等腰三角形的性质

知识结构

　　重点与难点分析：

　　本节内容的重点是等腰三角形的性质及其推论。等腰三角形两底角相等（等边对等角）是证明同一三角形中两角相等的重要依据；而在推论中提到的等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线三线合一这条重要性质也是证明两线段相等，两个角相等及两直线互相垂直的重要依据。等腰三角形的性质为证明线段相等，角相等或垂直平提供了方法，在选择时注意灵活运用。

　　本节内容的难点是文字题的证明。对文字题的证明，首先分析出命题的题设和结论，结合题意画出草图形，然后根据图形写出已知、求证，做到不重不漏，从而转化为一般证明题。这些环节是学生感到困难的。

　　教法建议：

　　数学教学的核心是学生的“再创造”.根据这一指导思想，本节课教学可通过精心设置的一个个问题链，激发学生的求知欲，最终在老师的指导下发现问题、解决问题.为了充分调动学生的积极性，使学生变被动学习为主动学习，本课教学拟用启发式问题教学法.具体说明如下：

　　（1）发现问题

　　本节课开始，先投影显示图形及问题，让学生观察并发现结论。提出问题让学生思考，创设问题情境，激发学生学习的欲望和要求.

　　（2）解决问题

　　对所得到的结论通过教师启发，让学生完成证明.指导学生归纳总结，从而顺其自然得到本节课的一个定理及其两个推论. 多让学生亲自实践，参与探索发现，领略知识形成过程，这是课堂教学的基本思想和教学理念.

　　（3）加深理解

　　学生学习的过程是对知识的消化和理解的过程，通过例题的解决，提高和完善对定理及其推论理解。这一过程采用讲练结合、适时点拨的教学方法，把学生的注意力紧紧吸引在解决问题身上，让学生的思维活动在老师的引导下层层展开，让学生大胆参与课堂教学，使他们“听”有所“思”、“练”有所“获”，使传授知识与培养能力融为一体。一．教学目标：

　　1．掌握等腰三角形的性质定理的证明及这个定理的两个推论；

　　2．会运用等腰三角形的性质证明线段相等；

　　3．使学生掌握一般文字题的证明;

　　4．通过文字题的证明，提高学生几何三种语言的互译能力；

　　5．逐步培养学生逻辑思维能力及分析实际问题解决问题的能力;

　　6．渗透对称的数学思想,培养学生数学应用的观点；

　　二．教学重点：等腰三角形的性质及其推论

　　三．教学难点：文字题的证明

　　四．教学用具：直尺，微机

　　五．教学方法：问题探究法

　　六．教学过程：

　　 1、  性质定理的发现与证明

　　(1)投影显示：

　　一般学生都能发现等腰三角形的两个底角相等（若有其它发现也要给予肯定），

　　(2)提醒学生：凭观察作出的判断准确吗？怎样证明你的判断？

　　师生讨论后，确定用全等三角形证明，学生亲自动手作出证明.证明略.

　　教师指出：等腰三角形的性质定理提示了三角形边与角的转化关系，由两边相等转化为两角相等，这是今后证明两角相等常用的依据，其功效不亚于利用全等三角形证明两角相等.

　　2、推论1的发现与证明

　　投影显示：

　　由学生观察发现，等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边.

　　启发学生自己归纳得出：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.

　　学生口述证明过程.

　　教师指出：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线、底边上的高这“三线合一”的性质有多重功能，可以证明两线段相等，两个角相等以及两条直线的互相垂直，也可证线段成角的倍分问题。

　　3、推论2的发现与证明

　　投影显示：

　　一般学生都能发现等边三角形的三个内角都为 .然后启发学生与等腰三角形的“三线合一”作类比，自己得出等边三角形的“三线合一”.

　　4、定理及其推论的应用

　　

　　解：（1） （2）另外两内角分别为： （3）

　　小结：渗透分类思想，培养思维的严密性.

　　例2、已知：如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE

　　求证：BD＝CE

　　证明：作AF⊥BC，，垂足为F，则AF⊥DE

　　　∵AB＝AC，AD＝AE（已知）

　　　AF⊥BC，AF⊥DE（辅助线作法）

　　　∴BF＝CF，DF＝EF（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）

　　　∴BD＝CE

　　强调说明：等腰三角形中的“三线合一”常常作为解决等腰三角形问题的辅助线，添加辅助线时，有时作顶角的平分线，有时作底边中线，有时作底边的高，有时作哪条线都可以，有时却不能，还要根据实际情况来定.

　　例3、已知：如图，D是等边△ABC内一点，DB＝DA，BP＝AB， DBP＝ DBC

　　求证： P＝

　　　证明：连结OC

　　　在△BPD和△BCD中

　　　

　　　

　　　在△ADC和△BCD中

　　　

　　　

　　　因此， P＝

　　例4　求证：等腰三角形两腰上中线的交点到底边两端点的距离相等

　　已知：如图，AB＝AC，BD、CE分别为AC边、AB边的中线，它们相交于F点

　　求证：BF＝CF

　　证明：∵BD、CE是△ABC的两条中线，AB＝AC

　　　∴AD＝AE，BE＝CD
　　　在△ABD和△ACE中
　　　∴△ABD≌△ACE
　　　∴ 1＝ 2
　　　在△BEF和△CED中
　　　∴△BEF≌△CED
　　　∴BF＝FC

　　设想：例1到例4，由易到难地安排学生对新授内容的练习和巩固.在以上教学中，特别注意“一般解题方法”的运用.

　　在四个例题的教学中，充分发挥学生与学生之间的互补性，从而提高认识，完善认知结构，使课堂成为学生发挥想象力和创造性的“学堂”

　　5、反馈练习:

　　出示图形及题目：

　　将实际问题数学化，培养学生应用能力。

　　6、课堂小结：

　　教师引导学生小结

　　（1）、等腰三角形的性质

　　（2）、等边三角形的性质

　　（3）、文字证明题的书写步骤

　　7、布置作业：

　　a、  书面作业P96＃1、2

　　b、  上交作业P96＃4、7、8

　　c、  思考题：

　　已知：如图：在△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，∠AEF＝∠AFE.

　　求证：EF⊥BC

　　证明 ： 作BC边上的高AM，M为垂足

　　　∵AM⊥BC

　　　∴∠BAM=∠CAM

　　　又∵∠BAC为△AEF的外角

　　　∴∠BAC =∠E+∠EFA

　　　即∠BAM+∠CAM=∠E=∠EFA

　　　∵∠AEF=∠AFE

　　　∴∠CAM=∠E

　　　∴EF∥AM

　　　∵AM⊥BC

　　　∴EF⊥BC

　　七．板书设计：

《等腰三角形的性质》