上画出表示大括号内的一组数的点:

  (1){-5,2,-1,-3,0}; (2){-4,2.5,-1.5,3.5};

  

  课堂教学设计说明

  从学生已有知识、经验出发研究新问题,是我们组织教学的一个重要原则.小学里曾学过利用射线上的点来表示数,为此我们可引导学生思考:把射线怎样做些改进就可以用来表示有理数?伴以温度计为模型,引出数轴的概念.教学中,数轴的三要素中的每一要素都要认真分析它的作用,使学生从直观认识上升到理性认识.直线、数轴都是非常抽象的数学概念,当然对初学者不宜讲的过多,但适当引导学生进行抽象的思维活动还是可行的.例如,向学生提问:在数轴上对应一亿万分之一的点,你能画出来吗?它是不是存在等.

 

数   轴(二)

  一、素质教育目标

  (一)知识教学点

  1.掌握数轴的三要素,能正确画出数轴.

  2.能将已知数在数轴上表示出来,能说出数轴上已知点所表示的数.

  (二)能力训练点

  1.使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练,逐步形成应用数学的意识.

  2.对学生渗透数形结合的思想方法.

  (三)德育渗透点

  使学生初步了解数学来源于实践,反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点.

  (四)美育渗透点

  通过画数轴,给学生以图形美的教育,同时由于数形的结合,学生会得到和谐美的享受.

  二、学法引导

  1.教学方法:根据教师为主导,学生为主体的原则,始终贯穿“激发情趣—手脑并用—启发诱导—反馈矫正”的教学方法.

  2.学生学法:动手画数轴,动脑概括数轴的三要素,动手、动脑做练习.

  三、重点、难点、疑点及解决办法

  1.重点:正确掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数.

  2.难点:有理数和数轴上的点的对应关系。

  四、课时安排

  1课时

  五、教具学具准备

  电脑、投影仪、自制胶片.

  六、师生互动活动设计

  师生同步画数轴,学生概括数轴三要素,师出示投影,生动手动脑练习

  七、教学步骤

  (一)创设情境,引入新课

  师:大家知识温度计的用途是什么?

  生:温度计可以测量温度

  (出示投影1)

  三个温度计.其中一个温度计的液面在0上20个刻度,一个温度计的液面在0下5个刻度,一个温度计的液面在0刻度.

  师:三个温度计所表示的温度是多少?

  生:2℃,-5℃,0℃.

  我们能否用类似温度计的图形表示有理数呢?

  这种表示数的图形就是今天我们要学的内容—数轴(板书课题).

  【教法说明】从温度计用标有读数的刻度来表示温度的高低这个事实出发,引出本节课所要学的内容—数轴.再从温度计这个实物形象抽象出数轴来研究.既激发了学生的学习兴趣,又使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练,培养了用数学的意识.

  (二)探索新知,讲授新课

  1.数轴的画法

  与温度计类似,可以在一条直线上画出刻度,标上读数,用直线上的点表示正数、负数和零,具体做法如下:

  第一步:画直线定原点 原点表示0(相当于温度计上的0℃).

  第二步:规定从原点向右的为正方向 那么相反的方向(从原点向左)则为负方向.(相当于温度计上℃以上为正,0℃以下为负).

  第三步:选择适当的长度为单位长度 (相当于温度计上每1℃占1小格的长度).

  【教法说明】教师边讲解边示范,学生跟着一起画图.培养学生动手、动脑和实际操作能力,同时,把类比作为一种重要方法贯穿于概念形成过程的始终,让学生在认知过程中领悟这种思想方法.

  让学生观察画好的直线,思考以下问题:

  (出示投影1)

  (1)原点表示什么数?

  (2)原点右方表示什么数?原点左方表示什么数?

  (3)表示+2的点在什么位置?表示-1的点在什么位置?

  (4)原点向右0.5个单位长度的A点表示什么数?原点向左 个单位长度的B点表示什么数?

  根据老师画图的步骤,学生思考在一条水平的直线上都画出什么?然后归纳出数轴的定义.

  学生活动:同学们思考,并要求同桌相互叙述,互相纠正补充,语句通顺后举手回答.大家思考准备更正或补充.

  【教法说明】通过“观察—类比—思考—概括—表达”展现知识的形成是从感性认识上升到理性认识的过程,让学生在获取知识的过程中,领会数学思想和思维方法,并有意识地训练学生归纳概括和口头表达能力.

  教师根据学生回答给予肯定或否定,纠正后板书.

  2.数轴的定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

  向学生提出问题:数轴上为什么要规定原点、正方向和单位长度呢?它们各起什么作用?引导学生结合温度订正确回答这个问题,从而知道数轴三要素的重要性,了解三者缺一不可,认识和掌握判断一条直线是不是数轴的依据.

  学生活动:同桌之间、前后桌之间讨论.使学生从直观认识上升到理性认识.

  3.尝试反馈,巩固练习

  请大家回答下列问题:

  (出示投影2)

  (1)有人说一条直线是一条数轴,对不对?为什么?

  (2)下列所画数轴对不对?如果不对,指出错在哪里?

   

  学生活动:学生思考,不准讨论,想好后举手回答.

  让其他学生对其回答进行评判,对确有疑问的题目,教师给予讲解.

  【教法说明】此组练习的目的是巩固数轴的概念.

  答案:(2)①缺原点,②缺正方向,③数轴不是射线而是直线,④缺单位长度,⑥提醒学生注意在同一数轮上必须用同一单位长度进行度量.⑤⑦是数轴,同时⑦为学习平面直角坐标系打基础.

  4.有理数与数轴上点的关系

  通过刚才的学习我们知道所有的有理数都可以用数轴上的点来表示.

  例1  画一条数轴,并画出表示下列各数的点:

  1,5,0,-2.5, .

  学生练习:同学们在练习本上画一条数轴,然后在数轴上标出各点,一名学生板演.教师巡回指导,发现问题及时纠正.

  【教法说明】让学生动手自己画数轴,有助于培养学生实际操作能力.例1是把给定的有理数用数轴上的点来表示,完成由“数”到“形”的思维过程,有助于学生加深对数轴概念的理解.

  (出示投影4)

  例2 指出数轴上 A、B、C、D、E各点分别表示什么数?

  先让学生思考一会,然后学生举手回答

  解:A表示-3;B表示 ; C表示3;D表示 ;E表 .

  【教法说明】例2是让学生说出数轴上的点表示的有理数,完成了由“形”到“数”的思维过程.例1、例2从各自不同的两个侧面,体现出数形结合,渗透了数形之间相互转化的数学思想.
 5.尝试反馈,巩固练习

  (出示投影5)

  ①说出下面数轴上A、B、C、D、O、M各点表示什么数?

  ②将-3, ,1.5,-6, ,2.25, ,-5,1

  各数用数轴上的点表示出来.

  【教法说明】①题由点读数练习,②题由数找点练习,进一步巩固加深本节所学的内容.

  (三)归纳小结

  师:①数轴是非常重要的数学工具,它使数和直线上的点建立了对应关系,它揭示数与形之间的内在联系,是帮助学生理解数学学习数学的重要思想方法.本章有理数的有关性质和运算都是结合数轴进行的.

  ②掌握数轴三要素,正确地画出数轴,提醒同学们,所有的有理数都可用数轴上的各点来表示,但是反过来不成立,即数轴上的各点,并不是都表示有理数.以后再研究.

  八、随堂练习

  1.判断题

  (1)直线就是数轴(  )

  (2)数轴是直线(  )

  (3)任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示(  )

  (4)数轴上到原点距离等于3的点所表示的数是+3(  )

  (5)数轴上原点左边表示的数是负数,右边表示的数是正数,原点表示的数是0.(  )

  2.画一条数轮,并画出表示下列各数的点

   ,-5,0,+3.2,-1.4

  九、布置作业

  (-)必做题:课本第56页1、2.

  (二)选做题:课本第56页及第57页B组l.

  (三)思考题:

  ①在数轮上距原点3个单位长度的点表示的数是_____________

  ②在数轮上表示-6的点在原点的___________侧,距离原点___________个单位长度,表示+6的点在原点的__________侧,距离原点____________个单位长度.

  【教法说明】由于学生在知识、技能、能力方面发展不尽相同,所以分层次地布置作业,兼顾学习有困难和学有余力的学生,使他们都能达到大纲中规定的基本要求,并使部分学生能发展他们的数学才能.

  十、板书设计

  随堂练习答案

  1.× √ √ × √      2.略

  作业答案

  (一)必做题

  1.(1)依次是

    (2)依次是

  2.依次是

  (二)选做题:

  3.略  B组1.(1)-6,(2)-1,(3)3;(4)0

  (三)思考题:①  ②左,6,右,6

探究活动

  (1)在数轴上表示出距离原点3个单位长度和4.5个单位长度的点,并用“<”号将这些点所表示的数排列起来;

  (2)写出比-4大但不大于2的所有整数.

  分析:画数轴时,数轴的三要素:原点、正方向、单位长度缺一不可.

  (1)在数轴上,距离原点3个单位长度和4.5个单位长度的点各有两个,它们分别在原点两旁且关于原点对称.画出这些点,这些点所表示的数的大小就排列出来了;

  (2)在数轴上画出大于-4但不大于2的数的范围,这个范围内整数点所表示的整数就是所求.“不大于2”的意思是小于或等于2.

  解:(1)数轴上,距离原点3个单位的点是+3和-3,距离原点4.5个单位的点是+4.5和-4.5.

  由图看出:

-4.5<-3<3<4.5

  (2)在数轴上画出大于-4但不大于2的数的范围.

  由图知,大于-4但不大于2的整数是:-3,-2,-1,0,1,2.

  点评:利用数轴,数形结合,是解这一类问题的好方法.


《数轴》
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