因式分解中转化思想的应用 —— 初中数学第一册教案

因式分解的基本方法是：提取公因式法、应用公式法、十字相乘法。对于结构比较简单的题型可直接应用它们来进行因式分解，学生能够容易掌握与应用。但对于分组分解法、折项、添项法就有些把握不住，应用转化就思想就能起到关键的作用。

分组分解法实质是一种手段，通过分组，每组采用三种基本方法进行因式分解，从而达到分组的目的，这就利用了转换思想。看下面几例：

例1、   4a²+2ab+2ac+bc

解:原式 =（4a²+2ab）+(2ac+bc)

       =2a(2a+b)+c(2a+b)

       =(2a+b)(2a+c)

分组后，每组提出公因式后，产生新的公因式能够继续分解因式，从而达到分解目的。

例2、   4a²-4a-b²-2b

解:原式=(4a²-b²)-(4a+2b)

  =(2a+b)(2a-b)-2(2a+b)

  =(2a+b)(2a-b-2)

按“二、二”分组，每组应用提公因式法，或用平方差公式，从而继续分解因式。

例3、   x²-y²+z²-2xz

解:原式=(x²-2xz+z²)-y²

       =(x-z²)-y²

       =(x+y-z)(x-y-z)

四项式按“三一”分组，使三项一组应用完全平方式，再应用平方差进行因式分解。

对于五项式一般可采用“三二”分组。三项这一组可采用提公因式法、完全平方式或十字相乘法，二项这一组可采用提公因式法或平方差公式分解，因此变化性较大。

例4、   x²-4xy+4y²-x+2y

解:原式=(x²-4xy+4y²)-(x-2y)

=(x-2y)²-(x-2y)

=(x-2y)(x-2y-1)

例5、   a²-b²+4a+2b+3

解:原式=(a²+4a+4)-(b²-2b+1)

=(a+2)²-(b-1)²

=(a+2+b-1)(a+2-b+1)

=(a+b+1)(a-b+3)

对于六项式可进行“二、二、二”分组，“三、三”分组，或“三、二、一”分组。

例6、   ax²-axy+bx²-bxy-cx²+cxy

①解:原式=(ax²-axy)+(bx²-bxy)-(cx²-cxy)

=ax(x-y)+bx(x-y)-cx(x-y)

=(x-y)(ax+bx-cx)

=x(x-y)(a+b-c)

②解:原式=(ax²+bx²-cx²)-(axy+bxy-cxy)

        =x²(a+b-c)-xy(a+b-c)

        =x(x-y)(a+b-c)

例7、   x²-2xy+y²+2x-2y+1

解:原式=(x²-2xy+y²)+(2x-2y)+1

=(x-y)²+2(x-y)+1

=(x-y+1)²

对于折项、添项法也可转化成这三种基本的方法来进行因式分解。

例8、   x⁴+4y⁴

解:原式=(x⁴+4x²y²+4y⁴)-4x²y²

=(x²+2y²)2-4x²y²

=(x²+2xy+2y²)(x²-2xy+2y²)

例9、   x⁴-23x²+1

解:原式=x⁴+2x²+1-25x²

      =(x²+1)²-25x²

      =(x²-5x+1)(x²+5x+1)

又如x³-7x-6可用折项、添项多种方法分解因式:

⑴x³-7x-6=(x³-x)-(6x+6)

⑵x³-7x-6=(x³-4x)-(3x+6)

⑶x³-7x-6=(x³+2x²+x)-(2x²+8x+6)

⑷x³-7x-6=(x³-6x²-7x)+(6x²-6)

只有掌握好三种基本的因式分解方法，才能应用转化思想处理灵活性较大、技巧性较强的题型。

因式分解是初中代数的重要内容，因其分解方法较多，题型变化较大，教学有一定难度。转化思想是数学的重要解题思想，对于灵活较大的题型进行因式分解，应用转化思想，有章可循，易于理解掌握，能收到较好的效果。

因式分解的基本方法是：提取公因式法、应用公式法、十字相乘法。对于结构比较简单的题型可直接应用它们来进行因式分解，学生能够容易掌握与应用。但对于分组分解法、折项、添项法就有些把握不住，应用转化就思想就能起到关键的作用。

分组分解法实质是一种手段，通过分组，每组采用三种基本方法进行因式分解，从而达到分组的目的，这就利用了转换思想。看下面几例：

例1、   4a²+2ab+2ac+bc

解:原式 =（4a²+2ab）+(2ac+bc)

       =2a(2a+b)+c(2a+b)

       =(2a+b)(2a+c)

分组后，每组提出公因式后，产生新的公因式能够继续分解因式，从而达到分解目的。

例2、   4a²-4a-b²-2b

解:原式=(4a²-b²)-(4a+2b)

  =(2a+b)(2a-b)-2(2a+b)

  =(2a+b)(2a-b-2)

按“二、二”分组，每组应用提公因式法，或用平方差公式，从而继续分解因式。

例3、   x²-y²+z²-2xz

解:原式=(x²-2xz+z²)-y²

       =(x-z²)-y²

       =(x+y-z)(x-y-z)

四项式按“三一”分组，使三项一组应用完全平方式，再应用平方差进行因式分解。

对于五项式一般可采用“三二”分组。三项这一组可采用提公因式法、完全平方式或十字相乘法，二项这一组可采用提公因式法或平方差公式分解，因此变化性较大。

例4、   x²-4xy+4y²-x+2y

解:原式=(x²-4xy+4y²)-(x-2y)

=(x-2y)²-(x-2y)

=(x-2y)(x-2y-1)

例5、   a²-b²+4a+2b+3

解:原式=(a²+4a+4)-(b²-2b+1)

=(a+2)²-(b-1)²

=(a+2+b-1)(a+2-b+1)

=(a+b+1)(a-b+3)

对于六项式可进行“二、二、二”分组，“三、三”分组，或“三、二、一”分组。

例6、   ax²-axy+bx²-bxy-cx²+cxy

①解:原式=(ax²-axy)+(bx²-bxy)-(cx²-cxy)

=ax(x-y)+bx(x-y)-cx(x-y)

=(x-y)(ax+bx-cx)

=x(x-y)(a+b-c)

②解:原式=(ax²+bx²-cx²)-(axy+bxy-cxy)

        =x²(a+b-c)-xy(a+b-c)

        =x(x-y)(a+b-c)

例7、   x²-2xy+y²+2x-2y+1

解:原式=(x²-2xy+y²)+(2x-2y)+1

=(x-y)²+2(x-y)+1

=(x-y+1)²

对于折项、添项法也可转化成这三种基本的方法来进行因式分解。

例8、   x⁴+4y⁴

解:原式=(x⁴+4x²y²+4y⁴)-4x²y²

=(x²+2y²)2-4x²y²

=(x²+2xy+2y²)(x²-2xy+2y²)

例9、   x⁴-23x²+1

解:原式=x⁴+2x²+1-25x²

      =(x²+1)²-25x²

      =(x²-5x+1)(x²+5x+1)

又如x³-7x-6可用折项、添项多种方法分解因式:

⑴x³-7x-6=(x³-x)-(6x+6)

⑵x³-7x-6=(x³-4x)-(3x+6)

⑶x³-7x-6=(x³+2x²+x)-(2x²+8x+6)

⑷x³-7x-6=(x³-6x²-7x)+(6x²-6)

只有掌握好三种基本的因式分解方法，才能应用转化思想处理灵活性较大、技巧性较强的题型。