二次函数y=ax2+bx+c 的图象

第一课时

　　教学目标

　　1．使学生会用描点法画出二次函数 与 的图象；

　　2．使学生能结合图象确定抛物线 与 的对称轴与顶点坐标；

　　3．通过比较抛物线 与 同 的相互关系，培养学生观察、分析、总结的能力;

　　4. 在本节的教学中，继续向学生进行数形结合、转化的数学思想方法的渗透；

　　5. 通过本节课的教学，培养学生事物间是互相联系及互相转化的辩证唯物主义观点.

　　教学重点：画出形如 与形如 的二次函数的图象，能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.

　　教学难点：理解函数 、 与 及其图象间的相互关系

　　教学用具：微机

　　教学方法：探究式、小组合作学习

　　教学过程

　　一、复习引入

　　提问：1．什么是二次函数？

　　2．我们已研究过了什么样的二次函数？

　　3．形如 的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？

　　通过这三个问题，进一步复习巩固所学的知识点，同时引出本节课要学习的问题.

　　从这节课开始，我们就来研究二次函数 的图象.（板书课题）

　　二、新课

　　复习提问：用描点法画出函数 的图象，并根据图象指出：抛物线 的开口方向，对称轴与顶点坐标.（插入 的图片）

　　教师可边提问边打开图片，然后可以找学生来指出抛物线 的开口方向，对称轴及顶点坐标，针对学生的回答情况加以总结，评价.

　　下面，我们来看一下如何完成下面的例题？

　　例1   在同一平面直角坐标系画出函数 、 、 的图象.（插入课件）

　　（一）函数对应值表的区别.

　　列表：

－3

－2

－1

0

1

2

3

10

5

2

1

2

5

10

9

4

1

0

1

4

7

8

3

0

－1

0

3

8

　　列完表之后，让学生观察上表归纳出，对于 与 ，任意一个 的值，解析式 的函数值总比 的函数值小1，对于同一个 值， 值总是小1，抛物线上的点向下平行移动一个单位，图象也向下平移一个单位.对于 与 也这样分析.分析完表后，再让同学们看课件中画出的函数 与 的图象.

　　（二）图象的区别.

　　然后，由学生来观察课件上画出的三条抛物线，让学生思考下列问题：

　　（1）抛物线 的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？

　　（2）抛物线 的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？

　　（3）抛物线 ， 与 的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？

　　（4）抛物线 ， 与 有什么关系？

　　通过这四个问题，可使学生深入理解这三条抛物线之间的联系与区别，便于学生以后分析问题．

　　答：形状相同，位置不同．（继续演示课件，来说明学生观察、推理的正确性，激发学生的兴趣）

　　关于上述回答可继续提问：（可按学生的层次不同来选择问题的深度）

　　①你所说的形状相同具体是指什么？

　　答：抛物线的开口方向和开口大小都相同．

　　②根据你所学过的知识能否回答：为何这三条抛物线的开口方向和开口大小都相同？

　　答：因为a的值相同．

　　 通过这一问题，使学生对此类问题形成规律：抛物线的形状相同就说明a的值相同，而a的值相同就可以说抛物线的形状相同．加深学生对系数a的作用的理解．

　　③这三条抛物线的位置有何不同？它们之间可有什么关系？

　　先由学生思考，讨论之后，给出答案．

　　答：若沿y轴平移，这三条抛物线可重合．（演示动画）

　　④抛物线 是由抛物线 沿y轴怎样移动了几个单位得到的？抛物线 呢？

　　答：抛物线 是由抛物线 沿y轴向上平移1个单位得到的；而抛物线 是由抛物线 沿y轴向下平移1个单位得到的．

　　⑤你认为是什么决定了会这样平移？

　　答： 中的 的值决定了会这样平移．若 ，则向上平移，若 ，则向下平移．

　　练习一　教材P118中1学生独立完成，口答．

　　下面，我们再来看一类二次函数的图象：（演示动画）

　　例2在同一平面直角坐标系内画出 与 的图象．（插入动画）

　　注意：画这两个图形时，参考前面画图列表时 的取值都是关于某一个值对称的，可先让学生猜测画这两个图时 的取值各以应什么数为中间点，然后左右能对称．通过这样的训练能帮助学生以后自主考虑问题时怎样找思路列完表之后，与例l一样处理，演示课件直到三条抛物线全画出.画完图之后的观察和分析也可仿照例1完成．

　　注意：（l）关于抛物线 与 的对称轴的写法，要加以交待，若曾在讲完13．5后阅读过教科书P．113—115，这个问题就好解决了.若没有读过，可由学生讨论对称轴上点的特征来得到对称轴的表示方法.

　　（2）这次图象的平移是沿 轴进行的，平移的单位和方向是由 中的 决定的，特别强调二次函数形式的写法是 ，而不是 .

　　练习二P118中2学生独立完成，口答.

　　三、本节小结

　　本节课学习了二次函数 与 的图象的画法，主要内容如下。

　　（出示幻灯）填写下表：（可让学生回答）

　　表一：

抛物线

开口方向

对称轴

顶点坐标

     

     

     

     

　　表二：

抛物线

开口方向

对称轴

顶点坐标

     

     

     

     

　　八、布置作业

　　教材P124中1（1）、（2）

　　九、板书设计

13．7二次函数 的图象（一）

　例1：　　　　　　　　　例2：

　小结：　　　　　　　　　小结：

第二课时

　　一、教学目标

　　1．使学生会用描点法画出二次函数 的图像；

　　2．使学生知道抛物线 的对称轴与顶点坐标；

　　3．通过本节的学习，继续培养学生的观察、分析、归纳、总结的能力；

　　4．通过本节的教学，继续向学生进行数形结合的数学思想方法的教育，同时向学生渗透事物间互相联系、以及运动、变化的辩证唯物主义思想；

　　5．通过本节课的研究，充分理解并认识到二次函数图像可运动变化的和谐美，通过数学思维的审美活动，提高对数学美的追求。

　　二、教学重点

　　会画形如 的二次函数的图像，并能指出图像的开口方向、对称轴及顶点坐标。

　　三、教学难点：确定形如 的二次函数的顶点坐标和对称轴。

　　4．解决办法：

　　四、教具准备

　　三角板或投影片

　　1．教师出示投影片，复习 。

　　2．请学生动手画 的图像，正好复习图像的画法，完成表格。

　　3．小结 的性质

　　4．练习

　　五、教学过程

　　提问：1．前几节课，我们都学习了形如什么样的二次函数的图像？

　　答：形如 。（板书）

　　2．这节课我们将来学习一种更复杂的二次函数的图像及其相关问题，你能先猜测一下我们将学习形如什么样的二次函数的问题吗？

　　由学生参考上面给出的三个类型，较容易得到：讨论形如 的二次函数的有关问题．（板书）

　　一、 复习引入

　　首先，我们先来复习一下前面学习的一些有关知识．（出示幻灯）

　　请你在同一直角坐标系内，画出函数 的图像，并指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标．

　　这里之所以加上画函数 的图像，是为了使最后通过图像的观察能更全面一些，也更直观一些，可以同时给出图像先沿y轴，再沿 轴移动的方式，也可以给出图像

　　先沿 轴再沿y轴移动的方式，使这部分知识能更全面，知识与知识之间的联系能更清晰、更具体．

　　画这三个函数图像，可由学生在同一表中列值，但是要根据各自的不同特点取自变量

　　的值，以便于学生进行观察．教师可事先准备好表格和画有直角坐标系的小黑板，由一名同

　　学上黑板完成，其他同学在练习本上完成，待同学们基本做完之后加以总结，然后再找三名

　　同学，分别指出这三个图像的开口方向、对称轴及顶点坐标，填入事先准备好的表格中．

　　然后提问：你能否在这个直角坐标系中，再画出函数 的图像？

　　由于前面几节课我们已经画了不少二次函数的图像，学生对画图已经有了一定的经验，

　　同时可在画这个图时，把这些经验形成规律，便于学生以后应用．

　　（l）关于列表：主要是合理选值与简化运算的把握，是教学要点．在选值时，首先要考虑的是函数图像的对称性，因此首先要确定中心值，然后再左，右取相同间隔的值；其次，选值时尽量选取整数，便于计算和描点．

　　在选取 的值之后，计算y的值时，考虑到对称性，只需计算中心值一侧的值，另一侧由对称性可直接填入，但一定要保证运算正确．

　　（2）关于描点：一般可先定顶点（即中心值对应的点，然后利用对称性描出各点，以逐步提高速度．）

　　（3）关于连线：特别要注意顶点附近的大致走向。最后画的抛物线应平滑，对称，并符合抛物线的特点．

　　由学生在上面的练习中所列的表中填上这个函数及其对应值，然后画出它的图像，同样找一名同学板演．

　　学生画完，教师总结完之后，让学生观察黑板上画出的四条抛物线，提问：

　　（1）你能否指出抛物线 的开口方向，对称轴，顶点坐标？

　　将在上面练习中三条抛物线的性质填入所列的有中，如下表：

抛物线

开口方向

对称轴

顶点坐标

向下

（0，0）

向下

（0，－1）

向下

（－1，0）

向下

（－1，－1）

　　（2）我们已知抛物线的开口方向是由二次函数 中的a的值决定的，你能通过上表中的特征，试着总结出抛物线的对称轴和顶点坐标是由什么决定的吗？

　　这个问题由于是本节课的重点问题，而且不是很容易说清楚，可由学生进行广泛的讨论，先得出对称员的表示方法，再得出顶点坐标。若学生在讨论时没有头绪，教师可适当引导，让学生把这四个函数都改写成 的形式，可得
　　 ；

　　

　　 。然后从这四个式子中加以观察，分析，得出结论；（板书）

　　一般地，抛物线 有如下特点：

　　① 时，开口向上； 时，开口向下；

　　②对称轴是直线 ；

　　③顶点坐标是 。

　　（3）抛物线 有什么关系？

　　答：形状相同，位置不同。

　　（4）它们的位置有什么关系？

　　这个问题可视学生的程度来决定问还是不问，以及回答到什么程度。

　　根据上节课的学习，学生能想到是平移科来的，可把这四个图像分成以下几个问题来讨论：①抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？

　　②抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？

　　③抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？

　　④抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？

　　⑤抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？

　　这个问题分两种方式回答：先沿 轴，再沿 轴移动；或先沿 轴，再沿 轴移动。

　　通过这5个问题可使学生由浅入深地得到这四者之间的关系，如图所示：

　　注意：基本形式中的符号，特别是h。

　　练习：P120练习口答，及时纠正错误。

　　（四）总结、扩展

　　一般的二次函数，都可以变形成 的形式，其中：

　　1．a能决定什么？怎样决定的？

　　答：a的符号决定抛物线的开口方向；a的绝对值大小抛物线的开口大小。

　　2．它的对称轴是什么？顶点坐标是什么？

　　六、布置作业

　　教材P124中1（3）；P124中3（1）、（2）；P125中

　　七、板书设计

 

《二次函数y=ax2+bx+c 的图象》