最大公约数

教学目标

(一)理解公约数，最大公约数和互质数的意义。

(二)会用排列约数的方法和集合圈的方法，找两个数的公约数和最大公约数。渗透集合思想。

(三)培养学生观察、比较、分析概括的能力。

教学重点和难点

(一)公约数、最大公约数、互质数的意义。

(二)互质数与质数的区别。

教学用具

投影片。

教学过程设计

(一)复习准备

提问：说出24的全部约数；请将24分解质因数。说一说24的约数与质因数有什么区别？(约数可以是质数也可以是合数，质因数必须是质数。)

教师：前面我们复习了找一个数的约数和把一个合数分解质因数，它们都是研究的一个数的约数，今天要研究两个数的约数。

(二)学习新课

1．公约数和最大公约数。

(1)板书例1，8和12各有哪些约数，它们公有的约数是哪几个？最大的公有的约数是多少？

学生口答教师板书：

8的约数有(1，2，4，8)。

12的约数有(1，2，3，4，6，12)。

8和12公有的约数有(1，2，4)。

8和12的最大的公有的约数有(4)。

教师：下面用集合图表示。(出示活动抽拉投影片)

(2)教师：第二幅中阴影部分表示什么？(8和12公有的约数，4是最大的。)

教师：1，2和4是8和12公有的约数，我们称它们是8和12的公约数，(板书：公约数) 4是其中最大的一个，叫做8和12的最大公约数。(板书：最大公约数。)

教师：说一说什么叫公约数？什么叫最大公约数？

学生口答后，教师针对上述概括中“两个数”提问；有时我们要找的不是两个数公有的约数，可能是三个数，四个数等，那怎么说更准确？(把“两个数”换为“几个数”。)

请学生再次口述什么是公约数和最大公约数，老师把板书补充完整：

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

教师：我们研究两个数的约数，主要研究它们的公约数，尤其是最大公约数。这节课的课题就是它。(板书课题：最大公约数。)

2．练习。

(1)口答填空：(投影片)

12的约数是(　　　 )；

18的约数是(　　　 )；

12和18的公约数是(　　　 )；

12和18的最大公约数是(　　　 )。

(2)把15和18的约数、公约数分别填在下面的集合圈里，再找出它们的最大公约数。(同学们填在书上66页，请一两位同学填在投影片上、集体订正。)

3．认识互质数。

(1)教师板书：请找出下面各组数的公约数：

5和7(1)　　　　　　　　　　　　 8和9(1)　　　　　　　　 1和12(1)

9和15(1，3)　　　　　　　　 7和9(1)　　　　　　　　 16和20(1，2，4)

学生口答后老师在每组后面标出公约数。

教师：观察板书，根据公约数的情况，可以把这几组数分几类？各类的特点是什么？

学生口答，老师在公约数只有1的几组数下划上红线。并板书出：公约数只有1。

教师：(指着划上红线的几组数)公约数只有1的两个数叫做互质数。(将前面板书补充完整)如7和9就是互质数。

教师：请说一说这几组数中谁与谁互质(或谁与谁是互质数)。

教师：请举出两组互质数。

(2)请同学们讨论下面几个问题：

①任意写两个质数，看它们是不是互质数？

②任意写出两个相邻的自然数，看它们是不是互质数？

③任意写一个自然数，看它与1是不是互质数？

学生讨论后，肯定上述三种条件下得出的都是互质数。

教师：说一说你是用什么方法判定它们是互质数的？(要求说出自己的具体例子)

教师：你们所举的例子，都采用找它们的公约数的方法来判断它们是不是互质数。在今后的学习中，经常需要判断两个数是否互质，掌握了这三种情况下一定是互质数，就可以帮助我们很快作出判断。但是要注意，互质数不止这三种情况，如7和9，所以在作判断时最根本的方法是要看这两个数的公约数是不是只有1。

(3)想一想，以前学过的质数，与今天学习的互质数有什么区别？(质数所指是一个数，它的约数只有1和本身，互质数所指是指两个数，它们的公约数只有1。)

教师在板书“互质数”的“互”字下面标出红色的符号，问：这“互”字如何理解？

学生口答后，教师再次提示，说互质数一定要说出谁与谁互质。

(三)巩固反馈

1．口答填空：(投影片)

24的约数是(　　　 )；

36的约数是(　　　 )；

54的约数是(　　　 )；

24，36和54的公约数是(　　　 )；

24，36和54的最大公约数是(　　　 )。

2．直接说出下面各组数的最大公约数。

3和4　　　　　　　　　　　　　　 6和24　　　　　　　　　　　 13和39

18和1　　　　　　　　　　　　　 17和19　　　　　　　　　　 14和15

15和30　　　　　　　　　　　　 9和10　　　　　　　　　　　 16和18

3．说出上题中哪几组是互质数。

(四)课堂总结与课后作业

1．公约数，最大公约数，互质数。

2．作业：课本69页练习十四 1，2，3。

课堂教学设计说明

本节内容是在学生掌握了约数、质数、分解质因数等基础上进行的。公约数、最大公约数的概念，在学生通过排列约数的办法认识后，又用集合图来表示，这样既渗透了集合思想，同时又使学生加深了对公约数，最大公约数两个概念的理解。在学生掌握了这两个概念后，利用练习，引导学生进行观察分析，认识互质数的特点，采用讨论的形式，让学生自己去发现互质数中的最常见的三种情况，这样可以加深学生对互质数的理解，也提高了他们判断互质数的能力，最后安排了对容易混淆的质数与互质数进行对比区别，再次加深了对互质数概念的理解。

新课教学分三部分。

第一部分学习公约数、最大公约数的意义，共分两层。通过排列约数和集合图，理解认识公约数，最大公约数的意义；归纳两个概念。

第二部分是练习巩固新学概念。

第三部分学习互质数。分三层。认识互质数；掌握常见的三种情况；区分质数与互质数。

板书设计

《最大公约数》