角的平分线

知识结构

　　重点与难点分析：

　　本节内容的重点是角平分线的性质定理，逆定理及它们的应用。性质定理和它的逆定理为证线段相等、角相等，开辟了新的途径，简化了证明过程。

　　本节内容的难点是：a、角平分线定理和逆定理的应用；b、这两个定理的区别；c、写命题的逆命题。学生对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用定理，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理。对于原命题和逆命题，学生对条件和结论容易混淆，特别是没有明显的提示语言时，更易找不准条件和结论，这就成了教学的难点。

　　教法建议：

　　整堂课围绕“以复习为基础，以过程为主线，以思维为中心，以训练为手段”开展教学。注重学生的参与度，通过提问、板演、讨论等多种形式，让学生直接参加课堂活动，将教与学融为一体。具体说明如下：

　　（1）做好铺垫

　　新课引入前，作一个具体画图的练习：已知角画出它的角平分线；然后在平分线上任取一点，作出这一点到角两边的距离。这样做一是复习了角平分线的定义和点到直线距离的定义；二是为本节课的学习奠定了图形基础。

　　（2）主动获取

　　利用上面的图形，观察这两个距离的关系，并证明自己的结论。对基础条件比较好的同学会很容易得出结论并能用文字叙述出来。对基础稍差一些的同学生得出结论并不难但让他们用文字叙述出来可能不是很准确，此时教师要做指导。这一环节的教学注意让学生通过观察、分析、推理等活动，主动提出此定理。

　　（3）激荡思维

　　在上面定理的基础上，让学找出此定理的条件与结论，并交换条件与结论得到一个新的命题，然后验证此命题的正确性如何?学生通过推理证明不难得到是一个真命题。此时顺理成章地引出教材中的定理2。最后注意强调：两个定理的区别与联系；原命题与逆命题、原定理与逆定理的关系及写出一个命题的逆命题的方法步骤。这一环节完全是由学生给出定理的文字表述及证明过程。

　　（4）推向深入

　　进行必要的例题讲解，然后进行有层次阶梯性训练，以达到熟练地运用定理证明有关问题。教学时，要注意引导学生分析问题解决问题的思考方法。同时让学生总结积累证明线段相等、角相等的常见方法。

教学目标：

　　1、知识目标：

　　（1）掌握角平分线的性质定理和逆定理；

　　（2）能够运用性质定理和逆定理证明两个角相等或两条线段相等；

　　（3）能够判定两个命题是否为互逆命题，并能写出一个命题的逆命题.

　　2、能力目标：

　　（1）通过“判断题”的练习，提高学生的辨析能力；

　　（2）通过公理的初步应用，培养学生的逻辑推理能力及创新的能力.

　　3、情感目标：

　　（1）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；

　　（2）通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征。

　　教学重点：角平分线的性质定理，逆定理及它们的应用。

　　教学难点：a、角平分线定理和逆定理的应用；b、这两个定理的区别；c、写命题的逆命题。。

　　教学用具：直尺，微机

　　教学方法：谈话法

　　教学过程：

　　1、新课引入

　　投影显示

　　问题：（1）画一个角的平分线；

　　（2）在这条平分线上任取一点P，标出P点到角两边的距离。

　　（3）说出这两段距离的关系并证明。

　　2、定理的获得

让学生用文字语言叙述出定理的内容

　　角平分线的性质定理：在角平分线上的点到这个角两边距离相等。

　　强调说明：

　　（1）、定理的条件及结论的符号表示；

　　（2）、定理的作用：直接证明两线段相等。使用的前提是有角的平分线，关键是图中是否有“垂直”。

　　3、运用逆向思维，导出定理的逆定理

　　问题：将定理的条件与结论“换位”得到一个新命题，说出这个新命题的内容，并判断命题是真命题还是假命题？学生分析、讨论用文字叙述内容，老师作必要的提示。

　　逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

　　强调：a逆定理的作用：证明角相等

　　b、二定理的区别与联系：性质定理说明了角平分线上点的纯粹性，即：只要是角平分线上的点，它到此角两边一定等距离，而无一例外；判定定理反映了角平分线的完备性，即只要是到角两边距离相等的点，都一定在角平分线上，而绝不会漏掉一个。实际应用中，前者用来证明线段相等，后者用来证明角相等（角平分线）

　　4、原命题与逆命题

　　a、概念

　　b、写出互逆命题的关键。

　　c、原使命与逆使命的真假性并无一定的依存关系。

　　5、定理的应用(投影四个例题)
例1、已知：如图1，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.

　　求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.

　　学生先分析，教师巡视并适当点拨。

　　投影显示学生的证明过程，师生共同纠正补充完善。

　　投影规范的书写格式:

　　（见书中例题）

　　此题设想：（1）语言要规范。例“过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F”这一段话一定要在证明中写出。

　　（2）几何证明中，常见“同理”二字，讲清“同理”适用的条件以免以后乱用。

　　例2、已知：如图2，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，相交于点P.

　　求证：P在∠A的平分线上

　　证明：（略）

　　设想：（1）证明“点在线上”这类问题的解决方法

　　（2）“一般解题方法”的运用

　　（3）投影显示学生的书写步骤，检查学生数学语言是否规范。

　　例3、写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题

　　（1）全等三角形的对应角相等；

　　（2）对顶角相等；

　　（3）如果，那么；

　　（4）直角三角形的两个锐角互余.

　　例4、已知：如图3，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC，D是AP上一点

　　求证：∠BDP＝∠CDP

　　证明：（略）

　　设想：一般解题方法的教学。

　　6、课堂小结：教师引导学生总结

　　(1)角平分线的性质定理及逆定理；

　　(2)二定理的关系；

　　(3)一般解题方法

　　让学生自由表述，其它学生补充，自己将知识系统化，以自己的方式进行建构。

　　5、布置作业：

　　(a)书面作业P80＃9

　　(b)思考题：

　　(1)已知：如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC.

　　求证：∠A+∠C＝

　　（2）求证三角形的三条内角平分线交于一点。

　　板书设计：

探究活动

　　如图，公路南有一学校在铁路的东侧，到公路的距离与到铁路的距离相等，并且与两路交叉处O的距离为400米，在图上标出学校的位置，并说明理由（比例尺1：10000）。

　　提示：解决这类问题的方法是把实际应用问题转化为数学问题，然后用数学知识解决。

　　解：把公路、铁路看作两条相交直线，画出它们交角的平分线，在角的平分线上，从顶点量出表示实际400米长的线段便可确定学校的位置。表示实际400米长的线段为：0.04米＝4cm