正数与负数

教学目标

　　1．使学生理解正数与负数的概念，并会判断一个给定的数是正数还是负数；

　　2. 会初步应用正负数表示具有相反意义的量；

　　3．使学生初步了解有理数的意义，并能将给出的有理数进行分类；

　　4．培养学生逐步树立分类讨论的思想；

　　5. 通过本节课的教学，渗透对立统一的辩证思想。
教学建议

　　一、重点、难点分析

　　本课的重点是了解正数与负数是由实际需要产生的以及有理数包括哪些数。难点是学习负数的必要性及有理数的分类。关键是要能准确地举出具有相反意义的量的典型例子以及要明确有理数分类的标准。

　　正、负数的引入，有各种不同的方法。教材是由学生熟知的两个实例：温度与海拔高度引入的。比0℃高5摄氏度记作5℃，比0 ℃低5摄氏度，记作－5℃；比海平面高8848米，记作8848米，比海平面低155米记作－155米。由这两个实例很自然地，把大于0的数叫做正数，把加“－”号的数叫做负数；0既不是正数也不是负数，是一个中性数，表示度量的“基准”。这样引入正、负数，不仅有利于学生正确使用正、负数表示具有相反意义的量，而且还将帮助学生理解有理数的大小性质。把负数理解为小于0的数。教材中，没有出现“具有相反意义的量”的概念。这是有意回避或淡化这个概念。目的是，从正、负数引入一开始就能较深刻的揭示正、负数和零的性质，帮助学生正确理解正、负数的概念。

　　关于有理数的分类要明确的是：分类标准不同，分类结果也不同，分类结果应是不重不漏，即每一个数必须属于某一类，又不能同时属于不同的两类。

　　二、知识结构

　　1．正数、负数和零的概念

正数

负数

零

　　
象1、2.5、 、48等大于零的数叫正数

象-1、-2.5， ，-48等小于零的数叫负数

0叫做零，0既不是正数也不是负数

　　2．有理数的分类

　　

　　

　　三、教法建议

　　这节课是在小学里学过的数的基础上，从表示具有相反意义的量引进负数的．从内容上讲，负数比非负数要抽象、难理解．因此在教学方法和教学语言的选择上，尽可能注意中小学的衔接，既不违反科学性，又符合可接受性原则。例如，在讲解有理数的概念时，让学生清楚地认识有理数与算术数的根本区别，有理数是由两部分组成：符号部分和数字部分(即算术数)．这样，在理解算术数和负数的基础上，对有理数的概念的理解就简便多了．　

　　为了使学生掌握必要的数学思想和方法，在明确有理数的分类时，可以有意识地渗透分类讨论的思想方法，理解分类的标准、分类的结果，以及它们的相互联系。通过正数、负数都统一于有理数，可以将对立统一的辩证思想的逐步树立渗透到日常教学中。

　　四、正数与负数概念的理解

　　1﹒对于正数和负数的概念，不能简单的理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。例如： 一定是负数吗？答案是不一定。因为字母 可以表示任意的数，若 表示正数时， 是负数；当 表示0时， 就在0的前面加一个负号，仍是0，0不分正负；当 表示负数时， 就不是负数了，它是一个正数，这些下节将进一步研究。

　　2﹒引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大为整数，整数也可以分为奇数和偶数两类，能被2整除的数是偶数，如…－6，－4，－2，0，2，4，6…，不能被2整除的数是奇数，如…－5，－4，－2，1，3，5…

　　3﹒到现在为止，我们学过的数细分有五类：正整数、正分数、0、负整数、负分数，但研究问题时，通常把有理数分为三类：正数、0、负数，进行讨论。

　　4﹒通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数；负整数和0统称为非正整数。

　　五、有理数的分类

　　整数和分数统称为有理数。

　　1）正整数、零、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。这样有理数按整数、分数的关系分类为：

　　

　　2）整数也可以看作分母为1的分数，但为了研究方便，本章中分数是指不包括整数的分数。因此，有理数按正数、负数、0的关系还可分类为：

　　

　　3）注意概念中所用“统称”二字，它与说“整数和分数是有理数”的意思不大一样。前者回避了分数是否包括整数的问题，即使把整数包括在分数范围内，说“统称”还是不错，而用后一种说法就欠妥了。

　　4）分数和小数的区别：

　　分数（既约分数）都可表示成小数，但不是所有的小数都能表示成分数的。如圆周率就不能表示成分数。

　　5）到目前为止，所学过的数（除外）都是有理数。

教学设计示例

正数与负数(一)

　　一、素质教育目标

　　（一）知识教学点

　　1．了解：正数与负数是实际需要的．

　　2．掌握：会判断一个数是正数还是负数．

　　3．应用：会初步应用正负数表示温度、海拔高度等互为相反数意义的量．

　　（二）能力训练点

　　通过正数、负数的学习，培养学生应用数学知识的意识，训练学生善于运用新知识解决实际问题的能力．

　　（三）德育渗透点

　　1．从实际问题引入正数、负数，然后通过实例巩固，让学生感知到数学知识来源于生活并为生活服务．

　　2．通过正负数的学习，渗透对立、统一的辩证思想．

　　（四）美育渗透点

　　通过引人负数，学生会感觉得小学里学的数是“不全”的，从而通过本节课的教学，给学生以完整美的享受．

　　二、学法引导

　　1．教学方法：采用直观演示法，教师注意创设问题情境并及时点拨，让学生从实例之中自得知识．

　　2．学生学法：研究实际问题→认识负数→负数在实际中的应用

　　三、重点、难点、疑点及解决办法

　　1．重点：会判断正数、负数，运用正负数表示具有相反意义的量．

　　2．难点：负数的引入．

　　3．疑点：负数概念的建立．

　　四、课时安排

　　2课时

　　五、教具学具准备

　　投影仪（电脑）、自制活动胶片、中国地图．

　　六、师生互动活动设计

　　教师通过投影给出实际问题，学生研究讨论，认识负数，教师再给出投影，学生练习反馈．

　　七、教学步骤

　　（一）创设情境，复习导入

　　师：提出问题：举例说明小学数学中我们学过哪些数？看谁举得全？

　　学生活动：思考讨论，学生们互相补充，可以回答出：整数，自然数，分数，小数，奇数，偶数……

　　师小结：为了实际生活需要，在数物体个数时，1、2、3……出现了自然数，没有物体时用自然数0表示，当测量或计算有时不能得出整数，我们用分数或小数表示．

　　【教法说明】学生对小学学过的各种数是非常熟悉的，教师提出问题后学生会非常积极地回忆、回答，这时教师注意理清学生的思路，点出小学学过的数的精华部分．

　　提出问题：小学数学中我们学过的最小的数是谁？有没有比零还小的数呢？

　　学生活动：学生们思考，头脑中产生疑问．

　　【教法说明】教师利用问题“有没有比0小的数？”制造悬念，并且这时学生有一种急需知道结果的要求．

　　（二）探索新知，讲授新课

　　师：为了研究这个问题，我们看两个实例

　　（出示投影1）用复合胶片翻四次

　　在冬日一天中，一个测量员测了中午12点，晚6点，夜间12点，早6点的气温如下：你能读出它们所表示的温度各是多少吗？（单位℃）

　　学生活动：看图回答10℃，5℃，零下5℃，零下10℃．

　　［板书］

　　10　　5　　-5　　-10

　　师：再看一个例子，中国地形图上，可以看到我国有一座世界最高峰—珠穆朗玛峰，图上标着8848，在西北部有一吐鲁番盆地，地图上标着－155米，这两个数表示的高度是相对海平面说的，你能说说8848米，－155米各表示什么吗？

　　（出示投影2）（显示中国地形图，再显示珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地的直观图形）．

　　学生活动：学生思考讨论，尝试回答：8848米表示珠穆朗玛峰比海平面高8848米；－155米表示吐鲁番盆地比海平面低155米．

　　【教法说明】针对实例，教师不是自己一概地陈述而是注意学生参与意识，要学生观察、动脉、讨论后得出答案，充分发挥了学生的主体地位．

　　教师针对学生回答的情况给与指正．
师：以上实例中出现了－5、－10、－155这样的数，一般地温度比0℃高5℃、10℃、1.6℃、℃记作＋5、＋10、＋1.6、＋，大于0的数为正数；当温度比0℃低于5℃、10℃、2.2℃记作－5、－10、－2.2，像这样在正数前面加“－”号叫负数；0既不是正数也不是负数．

　　师随着叙述给出板书

　　［板书］

　　正数：大于0的数

　　负数：正数前面加“－”号（小于0的数）

　　0：既不是正数也不是负数．

　　【教法说明】在以上两个例子的基础上，对正数尤其是负数的引入已到了水到渠成的地步，这时教师描述性地指出正数、负数的概念，学生不仅认识了什么是正数与负数，还清楚地知识，正数与负数是相对的．

　　（三）尝试反馈，巩固练习

　　1．师板书后提问：第二个例子中的8848是什么数，－155是什么数，海平面的高度是哪个数？

　　2．出示1（投影显示）

　　例1  所有的正数组成正数集合，所有负数组成负数集合，把下列各数中的正数和负数分别填在表示正数集合和负数集合的圈里“

　　－11，4.8，＋7.3，0，－2.7，－，，，－8.12，

　　3．自己任意写出6个正数与6个负数分别把它填在相应的大括号里．

　　正数集合 　　负数集合

　　4．（1）某地一月份某日的平均气温大约是零下3℃，可用_________数表示，记作__________．

　　（2）地图册上洲西部地中海旁有一个死海湖，图上标有－392，这表明死海湖面与海平面相比怎样？

　　学生活动：1、2题学生回答，3题同桌交换审阅，4题讨论后举手回答．

　　【教法说明】l题是紧扣上面的例子把正负数应用到实例中去，既呼应了前面，又认识了正负数，2题是通过判断正数负数渗透集会的概念，3题是让学生自行编正数负数，以达到自我消化吸收，4题是用实际生活中的典型例子加强对负数的理解和认识，同时也为下一步引出相反意义的量打下基础．

　　师：在0℃以上的温度用正数表示，0℃以下的温度用负数表示；高于海平面的地方用正数表示它的高度，低于海平面的地方用负数表示它的高度．在实际生活中还有一些与温度、海拔高度类似的量也常常用正负数表示，你能列出一些吗？

　　学生活动：分组讨论，互相补充，两个学生回答．

　　教师对学生列举的例子给与适当分析，针对学生回答予以补充巩固练习：

　　（出示投影升）

　　1．填空

　　（1）－50表示支出50元，那么＋100元表示_____________．

　　（2）正常水位为0 ，水位高于正常水位0.2 记作______________，低于正常水位0.3记作______________．

　　（3）乒乓球比标准重量重0.039记作_____________；比标准重量轻0.019记作_____________；标准重量记作______________．

　　2．一个学生演示，教师提出要求规定向前走为正．

　　（1）向前走2步记作_________________．

　　（2）向后走5步记作_________________．

　　（3）“记作6步”他应怎么走？“记作－4步”呢？

　　（4）原地不动记作_________________．

　　（出示投影5）

　　3．例题

　　一物体沿东西两个相反的方向运动时，可以用正负数表示它们的运动．

　　（1）如果向东运动4 记作4 ，向西运动5记作_______________．

　　（2）如果－7 表示物体向西运动7 ，那么6表明物体怎样运动？

　　学生活动：l题学生审题后回答．2题学生演示，其他学生观察举手回答．3题回答．

　　【教法说明】用正数、负数表示相反意义的量是本节的重点．首先，先让学生举出自己所熟悉的相反意义的量，并用正数负数表示，激发学生兴趣，这时再出示补充的练习中的1题，学生能非常轻松地回答出来，这时学生有一种非常轻松的感觉，噢！原来正数、负数是用来表示这样的量的．紧接着，让一个学生向前后任意走，规定向前为正，让其他学生观察，第一次他向哪个方向走了？走了几步？记作什么？第二次呢？第三次呢？这时学生积极观察举手回答，然后让一个学生提出类似要求“记作＋5应怎样走？”，这样在活跃、欢快的气氛中加深了对正数负数的理解．最后利用例2作为巩固练习就非常容易了，这一环节就是要学生在一种轻松愉快的气氛中获取知识，符合素质教育的要求．

　　师：通过今天这节课的学习，你能回答老师开始时提出的问题吗？—有没有比零小的数？（有，是负数）

　　1．正数和负数表示的是一对相反意义的量．

　　2．零既不是正数也不是负数．

　　八、随堂练习

　　1．判断题

　　（l）0是自然数，也是偶数（      ）

　　（2）0可以看成是正数，也可以看成是负数（      ）

　　（3）海拔－155米表示比海平面低155米（      ）

　　（4）如果盈利1000元，记作＋1000元，那么亏损200元就可记作－200元（      ）

　　（5）如果向南走记为正，那么－10米表示向北走－10米（      ）

　　（6）温度0℃就是没有温度（       ）

　　2．将下列各数填入相应的大括号里

　　－9， ，0， ，2000，＋61， ，－10.8

　　正数集合

　　负数集合

　　3．用正数和负数表示下列各量

　　（1）零上24摄氏度表示为___________，零下3.5摄氏度表示为______________。

　　（2）足球比赛，赢2球可记作_________球，输一球应记作____________球．

　　九、布置作业

　　（一）必做题

　　1．下列各数中哪些是正数？哪些是负数？

　　－16，0.04，＋ ， ， ，0，25.8，－3.6，－4，9651，－0.1

　　2．一物体可左右移动，设向右为正，

　　（1）向左移动12 应记作什么？

　　（2）“记作8 ”表明什么?

　　（二）选做题

　　1．一潜水艇所在高度为－50 ，一条鲨鱼在艇上方10 处，鲨鱼所在的高度是多少？

　　2．甲地海拔高度是30 ，乙地海拔高度是20 ，丙地海拔高度是－10 ，哪个地方最高，哪个地方最低？最高的地方比最低的地方高多少？

　　十、板书设计

　　随堂练习答案

　　1．√ × √ √ × ×

　　2．正数集合 　负数集合

　　3．（1）＋24℃，－3.5℃；（2）＋2，－1

　　作业答案

　　（一）必作题

　　1．0.04， ， ，25.8，9651是正数；

　　－16， ，－3.6，－4，－0.1是负数；

　　2．（1）向左移动12 记作 ；

　　  （2）记作 表明物体向右移动 ．

　　（二）选作题

　　1． ．

　　2．甲地最高，丙地最低，最高的地方比最低的地方高 ．

正数与负数（二）

　　一、素质教育目标

　　（一）知识才学点

　　1．理解有理数的意义．

　　2．能把给出的有理数按要求分类．

　　3．了解数0在有理数分类中的作用．

　　（二）能力训练点

　　培养学生树立对数分类讨论的观点和能正确地进行分类的能力．

　　（三）德育渗透点

　　通过联系与发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义教育．

　　（四）美育渗透点

　　通过有理数的分类，给学对称美的享受

　　二、学法引导

　　1．教学方法：启发引导，充分体现学生为主体，注重学生参与意识．

　　2．学生学法：识记→练习巩固．

　　三、重点、难点、疑点及解决办法

　　1．重点：有理数包括哪些数．

　　2．难点：有理数的分类．

　　3．疑点：明确有理数分类标准．

　　四、教具学具准备

　　投影仪、自制胶片．

　　五、师生互动活动设计

　　教师用投影出示练习题，学生讨论解决，教师引导学生对有理数进行分类，学生以多种形式完成训练题．

　　六、教学步骤

　　（一）复习导入

　　（出示投影1）

　　1．把下列各数填入相应的大括号内：
　＋6， ，3.8，0，－4，－6.2， ，－3.8，

　　正数集合

　　负数集合

　　2．填空：

　　（1）若下降5 记作－5 ，那么上升8 记作__________________，不升不降记作_____________________．

　　（2）如果规定＋20表示收入20元，那么－10元表示______________．

　　（3）如果由 地向南走3千米用3千米表示，那么－5千米表示____________________，在 地不动记作__________________．

　　【教法说明】出示投影后，学生思考，然后举手回答问题．当学生回答完一题后．教师追问：你能不能说说什么叫正数，负数呢？0是正数吗？是负数吗？通过第1小题，使学生进一步理解正、负数的概念，以及零的特殊意义．通过第2小题使学生掌握对于两种相反意义的量，如果其中一种量用正数表示，那么另一种量便可以用负数表示．

　　师：在小学大家学过1，2，3，4……这是什么数呢？

　　生：自然数．

　　师：在这些自然数前面加上负号，如－1，－2，－3，－4……这些是什么数呢？

　　生：负数．

　　师：具体叫什么负数呢？

　　师：今天我们要把大家学过的数分类命名，然后给一个统一的名称．

　　【教法说明】通过教师由浅入深层层设问，使学生在头脑当中逐步认识问题．这样一步一个台阶的教学过程，符合学生认识问题的一般规律．

　　（二）探索新知，讲授新课

　　1．分类数的名称

　　1，2，3，4……叫做正整数；

　　－1，－2，－3，－4……叫做负整数．

　　0叫做零．

　　 ， ， （即）……叫做正分数；

　　 ， ， （即）……叫做负分数；

　　正整数、负整数和零统称为整数．

　　正分数和负分数统称为分数．

　　整数和分数统称有理数．即

　　

　　【教法说明】以上内容由师生共同参与完成，教师启发诱导，遵循了由具体到抽象的认识规律．

　　提出问题：巩固概念

　　（出示投影2）

　　（1）0是整数吗？是正数吗？是有理数吗？

　　（2）－5是整数吗？是负数吗？是有理数吗？

　　（3）自然数是整数吗？是正数吗？是有理数吗？

　　【教法说明】这三道小题主要是检查学生对概念的理解．新授过程中随时设计习题进行反馈练习，以便调节回授．

　　注意：有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的分数，这时分数包括整数，本章中的分数是指不包括整数的分数．

　　2．有理数的分类

　　为了便于研究某些问题，常常需要将有理数进行分类，需要不同，分类方法也常常不同，常用的有以下两种：

　　（1）先把有理数按“整”和“分”来分类，再把每类按“正”与“负”来分类，如下表：

　　

　　（2）先把有理数按“正”和“负”来分类，再把每类按“整”和“分”来分类，如下表

　　

　　尝试反馈，巩固练习

　　（出示投影3）

　　下列有理数中：－7，10.1， ，89，0，－0.67， ．

　　哪些是整数？哪些是分数？哪些是正数？哪些是负数？

　　学生思考，然后找同学逐一回答．其他同学准备补充或纠正．

　　【教法说明】通过此题，检查学生对有理数分类的掌握情况，通过对有理数进行分类，培养学生树立对数分类讨论的观点和正确地进行分类的能力．

　　3．数的集合

　　我们曾经把所有正数组成的集合，叫做正数集合，所有的负数组成的集合叫做负数集合．同样把所有整数组成的集合叫做整数集合；把所有分数组成的集合叫做分数集合；把所有有理数组成的集合叫做有理数集合．

　　（三）变式训练，培养能力

　　（出示投影4）

　　（1）把有理数6.4，－9， ，＋10， ，－0.021，－1， ，－8.5，25，0，100按正整数、负整数、正分数、负分数分成四个集合．

　　正整数集合 ，负整数集合

　　正分数集合 ，负分数集合

　　（2）把下列有理数：－3，＋8， ，＋0.1，0， ，－10，5，－0.7填入相应的集合：

　　整数集合 ，分数集合

　　正数集合 ，负数集合

　　【教法说明】学生思考后，动笔完成上述第（1）题．一个学生在黑板上板演，其他学生做在练习本上，然后师生共同订正．从中进一步培养学生分类能力．第（2）题采用分组计分形式，充分调动学生学习数学的积极性，增强学生集体荣誉感．

　（四）归纳小结

　　师：今天我们一起学习了哪些内容？

　　由学生自己小结，然后教师再总结：

　　今天我们一起学习了有理数的定义和两种分类方法．要能正确地判断一个数属于哪一类，要特别注意“0”不是正数，但是整数．

　　【教法说明】课堂小结，采取学生小结的办法，让学生积极参与教学活动，归纳出本节课所学的知识．再由教师归纳总结，帮助全体学生进一步明确本节课的重点和应达到的目标．

　　（五）反馈检测

　　（出示投影5）

　　（1）整数和分数统称为_______________；整数包括___________________、_________________和零，分数包括________________和__________________．

　　（2）把下列各数填入相应集合的持号内：

　　－3，4，－0.5，0，8.6，－7

　　整数集合 ，分数集合

　　正有理数集合 ，负分数集合

　　（4）选择题：－100不是（ ）

　　A．有理数；　B．自然数；　C．整数；　D．负有理数．

　　以小组为单位计分，积分最高的组为优胜组．

　　【教法说明】通过反馈检测，既使???瘫窘诳嗡??谌荩?值鞫???a href=http://www.baidu.com/baidu?tn=xzhen021&word=学习 target=_blank>学习的积极性和主动性，增强学生积极参与教学活动的意识和集体荣誉感．

　　七、随堂练习

　　1．判断题

　　（1）整数又叫自然数．（　）

　　（2）正数和负数统称为有理数（　）

　　（3）向东走－20米，就是向西走20米（　）

　　（4）温度下降－2℃，是零上2℃（　）

　　（5）非负数就是正数，非正数就是负数（　）

　　2．在下列适当的空格里打上“√”号

 

有理数

整  数

分  数

正整数

负分数

自然数

2

           

－3.14

           

0

           

           

　　3．把下列各数分别填在相应的大括号里

　　1.8，－42，＋0.01， ，0，－3.1415926， ，1

　　整数集合

　　分数集合

　　正数集合

　　负数集合

　　自然数集合

　　非负数集合

　　八、布置作业

　　（一）必做题：课本第50页3、4．

　　（二）思考题：把下列各数填在相应的集合中

　　3.14，－5，0， ，89，－2.67， ， ，＋1001

　　有理数集合

　　非负有理数集合

　　负有理数集合

　　九、板书设计

　　

　　随堂练习答案

　　1．× × √ × ×

　　2．略

　　3．整数集体 ；分数集合 ；正数集合 ；负数集合 ；自然数集合 ；非负数集合 ．

　　作业答案

　　（一）必做题：课本第50页

　　3．正数   负数：

　　4．正整数集合    负整数集合   正分数集合     负分数集合

　　（二）思考题

　　有理数集合

　　非负有理数集合

　　负有理数集合

 

《正数与负数》