正多边形的有关计算

教学设计示例1

　　教学目标：

　　（1）会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等有关的计算问题转化为解直角三角形的问题；

　　（2）巩固学生解直角三角形的能力，培养学生正确迅速的运算能力；

　　（3）通过正多边形有关计算公式的推导，激发学生探索和创新．

　　教学重点:

　　把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题．

　　教学难点:

　　正确地将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题解决、综合运用几何知识准确计算．

　　教学活动设计:

　　（一）创设情境、观察、分析、归纳结论

　　1、情境一：给出图形．

　　问题1：正n边形内角的规律．

　　观察：在图形中，应用以有的知识（多边形内角和定理，多边形的每个内角都相等）得出新结论．

　　教师组织学生自主观察，学生回答．（正n边形的每个内角都等于 ．）

　　2、情境二：给出图形．

　　问题2：每个图形的半径，分别将它们分割成什么样的三角形？它们有什么规律？

　　教师引导学生观察，学生回答．

　　观察：三角形的形状，三角形的个数．

　　归纳：正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形．

　　3、情境三：给出图形．

　　问题3：作每个正多边形的边心距，又有什么规律？

　　观察、归纳：这些边心距又把这n个等腰三角形分成了个直角三角形，这些直角三角形也是全等的．

　　（二）定理、理解、应用：

　　1、定理： 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n 个全等的直角三角形．

　　2、理解：定理的实质是把正多边形的问题向直角三角形转化．

　　由于这些直角三角形的斜边都是正n边形的半径R，一条直角边是正n边形的边心距r_n，另一条直角边是正n边形边长a_n的一半，一个锐角是正n边形中心角 的一半，即 ，所以，根据上面定理就可以把正n边形的有关计算归结为解直角三角形问题．

　　3、应用：

　　例1、已知正六边形ABCDEF的半径为R，求这个正六边形的边长、周长P₆和面积S₆．

　　教师引导学生分析解题思路：

　　n=6 =30°，又半径为R a₆ 、r₆． P₆、S₆．

　　学生完成解题过程，并关注学生解直角三角形的能力．

　　解：作半径OA、OB；作OG⊥AB，垂足为G，得Rt△OGB．

　　∵∠GOB= ，

　　∴a₆ =2·Rsin30°=R，

　　∴P₆=6·a₆=6R，

　　∵r₆=Rcos30°= ，

　　∴ ．

　　归纳：如果用P_n表示正n边形的周长，由例1可知，正n边形的面积S₆= P_n r_n．

　　4、研究：（应用例1的方法进一步研究）

　　问题：已知圆的半径为R，求它的内接正三角形、正方形的边长、边心距及面积．

　　学生以小组进行研究，并初步归纳：

　　 ； ； ； ；

　　 ； ．

　　上述公式是运用解直角三角形的方法得到的．

　　通过上式六公式看出，只要给定两个条件，则正多边形就完全确定了．例如：(1)圆的半径或边数；(2)圆的半径和边心距；(3)边长及边心距，就可以确定正多边形的其它元素．

　　（三）小节

　　知识：定理、正三角形、正方形、正六边形的元素的计算问题．

　　思想：转化思想．

　　能力：解直角三角形的能力、计算能力；观察、分析、研究、归纳能力．

　　（四）作业

　　归纳正三角形、正方形、正六边形以及正n边形的有关计算公式．
教学设计示例2

　　教学目标：

　　（1）进一步研究正多边形的计算问题，解决实际应用问题；

　　（2）通过正十边形的边长a₁₀与半径R的关系的证明，学习边计算边推理的数学方法；

　　（3）通过解决实际问题，培养学生简单的数学建模能力；

　　（4）培养学生用数学意识，渗透理论联系实际、实践论的观点．

　　教学重点:

　　应用正多边形的基本计算图解决实际应用问题及代数计算的证明方法．

　　教学难点:

　　例3的证明方法．

　　教学活动设计：

　　（一）知识回顾

　　（1）方法：运用将正多边形分割成三角形的方法，把正多边形有关计算转化为解直角三角形问题．

　　（2）知识：正三角形、正方形、正六边形的有关计算问题，正多边形的有关计算．

　　 ； ； ； ；

　　 ； ．

　　组织学生填写教材P165练习中第2题的表格．

　　（二）正多边形的应用

　　正多边形的有关计算方法是基本的几何计算知识之一，掌握这些知识，一方面可以为学生进一步学习打好基础，另一方面，这些知识在生产和生活中常常会用到，掌握后对学生参加实践活动具有实用意义．

　　例2、在一种联合收割机上，拨禾轮的侧面是正五边形，测得这个正五边形的边长是48cm，求它的半径R₅和边心距r₅(精确到0.1cm)．

　　解：设正五边形为ABCDE，它的中心为点O，连接OA，作OF⊥AB，垂足为F，则OA=R₅，OF=r₅，∠AOF= ．

　　∵AF= （cm），∴R₅= （cm）．

　　r₅= （cm）．

　　答：这个正多边形的半径约为40.8cm，边心距约为33.0cm

　　建议：①组织学生，使学生主动参与教学；②渗透简单的数学建模思想和实际应用意识；③对与本题除解直角三角形知识外，还要主要学生的近似计算能力的培养．

　　以小组的学习形式，每个小组自己举一个实际生活中的例子加以研究，班内交流．

　　 例3、已知：正十边形的半径为R，求证：它的边长 ．

　　教师引导学生：

　　（1）∠AOB=？

　　（2）在△OAB中，∠A与∠B的度数？

　　（3）如果BM平分∠OBA交OA于M，你发现图形中相等的线段有哪些？你发现图中三角形有什么关系？

　　（4）已知半径为R，你能不通过解三角形的方法求出AB吗？怎么计算？

　　解：如图，设AB=a₁₀．作∠OBA的平分线BM，交OA于点M，则

　　∠AOB=∠1=∠2=36°，∠OAB=∠3=72°．

　　∴OM=MB=AB= a₁₀．

　　△ OAB∽△BAM OA:AB=BA:AM，即R :a₁₀= a₁₀:（R- a₁₀），整理，得

　　 ， （取正根）．

　　由例3的结论可得 ．

　　回顾：黄金分割线段．AD²=DC·AC，也就是说点D将线段AC分为两部分，其中较长的线段AD是较小线段CD与全线段AC的比例中项．顶角36°角的等腰三角形的底边长是它腰长的黄金分割线段．

　　反思：解决方法．在推导a₁₀与R关系时，辅助线角平分线是怎么想出来的．解决方法是复习等腰三角形的性质、判定及相似三角形的有关知识．

　　练习P.165中练习1

　　(三)总结

　　（1）应用正多边形的有关计算解决实际问题；

　　（2）综合代数列方程的方法证明了 ．

　　（四）作业

　　教材P173中8、9、10、11、12．

探究活动

　　已知下列图形分别为正方形、正五边形、正六边形，试计算角 、 、 的大小．

　　探究它们存在什么规律？你能证明吗？

　　（提示： ．）