一元二次方程的解法

教学目标

1．  初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如 的方程；

2．  初步掌握用配方法解一元二次方程，会用配方法解数字系数的一元二次方程；

3．  掌握一元二次方程的求根公式的推导，能够运用求根公式解一元二次方程；

4．  会用因式分解法解某些一元二次方程。

5．  通过对一元二次方程解法的教学，使学生进一步理解“降次”的数学方法，进一步获得对事物可以转化的认识。

教学重点和难点

　　重点：一元二次方程的四种解法。

　　难点：选择恰当的方法解一元二次方程。

教学建议：

　一、教材分析：

　　1．知识结构：一元二次方程的解法

　　2．重点、难点分析

　　（1）熟练掌握开平方法解一元二次方程

　　用开平方法解一元二次方程，一种是直接开平方法，另一种是配方法。

　　如果一元二次方程的一边是未知数的平方或含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，或完全平方式，如方程 ， 和方程 就可以直接开平方法求解，在开平方时注意取正、负两个平方根。

配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，转化为 的形式来求解。配方时要注意把二次项系数化为1和方程两边都加上一次项系数一半的平方这两个关键步骤。

　　（2）熟记求根公式 （ ）和公式中字母的意义在使用求根公式时要注意以下三点：

　　1）把方程化为一般形式，并做到 、 、 之间没有公因数，且二次项系数为正整数，这样代入公式计算较为简便。

　　2）把一元二次方程的各项系数 、 、 代入公式时，注意它们的符号。

　　3）当 时，才能求出方程的两根。

　　（3）抓住方程特点，选用因式分解法解一元二次方程

　　如果一个一元二次方程的一边是零，另一边易于分解成两个一次因式时，就可以用因式分解法求解。这时只要使每个一次因式等于零，分别解两个一元一次方程，得到两个根就是一元二次方程的解。

　　我们共学习了四种解一元二次方程的方法：直接开平方法；配方法；公式法和因式分解法。解方程时，要认真观察方程的特征，选用适当的方法求解。

　二、教法建议

　　1． 教学方法建议采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成，启发诱导学生深入思考问题，有利于培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质．
　　2. 注意培养应用意识．教学中应不失时机地使学生认识到数学源于实践并反作用于实践．

教学设计示例

教学目标
　　1. 使学生知道解完全的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0， b≠0， c≠0)可以转化为适合于直接开平方法的形式(x+m)²=n;
　　2. 在理解的基础上，牢牢记住配方的关键是“添加的常数项等于一次项系数一半的平方”；
　　3. 在数学思想方法方面，使学生体会“转化”的思想和掌握配方法。

教学重点和难点
　　重点：掌握用配方法解一元二次方程。
　　难点：凑配成完全平方的方法与技巧。

教学过程设计
　一 复习
　　1.完全的一元二次方程的一般形式是什么样的?(注意a≠0)

　　2.不完全一元二次方程的哪几种形式?

　　(答：只有三种ax²=0,ax²+c=0,ax²+bx=0(a≠0))

　　3.对于前两种不完全的一元二次方程ax²=0 (a≠0)和ax²+c=0 (a≠0),我们已经学会了它们的解法。

　　特别是结合换元法，我们还会解形如(x+m) ²=n(n≥0)的方程。

　　例  解方程：(x-3) ²=4  (让学生说出过程)。

　　解：方程两边开方，得  x-3=±2，移项，得  x=3±2。

　　所以  x₁=5,x₂=1.      (并代回原方程检验，是不是根)

　　4.其实(x-3) ²=4是一个完全的一元二次方程，我们把原方程展开、整理为一元二次方程。(把这个展开过程写在黑板上)

　　　　　(x-3) ²=4,　    　①

　　　　　x²-6x+9=4,   　　②

　　　　　x²-6x+5=0.　　   ③

　二 新课
　　1.逆向思维
　　我们把上述由方程①→方程②→方程③的变形逆转过来，可以发现，对于一个完全的一元二次方程，不妨试试把它转化为(x+m) ²=n的形式。这个转化的关键是在方程左端构造出一个未知数的一次式的完全平方式(x+m) ²。

　　2.通过观察，发现规律

　　问：在x²+2x上添加一个什么数，能成为一个完全平方(x+?)²。   (添一项+1)

 即   (x²+2x+1)=(x+1) ².

　　练习，填空：

　　x²+4x+( )=(x+  ) ²;     y²+6y+(  )=(y+  ) ².

　　算理  x²+4x=2x·2?，所以添2的平方，y²+6y=y²+2y3?，所以添3的平方。

　　总结规律：对于x²+px,再添上一次项系数一半的平方，就能配出一个含未知数的一个次式的完全平方式。即 .+ ( ) ④

 　   (让学生对④式的右边展开，体会括号内第一项与第二项乘积的2倍，恰是左边的一次

项，括号内第二项的平方，恰是配方时所添的常数项)

 　　项固练习(填空配方)

     　　总之，左边的常数项是一次项系数一半的平方。

     　　问：如果左边的一次项系数是负数，那么右边括号里第二项的正负号怎么取?算理是什么?

    　　巩固练习(填空配方)

     　　x²-bx+(  )=(x-  ) ²;            x²-(m+n)x+(  )=(x-  ) ².