二次根式的化简

教学建议

　　知识结构

.

　　重难点分析

　　本节的重点是 的化简.本章自始至终围绕着二次根式的化简与计算进行，而 的化简不但涉及到前面学习过的算术平方根、二次根式等概念与二次根式的运算性质，还要牵涉到绝对值以及各种非负数、因式分解等知识，在应用中常常需要对字母进行分类讨论.

　　本节的难点是正确理解与应用公式

.

　　这个公式的表达形式对学生来说，比较生疏，而实际运用时，则要牵涉到对字母取值范围的讨论，学生往往容易出现错误.

　　教法建议

　　1.性质的引入方法很多，以下2种比较常用：

　　（１）设计问题引导启发：由设计的问题

　　1） 、 、 各等于什么？

　　2） 、 、 各等于什么？

　　启发、引导学生猜想出

　　（2）从算术平方根的意义引入．

　　2．性质的巩固有两个方面需要注意：

　　（1）注意与性质 进行对比，可出几道类型不同的题进行比较；

　　（2）学生初次接触这种形式的表示方式，在教学时要注意细分层次加以巩固，如单个数字，单个字母，单项式，可进行因式分解的多项式，等等．

 

（第1课时）

　　一、教学目标

　　1.掌握二次根式的性质

　　

　　2.能够利用二次根式的性质化简二次根式

　　3.通过本节的学习渗透分类讨论的数学思想和方法

　　二、教学设计

　　对比、归纳、总结

　　三、重点和难点

　　1.重点：理解并掌握二次根式的性质

　　2.难点：理解式子 中的 可以取任意实数，并能根据字母的取值范围正确地化简有关的二次根式．

　　四、课时安排

　　1课时

　　五、教具学具准备

　　投影仪、胶片、多媒体

　　六、师生互动活动设计

　　复习对比，归纳整理，应用提高，以学生活动为主

　　七、教学过程

　　一、导入新课

　　我们知道，式子 （ ）表示非负数 的算术平方根．

　　问：式子 的意义是什么？被开方数中的 表示的是什么数？

　　答：式子 表示非负数 的算术平方根，即 ，且 ，从而 可以取任意实数．

　　二、新课

　　计算下列各题，并回答以下问题：

　　（1） ；　　　（2） ；　　　（3） ；

　　（4） ；　　（5） ；　（6）

　　（7） ；　（8）

　　1．各小题中被开方数的幂的底数都是什么数？

　　2．各小题的结果和相应的被开方数的幂的底数有什么关系？

　　3．用字母 表示被开方数的幂的底数，将有怎样的结论？并用语言叙述你的结论．

　　答：

　　（1） ；　（2） ；　（3） ；

　　（4） ；　（5） ；　（6）

　　（7） ；　（8） ．

　　1．（1），（2），（3）各题中的被开方数的幂的底数都是正数；（4），（5），（6），（7）各题中的被开方数的幂的底数都是负数；（8）题被开方数的幂的底数是0．

　　2．（1），（2），（3），（8）各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数都分别相等；（4），（5），（6），（7）各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数分别互为相反数．

　　3．用字母 表示（1），（2），（3），（8）各题中被开方数的幂的底数，有

　（ ），

　　用字母 表示（4），（5），（6），（7）各题中被开方数的幂的底数，有

　（ ）．

　　一个非负数的平方的算术平方根，等于这个非负数本身；一个负数的平方的算术平方根，等于这个负数的相反数．

　　问：请把上述讨论结论，用一个式子表示．（注意表示条件和结论）

　　答：

　　请同学回忆实数的绝对值的代数意义，它和上述二次根式的性质有什么联系？

　　答：

　　填空：

　　1．当 _________时， ；

　　2．当 时， ，当 时， ；

　　3．若 ，则 ________；

　　4．当 时， ．

　　答：

　　1．当 时， ；

　　2．当 时， ，

　　　当 时， ；

　　3．若 ，则 ；

　　4．当 时， ．

　　例1  化简   （ ）．

　　分析：可以利用积的算术平方根的性质及二次根式的性质化简．

　　解  ，因为 ，所以 ，所以

．

　　指出：在化简和运算过程中，把 先写成 ，再根据已知条件中 的取值范围，确定其结果．

　　例2  化简   （ ）．

　　分析：根据二次根式的性质，当 时， ．

　　解   ．

　　例3  化简：（1） （ ）；　（2） 　（ ）．

　　分析：根据二次根式的性质，当 时， ．

　　解  （1） ．

　　　　（2） ．

　　注意：（1）题中的被开方数 ，因为 ，所以 ．

　　（2）题中的被开方数 ，因为 ，所以 ．

　　这里 的取值范围，在已知条件中没有直接给出，但可以由已知条件分析而得出．

　　例4  化简 ．

　　分析：根据二次根式的性质，有

．

　　所以要比较 与3及1与 的大小以确定 及 的符号，然后再进行化简．

　　解  因为 ， ，所以

， ．

　　所以

　　　 ．

　　三、课堂练习

　　1．求下列各式的值：

　　（1） ；　　（2） ．

　　2．化简：

　　（1） ；　　（2） ；

　　（3） （ ）；　（4） 　（ ）．

　　3．化简：

　　（1） ；　　　　（2） ；

　　（3） ；　　（4） ；

　　（5） ；　（6） （ ）．

　　答案：

　　1．（1）0.1；　（2） ．

　　2．（1） ；　（2） ；　（3） ；　（4） ．

　　3．（1）4；　（2）1.5；　（3）0.09；　（4）－1；　（5）4；　（6）－1．

　　四、小结

　　1．二次根式 的意义是 ，所以 ，因此 ，其中 可以取任意实数．

　　2．化简形如 的二次根式，首先可把 写成 的形式，再根据已知条件中字母 的取值范围，确定其结果．

　　3．在化简中，注意运用题设中的隐含条件，如二次根式 有意义的条件是被开方 ，这是隐含条件．

　　五、作业

　　1．化简：

　　（1） ；　　　　（2） ；

　　（3） 　（ ）；　　（4） 　（ ）；

　　（5） ；　　　　（6） （ ， ）；

　　（7）   （ ）．

　　2．化简：

　　（1） ；

　　（2） （ ）；

　　（3） （ ， ）．

　　答案：

　　1．（1）－30；　（2） ；　（3） ；

　　（4） ；　（5） ；　（6） ；　（7） ．

　　2．（1）2；　（2）0；　（3） ．

《二次根式的化简》