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一次函数的图象和性质 —— 初中数学第三册教案



 

 

一次函数的图象和性质

 一、目的要求

    1.使学生能画出正比例函数与一次函数的图象。

    2.结合图象,使学生理解正比例函数与一次函数的性质。

    3.在学习一次函数的图象和性质的基础上,使学生进一步理解正比例函数和一次函数的概念。

    二、内容分析

    1、对函数的研究,在初中阶段,只能是初步的。从方法上,是用初等方法,即传统的初等数学的方法,而不是用极限、导数等高等数学的基本工具,并且,比起高中对函数的研究,更多地依赖于图象的直观,从研究的内容上,通常,包括定义域、值域、函数的变化特征等方面。关于定义域,只是在开始学习函数概念时,有一个一般的简介,在具体学习几种数时,就不一一单独讲述了,关于值域,初中暂不涉及,至于函数的变化特征,像上升、下降、极大、极小,以及奇、偶性、周期性,连续性等,初中只就一次函数与反比例函效的升降问题略作介绍,其它,在初中都不做为基本教学要求。

    2、关于一次函数图象是直线的问题,在前面学习13.3节时,利用几何学过的角平分线的性质,对函数y=x的图象是一条直线做了一些说明,至于其它种类的一次函数,则只是在描点画图时,从直观上看出,它们的图象也都是一条直线,教科书没有对这个结论进行严格的论证,对于学生,只要求他们能结合y=x的图象以及其它一些一次函数图象的实例,对这个结论有一个直观的认识就可以了。

    三、教学过程

    复习提问:

    1.什么是一次函数?什么是正比例函数?

    2.在同一直角坐标系中描点画出以下三个函数的图象:

y=2x   y=2x-1   y=2x+1

    新课讲解:

    1.我们画过函数y=x的图象,并且知道,函数y=x的图象上的点的坐标满足横坐标与纵坐标相等的条件,由几何上学过的角平分线的性质,可以判断,函数y=x,这是一个一次函数(也是正比例函数),它的图象是一条直线。

    再看复习提问的第2题,所画出的三个一次函数的图象,从直观上看,也分别是一条直线。

    一般地,一次函数的图象是一条直线。

    前面我们在画一次函数的图象时,采用先列表、描点,再连续的方法.现在,我们明确了一次函数的图象都是一条直线。因此,在画一次函数的图象时,只要在坐标平面内描出两个点,就可以画出它的图象了。

    先看两个正比例项数,

   y=0.5x

 与 y=-0.5x

由这两个正比例函数的解析式不难看出,当x=0时,

    y=0

即函数图象经过原点.(让学生想一想,为什么?)

除了点(0,0)之外,对于函数y=0.5x,再选一点(1,0.5),对于函数y=-0.5x。再选一点(1,一0.5),就可以分别画出这两个正比例函数的图象了。

    实际画正比例函数y=kx(k≠0)的图象,一般按以以下三步:

    (1)先选取两点,通常选点(0,0)与点(1,k);

    (2)在坐标平面内描出点(0, O)与点(1,k);

    (3)过点(0,0)与点(1,k)做一条直线.

    这条直线就是正比例函数y=kx(k≠0)的图象.

    观察正比例函数  y=0.5x 的图象.

  这里,k=0.5>0.

  从图象上看, y随x的增大而增大.

  再观察正比例函数 y=-0.5x  的图象。

    这里,k=一0.5<0

    从图象上看, y随x的增大而减小

    实际上,我们还可以从解析式本身的特点出发,考虑正比例函数的性质.

    先看

y=0.5x

任取两对对应值. (x1,y1)与(x2,y2),

如果x1>x2,由k=0.5>0,得
    0.5x1>0.5x2

即   yl>y2

这就是说,当x增大时,y也增大。

类似地,可以说明的y=-0.5x  性质。

从解析式本身特点出发分析正比例函数性质,可视学生程度考虑是否向学生介绍。

一般地,正比例函数y=kx(k≠0)有下列性质:

    (1)当k>0时,y随x的增大而增大;

    (2)当k<0时,y随x的增大而减小。

    2、讲解教科书13.5节例1.与画正比例函数图象类似,画一次函数图象的关键是选取适当的两点,然后连线即可,为了描点方便,对于一次函数

y=kx+b(k,b是常数,k≠0)

 通常选取

(O,b)与(- ,0)

两点,

    对于例 l中的一次函效

y=2x+1与y=-2x+1

就分别选取

 (O,1)与(一0.5,2),

还有

(0,1)—与(0.5.0).

    在例1之后,顺便指出,一次函数y=kx+b的图象,习惯上也称为直线) y=kx+b

    结合例1中的两个一次函数的图象,就可以得到与正比例函数类似的关于一次函数的两条性质。

    对于一次函数的性质,也可以从一次函数的解析式分析得出,这与正比例函数差不多。

    课堂练习:

    教科书13.5节第一个练习第l—2题,在做这两道练习时,可结合实例进一步说明正比例函数与一次函数的有关性质。

    课堂小结:

    1.正比例函数y=kx图象的画法:过原点与点(1,k)的直线即所求图象.

    2. 一次函数y=kx+b图象的画法:在y轴上取点(0,6),在x轴上取点( ,0),过这两点的直线即所求图象.

    3.正比例函数y=kx与一次函数y=kx+b的性质(由学生自行归纳).

    四、课外作业

    1.教科书习题13.5A组第l一3题.

    2.选作教科书习题13.5B组第1题.

 

 

一次函数的图象和性质

 一、目的要求

    1.使学生能画出正比例函数与一次函数的图象。

    2.结合图象,使学生理解正比例函数与一次函数的性质。

    3.在学习一次函数的图象和性质的基础上,使学生进一步理解正比例函数和一次函数的概念。

    二、内容分析

    1、对函数的研究,在初中阶段,只能是初步的。从方法上,是用初等方法,即传统的初等数学的方法,而不是用极限、导数等高等数学的基本工具,并且,比起高中对函数的研究,更多地依赖于图象的直观,从研究的内容上,通常,包括定义域、值域、函数的变化特征等方面。关于定义域,只是在开始学习函数概念时,有一个一般的简介,在具体学习几种数时,就不一一单独讲述了,关于值域,初中暂不涉及,至于函数的变化特征,像上升、下降、极大、极小,以及奇、偶性、周期性,连续性等,初中只就一次函数与反比例函效的升降问题略作介绍,其它,在初中都不做为基本教学要求。

    2、关于一次函数图象是直线的问题,在前面学习13.3节时,利用几何学过的角平分线的性质,对函数y=x的图象是一条直线做了一些说明,至于其它种类的一次函数,则只是在描点画图时,从直观上看出,它们的图象也都是一条直线,教科书没有对这个结论进行严格的论证,对于学生,只要求他们能结合y=x的图象以及其它一些一次函数图象的实例,对这个结论有一个直观的认识就可以了。

    三、教学过程

    复习提问:

    1.什么是一次函数?什么是正比例函数?

    2.在同一直角坐标系中描点画出以下三个函数的图象:

y=2x   y=2x-1   y=2x+1

    新课讲解:

    1.我们画过函数y=x的图象,并且知道,函数y=x的图象上的点的坐标满足横坐标与纵坐标相等的条件,由几何上学过的角平分线的性质,可以判断,函数y=x,这是一个一次函数(也是正比例函数),它的图象是一条直线。

    再看复习提问的第2题,所画出的三个一次函数的图象,从直观上看,也分别是一条直线。

    一般地,一次函数的图象是一条直线。

    前面我们在画一次函数的图象时,采用先列表、描点,再连续的方法.现在,我们明确了一次函数的图象都是一条直线。因此,在画一次函数的图象时,只要在坐标平面内描出两个点,就可以画出它的图象了。

    先看两个正比例项数,

   y=0.5x

 与 y=-0.5x

由这两个正比例函数的解析式不难看出,当x=0时,

    y=0

即函数图象经过原点.(让学生想一想,为什么?)

除了点(0,0)之外,对于函数y=0.5x,再选一点(1,0.5),对于函数y=-0.5x。再选一点(1,一0.5),就可以分别画出这两个正比例函数的图象了。

    实际画正比例函数y=kx(k≠0)的图象,一般按以以下三步:

    (1)先选取两点,通常选点(0,0)与点(1,k);

    (2)在坐标平面内描出点(0, O)与点(1,k);

    (3)过点(0,0)与点(1,k)做一条直线.

    这条直线就是正比例函数y=kx(k≠0)的图象.

    观察正比例函数  y=0.5x 的图象.

  这里,k=0.5>0.

  从图象上看, y随x的增大而增大.

  再观察正比例函数 y=-0.5x  的图象。

    这里,k=一0.5<0

    从图象上看, y随x的增大而减小

    实际上,我们还可以从解析式本身的特点出发,考虑正比例函数的性质.

    先看

y=0.5x

任取两对对应值. (x1,y1)与(x2,y2),

如果x1>x2,由k=0.5>0,得
    0.5x1>0.5x2

即   yl>y2

这就是说,当x增大时,y也增大。

类似地,可以说明的y=-0.5x  性质。

从解析式本身特点出发分析正比例函数性质,可视学生程度考虑是否向学生介绍。

一般地,正比例函数y=kx(k≠0)有下列性质:

    (1)当k>0时,y随x的增大而增大;

    (2)当k<0时,y随x的增大而减小。

    2、讲解教科书13.5节例1.与画正比例函数图象类似,画一次函数图象的关键是选取适当的两点,然后连线即可,为了描点方便,对于一次函数

y=kx+b(k,b是常数,k≠0)

 通常选取

(O,b)与(- ,0)

两点,

    对于例 l中的一次函效

y=2x+1与y=-2x+1

就分别选取

 (O,1)与(一0.5,2),

还有

(0,1)—与(0.5.0).

    在例1之后,顺便指出,一次函数y=kx+b的图象,习惯上也称为直线) y=kx+b

    结合例1中的两个一次函数的图象,就可以得到与正比例函数类似的关于一次函数的两条性质。

    对于一次函数的性质,也可以从一次函数的解析式分析得出,这与正比例函数差不多。

    课堂练习:

    教科书13.5节第一个练习第l—2题,在做这两道练习时,可结合实例进一步说明正比例函数与一次函数的有关性质。

    课堂小结:

    1.正比例函数y=kx图象的画法:过原点与点(1,k)的直线即所求图象.

    2. 一次函数y=kx+b图象的画法:在y轴上取点(0,6),在x轴上取点( ,0),过这两点的直线即所求图象.

    3.正比例函数y=kx与一次函数y=kx+b的性质(由学生自行归纳).

    四、课外作业

    1.教科书习题13.5A组第l一3题.

    2.选作教科书习题13.5B组第1题.



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