线段的垂直平分线

1、教材分析

　　（1）知识结构

　　（2）重点、难点分析

　　本节内容的重点是线段垂直平分线定理及其逆定理. 定理反映了线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的依据；逆定理反映了线段垂直平分线的判定，是证明某点在某条直线上及一条直线是已知线段的垂直平分线的依据.

　　本节内容的难点是定理及逆定理的关系. 垂直平分线定理和其逆定理，题设与结论正好相反. 学生在应用它们的时候，容易混淆，帮助学生认识定理及其逆定理的区别，这是本节的难点.

　　 2、  教法建议

　　本节课教学模式主要采用“学生主体性学习”的教学模式. 提出问题让学生想，设计问题让学生做，错误原因让学生说，方法与规律让学生归纳. 教师的作用在于组织、点拨、引导，促进学生主动探索，积极思考，大胆想象，总结规律，充分发挥学生的主体作用，让学生真正成为教学活动的主人. 具体说明如下：

　　（1）参与探索发现，领略知识形成过程

　　学生前面，学习过线段垂直平分线的概念，这样由复习概念入手，顺其自然提出问题：在垂直平分线上任取一点P，它到线段两端的距离有何关系？学生会很容易得出“相等”. 然后学生完成证明，找一名学生的证明过程，进行投影总结. 最后，由学生将上述问题，用文字的形式进行归纳，即得线段垂直平分线定理. 这样让学生亲自动手实践，积极参与发现，激发了学生的认识冲突，使学生克服思维和探求的惰性，获得锻炼机会，对定理的产生过程，真正做到心领神会.

　　（2）采用“类比”的学习方法，获取逆定理

　　线段垂直平分线的定理及逆定理的证明都比较简单，学生学习一般没有什么困难，这一节的难点仍然的定理及逆定理的关系，为了很好的突破这一难点，教学时采用与角的平分线的性质定理和逆定理对照，类比的方法进行教学，使学生进一步认识这两个定理的区别和联系.

　　(3) 通过问题的解决，让学生学会从不同角度分析问题、解决问题；让学生学会引申、变更问题，以培养学生发现问题、提出问题的创造性能力.

教学目标：

　　1、知识目标：

　　（1）掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理；

　　（2）能运用它们证明两条线段相等或两条直线互相垂直；

　　2、能力目标：

　　（1）通过例题的学习，提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力；

　　（2）提高综合运用知识的能力.

　　3、情感目标：

　　（1）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；；

　　（2）通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征.

　　教学重点：线段垂直平分线定理及其逆定理

　　教学难点：定理及逆定理的关系 

　　教学用具：直尺，微机

　　教学方法：以学生为主体的讨论探索法

　　教学过程：

　　1、新课背景知识复习

　　（1）线段垂直平分线的概念

　　（2）问题：（投影显示）

　　如图，CD是线段AB的垂直平分线，P为CD上任意一点，PA、PB有何关系？为什么？

　　整个过程，由学生完成. 找一名学生代表回答上述问题并

　　投影显示学生的证明过程.

　　2、定理的获得

　　让学生用文字语言将上述问题表述出来.

　　定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.

　　强调说明：线段垂直平分线性质定理是证明线段相等的一条依据，在计算、作图中也有重要作用.

　　学生根据上述学习，提出自己的问题（待定）

　　学习完一个重要知识点，给学生留有一定的时间和机会，提出问题，然后大家共同分析讨论.

　　3、逆定理的获得

　　类比角平分线逆定理获得的过程，让学生讲解下一环节所要学习研究的内容.

　　这一过程，完全由学生自己通过小组的形式，代表到台前讲解.

　　逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

　　强调说明：定理与逆定理的联系与区别

　　相同点：结构相同、证明方法相同

　　不同点：用途不同，定理是用来证线段相等

　　4、定理与逆定理的应用

　　（1）讲解例1（投影例1）

　　例1　如图，△ABC中，∠C＝ ，∠A＝ ，AB的在垂线交AC于D，交AB于E

　　求证：AC＝3CD

　　证明：∵DE垂直平分AB

　　　∴AD＝BD

　　　∴∠1＝∠A＝

　　　∵

　　　∴∠2＝

　　　∴CD＝ BD

　　　∴CD＝ AD

　　　∴AD＝2CD

　　　即AC＝3CD

　　讲解例2（投影例2　）

　　例2：在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂直线与AC所在直线相交所得的锐角为 ，求底角B的大小.

　　（学生思考、分析、讨论，教师巡视，适当参与讨论）

　　解：（1）当AB的中垂线MN与AC相交时，如图（1），

　　　∵∠ADE＝ ，∠AED＝

　　　∴∠A＝ －∠AED＝ － ＝

　　　∵AB＝AC　∴∠B＝∠C

　　　∴∠B＝

　　（2）当的中垂线与的延长线相交时，如图（2）

　　　∵∠ADE＝ ，∠AED＝

　　　∴∠BAE＝－∠AED＝－＝

　　　∵AB＝AC　∴∠B＝∠C

　　　∴∠B＝

　　例3 （1）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A＝ ，求∠NMB的大小

　　（2）如果将（1）中∠A的度数改为 ，其余条件不变，再求∠NMB的大小

　　（3）你发现有什么样的规律性？试证明之.

　　（4）将（1）中的∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改

　　解：（1）∵AB＝AC

　　　∴∠B＝∠ACB

　　　∴∠B＝

　　　∵∠BNM＝

　　　∴

　　（2）如图，同（1）同理求得

　　（3）如图，∠NMB的大小为∠A的一半

　　5、课堂小结：

　　(1)线段垂直平分线性质定理和逆定理

　　(2)在应用时，易忽略直接应用，往往又重新证三角形的全等，使计算或证明复杂化.

　　6、布置作业：

　　书面作业P119＃2、3

　　思考题：已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高

　　求证：AD垂直平分EF

　　证明：∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC

　　　∴DE=DF

　　　∴D在线段EF的垂直平分线上

　　　在Rt△ADE和Rt△ADF中

　　　∴Rt△ADE≌Rt△ADF

　　　∴AE＝AF

　　　∴A点也在线段EF的垂直平分线上

　　　∵两点确定一条直线

　　　∴直线AD就是线段EF的垂直平分线

　　板书设计：