正切和余切

第一课时

　　一、教学目标

　　1．使学生了解正切、余切的概念，能够正确地用 、 表示直角三角形（其中一个锐角为 ）中两边的比，了解 与 成倒数关系，熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数，了解一个锐角的正切（余切）值与它的余角的余切（正切）值之间的关系。

　　2．逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力。

　　3．培养学生独立思考、勇于创新的精神。

　　二、学法引导

　　1．教学方法：运用类比法指导学生探索研究新知。

　　2．学生学法：运用类比法主动探索研究新知。

　　三、重点、难点、疑点及解决办法

　　1．重点：了解正切、余切的概念，熟记特殊角的正切值和余切值。

　　2．难点：了解正切和余切的概念。

　　3．疑点：正切与余切概念的混淆．

　　4．解决办法：通过类比引出概念和性质，再通过大量直接应用，巩固概念和性质。

　　四、教具准备

　　投影机、投影片（自制）、三角板

　　五、教学步骤

　　（一）明确目标

　　1．什么是锐角 的正弦、余弦？（结合下图回答）。

　　2．填表

　　3．互为余角的正弦值、余弦值有何关系？

　　4．当角度在0°～90°变化时，锐角的正弦值、余弦值有何变化规律？

　　5．我们已经掌握一个锐角的正弦（余弦）是指直角三角形中该锐角的对边（邻边）与斜边的比值，那么直角三角形中，两直角边的比值与锐角的关系如何呢？在锐角三角函数中，除正、余弦外，还有其他一些三角函数，本节课我们学习正切和余切。

　　（二）整体感知

　　正切、余切的概念，也是本间的重点和关键，是全章知识的基础，对学生今后的学习或工作都十分重要，教材在继第一节正弦和余弦后，又以同样的顺序安排第二节正切余切，像这样，把概论、计算和应用分成两块，每块自与一个整体小循环，第二循环又包含了第一循环的内容，可以有效地克服难点，同时也使学生通过对比，便于掌握锐角三角函数的有关知识。

　　（三）教学过程

　　1．引入正切、余切概念

　　①本节课我们研究两直角边的比值与锐角的关系，因此同学们首先应思考：当锐角固定时，两直角边的比值是否也固定？

　　因为学生在研究过正弦、余弦概念之后，已经接触过这类问题，所以大部分学生能口述证明，并进一步猜测“两直角边的比值一定是正切和余切”。

　　②给出正切、余切概念。

　　如图，在 中，把 的对边与邻边的比叫做 的正切，记作 。

　　即   

　　并把 的邻边与对边的比叫做 的余切，记作 ，

　　                    即    

　　2． 与 的关系

　　请学生观察 与 的表达式，得结论 （或 ， ）这个关系式既重要又易于掌握，必须让学生深刻理解，并与 区别开．

　　3．锐角三角函数

　　由上图， ， ， ， ，把锐角 的正弦、余弦、正切、余切都叫做 的锐角三角函数。

　　锐角三角函数概念的给出，使学生茅塞顿开，初步理解本节题目。

　　问：锐角三角函数能否为负数？

　　学生回答这个问题很容易。

　　4．特殊角的三角函数。

　　①教师出示幻灯片

　　请同学推算30°、45°、60°角的正切、余切值。（如下图）

　　 ；

　　 ；

　　 ；

　　 ；

　　 ；

　　 ．

　　通过学生计算完成表格的过程，不仅复习巩固了正切、余切概念，而且使学生熟记特殊角的正切值与余切值，同时渗透了数形结合的数学思想。

　　0°，90°正切值与余切值可引导学生查“正切和余切表”，学生完全能独立查出。

　　5．根据互为余角的正弦值与余弦值的关系，结合图形，引导学生发现互为余角的正切值与余切值的关系。

　　结论：任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

　　即   ， ．

　　练习：1）请学生回答 与 的值各是多少？ 与 ？ 与 呢？学生口答之后，还可以为程度较高的学生设置问题： 与 有何关系？为什么？ 与 呢？

　　2）把下列正切或余切改写成余角的余切或正切：

　　（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） 。

　　6．例题

　　【例1】求下列各式的值：

　　（1） ；

　　（2） ．

　　解：（1）

   

    ；

（2）

＝2．

　　练习1．求下列各式的值：

　　（1） ；

　　（2） ；

　　（3） ；

　　（4） ；

　　（5） ．

　　2．填空：

　　（1）

　　（2）若 ，则锐角

　　（3）若 ，则锐角

　　学生的计算能力可能不很强，尤其是分式，二次根式的运算，因此这里应查缺补漏，以培养学生运算能力。

　　（四）总结扩展

　　请学生小结：本节课了解了正切、余切的概念及 与 关系．知道特殊角的正切余切值及互为余角的正切值与余切值的关系．本课用到了数形结合的数学思想．

　　结合 及 ，可扩展为 ．

　　六、布置作业

　　1．看教材P12～P14，培养学生看书习惯。

　　2．教材P16中习题6.2A组2、3、4、5、6．

　　七、板书设计

第二课时

　　一、教学目标

　　1．巩固正、余切概念，学会用正、余切来解决问题．

　　2．通过例题教学，培养学生分析问题、解决问题的能力； 通过归纳、概括，培养学生逻辑思维能力。

　　3．培养学生独立思考、勇于创新的精神及良好的学习习惯。

　　二、学法引导

　　1．教学方法：指导探索研究法。

　　2．学生学法：主动探索研究法。

　　三、重点、难点、疑点及解决办法

　　1．重点：用正、余切解直角三角形。

　　2．难点：灵活运用正切、余切。

　　3．疑点：学生可能对正切、余切概念掌握不牢，导致出现 之类的错误，教学中应引起重视，使学生熟能生巧。

　　4．解决办法：通过教师精心引导，学生积极思维，主动研究发现，及练习巩固解决重难点及疑点。

　　四、教具准备

　　投影机（或电脑）、自制投影片（或课件）、三角板

　　五、教学步骤

　　（一）明确目标

　　结合图，说出什么是 的正切、余切？

　　请班级里较差学生回答，以检测其掌握情况．

　　2． 与 具有什么关系？

　　答： （或 或 ）．

　　3．互为余角的正切值与余切值具有什么关系？

　　答： ，

　　3．互为余角的正切值与余切值具有什么关系？

　　答： ，

　　4．在0°～90°间，正切、余切值随角度变化而变化的规律是什么？

　　通过以上四个问题，使学生对新学的知识有了系统的认识，便于应用．

　　对概念的巩固最好的途径是配备练习题．因此，教师在引导学生复习有关概念后，应出示练习题（投影片）．

　　1．在 中， 为直角， 、 、 所对的边分别为 。

　　①若 ， ，则 ， ， ，

　　②若 ，则

　　2．比较大小：

　　①        ②

　　③        ④

　　3．计算题：

　　① ；

　　② ．

　　（二）整体感知

　　本课安排在本小节末，运用本小节的知识去解决一个简单问题，再次为本章第二节解直角三角形做好准备．当然，这个问题只用上一小节学过的正弦、余弦也可以解决，不过那样做，就要先求出斜边 ，解的过程要繁琐一些。

　　（三）教学过程

　　1．讲授新课

　　【例】在 中， 为直角， 所对的边分别是 ，已知 ， ，求 （保留两位有效数字）．

　　这个题是本大节知识的综合运用，考查知识点面面俱到，是检查全体学生是否全面达到教学目标要求有效途径，教学中应引导学生全体参与，积极地探求各种解法，然后加以比较，优选出最佳方法，以培养学生思维的敏捷性、深刻性，形成良好的思维品质。

　　分析：本题已知 和 ，求 ，观察图不难发现，边 恰好是 的对边与邻邦边，因此求 可选用以下两个关系式：（1） ，（2） ．

　　请学生比较一下，哪一个关系计算更简便呢？答：若选用 ，由此得 ，用 除以含四位有效数字的数，计算比较麻烦；而选用 ，由此得 ．用 乘以含四位有效数字的数，计算相对方便．

　　解： ，

　　∴

　　解完例题之后，应引导学生小结：本题显示了“除法与乘法在一定条件下可以互相转化”，其中“条件”是 与 互为倒数．认真分析和利用这种转化，有时可使计算简便．

　　2．巩固练习

　　本节课实际上是对前面课的综合，通过对前面知识的综合运用，以培养学生的比较、分析、概括等逻辑思维能力．因此例题后应安排练习题如下：

　　在 中， 为直角， 、 、 所对的边分别为 ．

　　（1）已知 ， ，求 和 ．

　　（2）已知 ， ，求 和 ．

　　（3）已知 ， ，求 ．

　　（4）已知 ， ，求 ．

　　（5）已知 ， ，求 ．

　　（6）已知 ， ，求 和 （保留两位有效数字）．

　　教法说明：给学生足够的时间，引导学生讨论、研究，筛选出最佳关系式使计算简便，既培养学生计算能力，巩固所学知识，又能培养学生的思维能力．

　　[参考答案]（1） ， ；（2） ， ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ， ．

　　3．对学有余力的学生，可引导其读教材P15想一想．使学生对正弦、余弦间的关系，正切、余切间的关系以及弦、切间的关系有所了解，保证知识的完整性，为高中三角函数的学习打下基础．教师板书

　　 　　　

　　 　　　　　 ．

　　（四）总结、扩展

　　引导学生总结：1．要认真分析直角三角形中的各边与角的三角函数关系．2．因为同一个角的正切和余切可以互相转化，所以在选用关系时昼选择乘法使计算较简便．

　　六、布置作业

　　1．看教材P1～P17，培养学生看书习惯。

　　2．教材P17习题A组7、8，学有余力的学生可选做B组题。

　　七、板书设计

《正切和余切》