集合

一、知识结构

　　本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例人手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明．然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子．

二、重点难点分析

　　这一节的重点是集合的基本概念和表示方法，难点是运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合．这一节的特点是概念多、符号多，正确理解概念和准确使用符号是学好本节的关键．为此，在教学时可以配备一些需要辨析概念、判断符号表示正误的题目，以帮助学生提高判断能力，加深理解集合的概念和表示方法．

1．关于牵头图和引言分析

　　章头图是一组跳伞队员编成的图案，引言给出了一个实际问题，其目的都是为了引出本章的内容无论是分析还是解决这个实际间题，必须用到集合和逻辑的知识，也就是把它数学化．一方面提高用数学的意识，一方面说明集合和简易逻辑知识是高中数学重要的基础．

2．关于集合的概念分析

　　点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念，集合则是集合论中原始的、不加定义的概念．

　　初中代数中曾经了解“正数的集合”、“不等式解的集合”；初中几何中也知道中垂线是“到两定点距离相等的点的集合”等等．在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识．教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集．”这句话，只是对集合概念的描述性说明．

　　我们可以举出很多生活中的实际例子来进一步说明这个概念，从而阐明集合概念如同其他数学概念一样，不是人们凭空想象出来的，而是来自现实世界．

3．关于自然数集的分析

　　教科书中给出的常用数集的记法，是新的国家标准，与原教科书不尽相同，应该注意．

　　新的国家标准定义自然数集N含元素0，这样做一方面是为了推行国际标准化组织（ISO）制定的国际标准，以便早日与之接轨，另一方面，0还是十进位数｛0，1，2，…，9｝中最小的数，有了0，减法运算 仍属于自然数，其中 ．因此要注意几下几点：

    （1）自然数集合与非负整数集合是相同的集合，也就是说自然数集包含0；

    （2）自然数集内排除0的集，表示成 或 ，其他数集{如整数集Z、有理数集Q、实数集R}内排除0的集，也可类似表示 ， ， ；

    （3）原教科书或根据原教科书编写的教辅用书中出现的符号如 ， ， …不再适用．

    4．关于集合中的元素的三个特性分析

　　集合中的每个对象叫做这个集合的元素．例如“中国的直辖市”这一集合的元素是：北京、上海、天津、重庆。

　　集合中的元素常用小写的拉丁字母 ，…表示．如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作 ；否则，就说a不属于A，记作

    要正确认识集合中元素的特性：

    （l）确定性： 和 ，二者必居其一．

    集合中的元素必须是确定的．这就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了．例如，给出集合{地球上的四大洋}，它的元素是：太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋．其他对象都不用于这个集合．如果说“由接近 的数组成的集合”，这里“接近 的数”是没有严格标准、比较模糊的概念，它不能构成集合．

    （2）互异性：若 ， ，则

　　集合中的元素是互异的．这就是说，集合中的元素是不能重复的，集合中相同的元素只能算是一个．例如方程 有两个重根 ，其解集只能记为｛1｝，而不能记为｛1，1｝．

    （3）无序性：｛a，b｝和｛b，a｝表示同一个集合．

    集合中的元素是不分顺序的．集合和点的坐标是不同的概念，在平面直角坐标系中，点（l，0）和点（0，l）表示不同的两个点，而集合｛1，0｝和｛0，1｝表示同一个集合．

    5．要辩证理解集合和元素这两个概念

    （1）集合和元素是两个不同的概念，符号和是表示元素和集合之间关系的，不能用来表示集合之间的关系．例如 的写法就是错误的，而 的写法就是正确的．

    （2）一些对象一旦组成了集合，那么这个集合的元素就是这些对象的全体，而非个别现象．例如对于集合 ，就是指所有不小于0的实数，而不是指“ 可以在不小于0的实数范围内取值”，不是指“ 是不小于0的一个实数或某些实数，”也不是指“ 是不小于0的任一实数值”……

    （3）集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件．

    6．表示集合的方法所依据的国家标准

　　本小节列举法与描述法所使用的集合的记法，依据的是新国家标准如下的规定．

符号

应用

意义或读法

备注及示例

诸元素 构成的集

也可用 ，这里的I表示指标集

使命题 为真的A中诸元素之集

例： ，如果从前后关系来看，集A已很明确，则可使用 来表示，例如

此外， 有时也可写成 或

7．集合的表示方法分析

　　集合有三种表示方法：列举法、描述法、图示法．它们各有优点．用什么方法来表示集合，要具体问题具体分析．

　　（l）有的集合可以分别用三种方法表示．例如“小于 的自然数组成的集合”就可以表为：

　　 ①列举法： ；

　　 ②描述法： ；

　　 ③图示法：如图1。

　　 （2）有的集合不宜用列举法表示．例如“由小于 的正实数组成的集合”就不宜用列举法表示，因为不能将这个集合中的元素—一列举出来，但这个集合可以这样表示：

　　 ①描述法： ；

　　 ②图示法：如图2．

　　 （3）用描述法表示集合，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应该符合什么条件，从而准确理解集合的意义．例如：

　　 ①集合 中的元素是 ，它表示函数 中自变量 的取值范围，即 ；

　　 ②集合 中的元素是 ，它表示函数值。的取值范围，即 ；

　　 ③集合 中的元素是点 ，它表示方程 的解组成的集合，或者理解为表示曲线 上的点组成的集合；

　　 ④集合 中的元素只有一个，就是方程 ，它是用列举法表示的单元素集合．

　　实际上，这是四个完全不同的集合．

　　列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法．要注意，一般无限集，不宜采用列举法，因为不能将无限集中的元素—一列举出来，而没有列举出来的元素往往难以确定．

    8．集合的分类

　　含有有限个元素的集合叫做有限集，如图1所示．

　　含有无限个元素的集合叫做无限集，如图2所示．

9．关于空集分析

　　 不含任何元素的集合叫做空集，记作 ．空集是个特殊的集合，除了它本身的实际意义外，在研究集合、集合的运算时，必须予以单独考虑．
教学设计方案

集合

知识目标：

　　（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法

　　（2）使学生初步了解“属于”关系的意义

　　（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义

能力目标：

　　（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；

　　（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；

　　（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力；                           

德育目标：

　　激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。

教学重点：集合的基本概念及表示方法

教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合

授课类型：新授课

课时安排：2课时

教    具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

　　1．简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数；

　　2．教材中的章头引言；

　　3．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）；

　　4．“物以类聚”，“人以群分”；

　　5．教材中例子（P₄）。

二、讲解新课：  

　　阅读教材第一部分，问题如下：

　　（1）有那些概念？是如何定义的？

　　（2）有那些符号？是如何表示的？

　　（3）集合中元素的特性是什么？

（一）集合的有关概念（例子见书）：

　　1、集合的概念

　　（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合。

　　（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。

　　2、常用数集及记法

　　（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合。记作N

　　（2）正整数集：非负整数集内排除0的集。记作N^*或N₊

　　（3）整数集：全体整数的集合。记作Z

　　（4）有理数集：全体有理数的集合。记作Q

　　（5）实数集：全体实数的集合。记作R

注：

　　（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。

　　（2）非负整数集内排除0的集。记作N^*或N₊ 、Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z^*

　　3、元素对于集合的隶属关系

　　（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A；

　　（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 ．

　　4、集合中元素的特性

　　（1）确定性：

　　按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。

　　（2）互异性：

　　集合中的元素没有重复。

　　（3）无序性：

　　集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）

注：

　　1、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……

　　　元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……

　　2、“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写。

练习题

　　1、教材P₅练习

　　2、下列各组对象能确定一个集合吗？

　　（1）所有很大的实数。 （不确定）

　　（2）好心的人。       （不确定）

　　（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）

阅读教材第二部分，问题如下：

　　1．集合的表示方法有几种？分别是如何定义的？

　　2．有限集、无限集、空集的概念是什么？试各举一例。

（二）集合的表示方法

　　1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。

　　例如，由方程 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}．

　　注：（1）有些集合亦可如下表示：

　　　　从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100}

　　　　所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}

　　（2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素。

　　描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。

　　格式：{x∈A| P（x）} 

　　含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。

　　例如，不等式 的解集可以表示为： 或

      所有直角三角形的集合可以表示为：

注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分。

        如：{直角三角形}；{大于10⁴的实数}

　　（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}

　　3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。

注：何时用列举法？何时用描述法？

　　（1） 有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法。

　　如：集合

　　（2） 有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。

　　如：集合 ；集合{1000以内的质数}

注：集合 与集合 是同一个集合吗？

答：不是。

　　集合 是点集，集合 = 是数集。

（三） 有限集与无限集

　　1、  有限集：含有有限个元素的集合。

　　2、  无限集：含有无限个元素的集合。

　　3、  空集：不含任何元素的集合。记作Φ，如：

练习题：

　　1、P₆练习

　　2、用描述法表示下列集合

　　①{1，4，7，10，13}            

　　②{-2，-4，-6，-8，-10}          

　　3、用列举法表示下列集合

　　①{x∈N|x是15的约数}            {1，3，5，15}

　　②{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}  {（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}

注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}

　　③              

　　④                {-1，1}

　　⑤   {（0，8）（2，5），（4，2）}

　　⑥

 {（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}

三、小    结：

　　本节课学习了以下内容：

　　1．集合的有关概念：（集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集）

　　2．集合的表示方法：（列举法、描述法、文氏图共3种）

　　3．常用数集的定义及记法

四、课后作业：教材P₇习题1.1

五、板书设计：

课题

一、知识点

（一）

（二）

例题：

1．

2．

六、课后反思：

　　 本节课在教学时主要教会学生学习集合的表示方法，在认识集合时，应从两方面入手：

　　（1）元素是什么？

　　（2）确定集合的表示方法是什么？表示集合时，与采用字母名称无关。

探究活动

【题目】数集A满足条件：若 ，则 （ ）

（1）若 ，试求出A中其他所有元素；

（2）自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；

（3）从上面两小题的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的这个“道理”．

【参考答案】

（1）其他所有元素为－1， ．

（2）略

（3）A中只能有3个元素，它们分别是 ， ， 且三个数的乘积为－1．    

《集合》