《生活中的平面图形》教学实录 —— 初中数学第一册教案

《生活中的平面图形》教学实录


教学目标 经历从现实世界中抽象出平面图形的过程，感受图形世界的丰富多彩；认识多边形，探索多边形的某些性质；在活动中感受归纳思想；在活动中发展有条理地思考（感受分类思想）。
重点和难点 感受归纳思想和分类思想；归纳。
教具 贺卡

教学过程实录 

（上课铃响，眼保健操）
[师]上课！
[值日班长]起立！
[师]同学们好！
[生]老师好！
[师]请坐。
[生]谢谢老师！
[师]请同学们把书翻到第22页。
同学们都看到了，我们今天要讨论的内容呢，是“生活中的平面图形”。
前面呢，我们曾经讨论过生活中有很多实物，我们可以从中抽象出许多几何图形，比如说……？
[生]长方体、圆锥、棱柱、圆柱……还有球
[师]很好！大家说得都很好！这说明同学们都很聪明，学习也都很认真。不过呢，我们今天要讨论的几何图形和前面讨论过的几何图形有点不一样，有没有同学知道有什么不同吗？
[生1]……平面图形！
[生2]前面是空间的，今天是平面的。
[师]很好！
我们前面讨论的比如象长方体呀、圆柱或圆锥呀、还有球呀什么的，这些呢都是立体图形，而我们今天将要讨论的图形呢，都是平面图形。
大家请看书。
书上有几幅照片，我们可以从中看到哪些平面图形？
[生]有五边形。
[师]很好！有五边形。还有呢？
[生]有六边形。
[师]对！这些蜂窝的造型是六边形。
[生]有圆。
[师]嗯！奥运五环，是由5个圆组成的。
[生]长方形、三角形。
[师]对，很好！那栋建筑的主体建筑中有长方形，还有三角形的装饰图案。有没有同学知道这栋建筑的名称？
[生]……
[师]没有同学知道？如果我没记错的话，这张照片中的建筑应该是香港的，1997年香港回归的时候曾有过介绍，至于这栋建筑的名字我忘记了。
[师]昨天是教师节，有几位同学给我送了几张贺卡，我拿了几张过来。
（出示贺卡1）漂亮吧？很漂亮哦？大家看，我们可以找出哪些平面图形（图1）？

[生]荷兰风车。
[师]不错，非常富有异国情调的一座磨房。我们可以从中抽象出哪些几何图形呢？
[生]有长方形。
[生]有梯形。
[生]看不清楚。
[师]这张卡片基调比较素淡，坐在后面的同学可能不太看得清楚，待会儿下课的时候再传看一下，好不好？
[师]我们再看这张。
（出示贺卡2）漂亮吧？这张色调比较深，坐在后面的同学应该都看得清楚吧？（图1）
我们可以从这张卡片中抽象出哪些几何图形呢？
[生]长方形。
[生]三角形。
[生]圆。
[生]半圆。
[师]很好！刚才同学们提到的象三角形、长方形和圆等等图形，和我们前几天讨论过的棱柱、圆锥等图形一样，都是几何图形。只不过长方体等这些图形是立体图形，而我们今天所讨论的这些图形呢？
[生]平面图形。
[师]哎，很好！
[生]什么叫几何图形呀？
[师]噢，几何图形也就是说：我们不管它是什么材料做的，也不管它是重还是轻、什么颜色的、派什么用场等等……
[生]形状和大小。
[师]对！只考虑它的形状和大小，以及它们相互之间的位置关系。
[师]接下来，我们一起来讨论一下一些平面图形有些什么性质。
请大家准备好练习本。
[生]（准备）
[师]请同学们在练习本上分别画一个三角形、一个四边形、一个五边形、一个六边形。
[生]（活动）
[师]画好了吗？
[生]好了。
[师]请看黑板。
（在黑板上各画一个三角形、四边形、五边形、六边形，见图2）

[师]我们来看一下哦，我们把三角形、四边形、五边形、六边形等这些图形都称为多边形。
请同学们讨论一下：这些多边形都有些什么共同特点？
[生]都有线段。
[师]很好，都由线段组成。（板书：由线段组成）
[生]都有顶点。
[师]对！有顶点。（板书：顶点）
[生]都是包牢的。
[师]哇！太好了！它们都是封闭的。你看，有没有哪个图形在什么地方开了一个口子？（画示意图，图3）
[生]没有！
[师]（板书：封闭）
[生]这些线段都不在同一条直线上。
（原教材见附图）
[师]对呀！构成多边形的几条线段都不在同一条直线位置上。
（将板书中“由线段组成”改写成“由不在同一直线上的线段组成”）
[生]它们的边都是连牢的。
[师]对！连牢的，而不是分开的。（板书：连牢）
[生]应该是依次首尾相连。
[师]首尾相连？那么朱老师在这里有一个疑问噢，有没有同学能够给我说一说“首尾相连”是什么意思？
[生]就是头和尾巴接牢的。
[师]头和尾巴接牢的？是不是这个意思哦，你看朱老师这样理解你看对不对：也就是说，如果我们把每条线段的两个端点分别看成是这条线段的起点和终点，那么所谓的“依次首尾相连”也就是说第一条线段的终点恰好是第二条线段的起点，第二条线段的终点又恰好成为第三条线段的起点，依此类推：前一条线段的终点恰好是下一条线段的起点，直到最后一条线段的终点呢？（边说边在图上比划）
[生]第一条的起点。
[师]这就叫“依次首尾相连”。
[生]它是封闭的呀，那么肯定连牢的喽。
[师]哎，好象是噢？既然是封闭的，那么应该肯定是连牢的喽？
[生]连牢么不一定是首尾连牢的喽！
[师]还有其它连法是吧？我们来看一看。（画图4）
是不是连牢的？
[生]是！
[师]是不是封闭的？
[生]是！
[师]它是多边形吗？
[生]不是。
[师]那么根据我们探讨出来的这些多边形所共同具有的这些特点，我们能不能给多边形下个定义？也就是说：什么叫多边形？
[生]由不在同一直线上的几条线段依次首尾相连而成的封闭图形叫多边形。
[师]很好！
这些多边形呢，我们还可以给它们取名字。比如说这个三角形（见图2），它有三个顶点，我们把它的三个顶点分别记为A、B、C（图5），那么这个三角形就叫“三角形ABC”。

[生]好不好叫它BCA的呀？
[师]哎，这个问题提得好！可不可以叫它三角形BCA？
[生]可以的。
[生]不可以，叫它三角形BCA么变成另外一个三角形了喽！
[生]还是这个喽，三角形没变过呀！
[众生]可以。
[师]很好！ΔABC和ΔBCA，都是指同一个三角形，也就是这个三角形。就好比这本书，我们叫它作“书”，美国人叫它“book”。
[师]现在，请同学们给你刚才所画的这个四边形的四个顶点依次标上字母A、B、C、D。请注意：字母要大写，要按照顺序依次书写。
[师]现在，请看这个四边形，它有四个顶点A、B、C、D，我们任意选择其中一个顶点，选哪一个？
[生]A好了。
[师]好！我们选择顶点A。现在，我们把顶点A和其它三个顶点分别连结起来，得到三条线段AB、AC和AD。
在这三条线段中，AB和AD原来就是这个四边形的两条边，而线段AC则是新增加的，我把它用虚线来表示（图5）。
我们把新增加的这条线段AC，称为这个四边形的一条对角线。
请同学们观察一下，在增加了这条对角线以后，图形有什么变化？
[生]变成两个三角形了。
[师]很好！四边形的一条对角线将这个四边形分割成了两个三角形。
现在，请大家看自己刚才所画的这个五边形，
请选择其中一个顶点，
请你画出从这个顶点出发的所有对角线。
[师]从五边形的一个顶点出发，一共有几条对角线？
[生]2条。
[师]这2条对角线把这个五边形分割成几个三角形？
[生]3个。
[师]那么在六边形中，从一个顶点出发应该有几条对角线？
[生]应该有3条。
[师]如果是3条对角线，应该把这个六边形分割成几个三角形？
[生]4个。
[师]请验证你的猜测。
[师]画好了吗？我们刚才猜得对不对？
[生]对的。
[师]请看黑板（画出图6）。
我们来看一下：从四边形的一个顶点出发，有1条对角线，把这个四边形分割成2个三角形；从五边形的一个顶点出发，有2条对角线，把这个五边形分割成3个三角形；从六边形的一个顶点出发，有3条对角线，把这个六边形分割成4个三角形。这其中是不是可能存在着某种规律？（列出表1）
表1 对角线 三角形
四边形 1 2
五边形 2 3
六边形 3 4
[生]三角形比对角线多1个。
[师]是这样吗？
[生]是的。
[师]那么能不能对七边形的情况作个验证？
[生]（活动）
[生]（非常兴奋地）对的。
[师]我们是否可以作如此猜想：对于任意一个多边形，从其中一个顶点出发所得到的所有对角线，将这个多边形分割成三角形的数目，总比从这个顶点出发所得到的对角线的数目要多1个？
[生]是的！
[师]那么照这样推测的话，一个 边形，它有 条边和 个顶点。
[生] 是什么？
[师] 是什么？它表示某一个多边形的边数。如果这个多边形是四边形，那么这个 它就是4；如果这个多边形是100边形，那么这个 就是100。
现在，我们先选择这个 边形的一个顶点，如果从这个顶点出发的对角线恰好有 条，那么被分割成的三角形应该有多少？
[生] 个。
[师]确定吗？
[生]确定！
[师]同学们确实非常聪明！
（将表1改写成表2）
边数 对角线 三角形
4 1 2
5 2 3
6 3 4
… … …


[师]你知道吗？同学们刚才所使用的这种推理的方法，是在科学研究中非常有用的一种方法，叫做“归纳法”。
有许多科学发现，就是科学家们从有限的、特殊的事例中分析总结出它们共同的规律或特点，得出某个结论，再用这个结论去指导后面的研究，从而获得了许多发现。
当然，用这种方法所获得的结论有时候也可能会出错。由于结论是从特殊的、有限的事例中总结出来的，因此有时候它不一定能适合所有的情况。所以，对于用这种方法所得到的结论的正确性，往往还需要我们去证明。
[师]现在请同学们看这里。
我们来看一看这张表：
在四边形中，有1条对角线，2个三角形；五边形中，有2条对角线，3个三角形，等等，现在我们要研究的问题就是：是不是对所有的多边形都是这样？还是只对部分多边形才是这样？一个多边形，如果从一个顶点出发的对角线有 条，那么被分割成三角形的个数是不是一定比 多1个，也就是 个呢？怎么说明这一点呢？
[生]……
[生]一根棒头，折一下，变成两段；再折一下，又多出一段；以后每折一下就多出一段，所以这里也是一样的。
[师]不折呢？
[生]1段。
[师]以后每次折一下，是不是只能折其中的某一段？能不能两段同时折？
[生]不能。
[师]那么原来是一段，每折一次总数只能增加1，折了几次就增加了几段，所以被折成小棒头的数目是不是总比折的次数要多1？
[生]是的！
[师]那么回到我们的多边形中来，怎么解决？
[生]用刀切。
[师]对！沿着对角线用刀切。不切的时候有几块？
[生] 1块。
[师]每切1刀？
[生]多出1块。
[师]现在这个多边形一共有几条对角线？ 
[生] 条。
[师]也就是一共切了 刀是吧？是不是在原来1的基础上增加了 块？那么一共就有？ 
[生] 个三角形。
[师]也就是说：任何一个多边形，从一个顶点出发的对角线有几条，那么被分割成三角形的数目一定比它…
[生]多1个
[师]OK！鼓鼓掌！
[生]（鼓掌）
[师]这位同学，从线的情况推广到面的情况，从而解决了我们的问题，其想法非常巧妙！让我们再次为他的聪明才智鼓掌！
[生]（鼓掌）
[师]好！刚才我们解决了一个难题，证明了多边形中，从一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成三角形的个数一定比对角线的条数要多1个。
[师]对于一个n边形来说，它从一个顶点出发的对角线有多少我们并不知道。我们这里的 只是一个假设，从四边形、五边形和六边形的情况来看，这个结论似乎是正确的。就是说：任意一个多边形，从它的一个顶点发出的对角线的数目比它的边数少3。
有没有同学能够再次来证明一下？
[生]……
[师]看一看，想一想。
[生]是的。
[师]哦？说说看？
[生]几边形么就有几个顶点，它自己就已经有一个了，那么就少了一个；它旁边还有两条本来就是边，这样就又少了2条，一共少了3条。所以…（声音轻下去了）
[师]是不是这样？来来来，请你把刚才的话再说一遍好不好？有几个同学没听明白。
[生]哦~呜~~我说不来的。
[师]说不来的啊？刚才说得蛮好么！来！你胆子大一点好了，不要紧的！
[生]呜~不要不要。
[师]好，那么我把刚才听到的话再说一遍好不好？
[众生]好。
[师]多边形有几条边就有几个顶点是不是？当我们选定其中一个顶点的时候，另外的顶点还有几个？
[生]（n-1）个。
[师]这样我们把所有这些顶点和一开始选中的那个顶点连起来，是不是只有（n-1）条线段？这就比边数少一个了是不是？ 
[生]是。
[师]但这些得到的线段是不是每一条都是对角线？
[生]不是。
[师]为什么？
[生]有两条是边。
[师]对！你看，和这个顶点最接近的两个顶点，左边一个，右边一个，这两点和原来的那个点连起来的这两条线段都不是对角线，而是这个多边形的边，要不要去掉？
[生]要。
[师]这样又少了2个，一共少了几个啦？
[生]3个。
[师]现在剩下的是不是都是对角线？
[生]是的。
[师]也就是说对角线的数目一定比边的数目要少3，对不对？
[生]对！
[师]来，给点掌声鼓励鼓励！
[生]（鼓掌）

[师]很好！
我们回顾一下刚才的学习内容：从生活中所熟悉的事物中抽象出几何图形，然后对这些图形的某些性质进行了探讨。在探索活动中，同学们充分发挥了自己的聪明才智，发现了很多非常重要的结论。如果我们把这些结论本身先放在一边不说，就得到结论的整个过程而言，这个过程本身是不是也非常有意义？
[生]是！
[师]所以，同学们在今后的学习过程中一定要注意：除了学好我们书上的知识内容本身之外，更要注意学习方法，要学会学习，学会思考。
比如说，请看课本第23页。
看到了吧？有一只猫（见原教材）。
[生]狐狸。
[师]嗯，更象狐狸。
不管它是猫还是狐狸，看到了没有，整个图案都是由什么图形组成的？
[生]三角形。
[师]数数看，共有多少个三角形？怎么数？可以互相交流一下。
[生]12个。
[师]怎么数的？
[生]一个一个数。
[师]哦，一个一个地数。
那么如果三角形再多一点的话，你这样一个一个地数是不是很容易数错？比如说有的可能数漏了，还有的可能数重了？
[生]可能的。
[师]有没有什么好的办法，有规律地数，既不会漏数，也不会重数？
[生]把它们编上号。
[师]嗯，这办法不错！
[生]这样很难看了。
[师]嗯，如果编上号，那么这幅画就比较难看了，并且有时候如果图形复杂一点的话，图形和图形交叠在一起，你写了一个5，这个5究竟是指哪个图形呢？有时候是不是也会搞错啊？
[生]可能的。
[师]还有没有其它办法？
[生]……
[师]那么我们来看看这个图形（画出图7），它里面共有几个三角形？
[生]……
[师]想想看，怎么数？哪怕三角形再多也同样能够有条不紊地数得清楚？
[生]13个。
[生]13个。
[师]你怎么数的？
[生]看大小。
[师]怎么说？
[生]喏，看大小。先数小的，有9个；再数中的，有3个；最后数大的，1个，一共13个。
[师]OK！给点掌声！
我们把所有的三角形按大小分成三类：第一类，边长为1个单位的三角形，（画出图8），有几个？
[生]9个。
[师]第二类，边长为2的三角形，共有3个；第三类，边长为3的三角形，只有1个。那么所有的三角形只要加加起来就行了。
[生]13个。
[师]很好！
按照这样的方法去数，哪怕三角形再多，怕不怕？
[生]不怕。
[师]所以说，我们要学会有条理地去思考解决问题。
好，现在我们再来看看这只猫，或者说狐狸，怎么来数它的三角形？
[生]……
[生]先数头，再数身子，再数尾巴。
（下课铃响）
[师]这样做显得很有条理。
请同学们看书上的第24页。
我们来看，书上有什么叫弧、什么叫扇形，自己回去看一看。后面“读一读”里有几种正多面体，每种正多面体有几个面、每个面是正几边形、共有多少个顶点、多少条棱，这些呢，书上的表里面也都列出了。
有一个问题：就是每种正多面体告诉你有几个面以及每个面的形状，问你有几条棱、几个顶点？如果叫你自己去数，你准备怎么样去数？能不能通过计算来得到？回去考虑考虑，好不好？
[生]好！
[师]作业：第26页习题1.8，第1、2、3三题，记住哦：先抄题目后解答！
[生]记住了，先抄题目后解答。
[师]现在下课！

《生活中的平面图形》教学实录


教学目标 经历从现实世界中抽象出平面图形的过程，感受图形世界的丰富多彩；认识多边形，探索多边形的某些性质；在活动中感受归纳思想；在活动中发展有条理地思考（感受分类思想）。
重点和难点 感受归纳思想和分类思想；归纳。
教具 贺卡

教学过程实录 

（上课铃响，眼保健操）
[师]上课！
[值日班长]起立！
[师]同学们好！
[生]老师好！
[师]请坐。
[生]谢谢老师！
[师]请同学们把书翻到第22页。
同学们都看到了，我们今天要讨论的内容呢，是“生活中的平面图形”。
前面呢，我们曾经讨论过生活中有很多实物，我们可以从中抽象出许多几何图形，比如说……？
[生]长方体、圆锥、棱柱、圆柱……还有球
[师]很好！大家说得都很好！这说明同学们都很聪明，学习也都很认真。不过呢，我们今天要讨论的几何图形和前面讨论过的几何图形有点不一样，有没有同学知道有什么不同吗？
[生1]……平面图形！
[生2]前面是空间的，今天是平面的。
[师]很好！
我们前面讨论的比如象长方体呀、圆柱或圆锥呀、还有球呀什么的，这些呢都是立体图形，而我们今天将要讨论的图形呢，都是平面图形。
大家请看书。
书上有几幅照片，我们可以从中看到哪些平面图形？
[生]有五边形。
[师]很好！有五边形。还有呢？
[生]有六边形。
[师]对！这些蜂窝的造型是六边形。
[生]有圆。
[师]嗯！奥运五环，是由5个圆组成的。
[生]长方形、三角形。
[师]对，很好！那栋建筑的主体建筑中有长方形，还有三角形的装饰图案。有没有同学知道这栋建筑的名称？
[生]……
[师]没有同学知道？如果我没记错的话，这张照片中的建筑应该是香港的，1997年香港回归的时候曾有过介绍，至于这栋建筑的名字我忘记了。
[师]昨天是教师节，有几位同学给我送了几张贺卡，我拿了几张过来。
（出示贺卡1）漂亮吧？很漂亮哦？大家看，我们可以找出哪些平面图形（图1）？

[生]荷兰风车。
[师]不错，非常富有异国情调的一座磨房。我们可以从中抽象出哪些几何图形呢？
[生]有长方形。
[生]有梯形。
[生]看不清楚。
[师]这张卡片基调比较素淡，坐在后面的同学可能不太看得清楚，待会儿下课的时候再传看一下，好不好？
[师]我们再看这张。
（出示贺卡2）漂亮吧？这张色调比较深，坐在后面的同学应该都看得清楚吧？（图1）
我们可以从这张卡片中抽象出哪些几何图形呢？
[生]长方形。
[生]三角形。
[生]圆。
[生]半圆。
[师]很好！刚才同学们提到的象三角形、长方形和圆等等图形，和我们前几天讨论过的棱柱、圆锥等图形一样，都是几何图形。只不过长方体等这些图形是立体图形，而我们今天所讨论的这些图形呢？
[生]平面图形。
[师]哎，很好！
[生]什么叫几何图形呀？
[师]噢，几何图形也就是说：我们不管它是什么材料做的，也不管它是重还是轻、什么颜色的、派什么用场等等……
[生]形状和大小。
[师]对！只考虑它的形状和大小，以及它们相互之间的位置关系。
[师]接下来，我们一起来讨论一下一些平面图形有些什么性质。
请大家准备好练习本。
[生]（准备）
[师]请同学们在练习本上分别画一个三角形、一个四边形、一个五边形、一个六边形。
[生]（活动）
[师]画好了吗？
[生]好了。
[师]请看黑板。
（在黑板上各画一个三角形、四边形、五边形、六边形，见图2）

[师]我们来看一下哦，我们把三角形、四边形、五边形、六边形等这些图形都称为多边形。
请同学们讨论一下：这些多边形都有些什么共同特点？
[生]都有线段。
[师]很好，都由线段组成。（板书：由线段组成）
[生]都有顶点。
[师]对！有顶点。（板书：顶点）
[生]都是包牢的。
[师]哇！太好了！它们都是封闭的。你看，有没有哪个图形在什么地方开了一个口子？（画示意图，图3）
[生]没有！
[师]（板书：封闭）
[生]这些线段都不在同一条直线上。
（原教材见附图）
[师]对呀！构成多边形的几条线段都不在同一条直线位置上。
（将板书中“由线段组成”改写成“由不在同一直线上的线段组成”）
[生]它们的边都是连牢的。
[师]对！连牢的，而不是分开的。（板书：连牢）
[生]应该是依次首尾相连。
[师]首尾相连？那么朱老师在这里有一个疑问噢，有没有同学能够给我说一说“首尾相连”是什么意思？
[生]就是头和尾巴接牢的。
[师]头和尾巴接牢的？是不是这个意思哦，你看朱老师这样理解你看对不对：也就是说，如果我们把每条线段的两个端点分别看成是这条线段的起点和终点，那么所谓的“依次首尾相连”也就是说第一条线段的终点恰好是第二条线段的起点，第二条线段的终点又恰好成为第三条线段的起点，依此类推：前一条线段的终点恰好是下一条线段的起点，直到最后一条线段的终点呢？（边说边在图上比划）
[生]第一条的起点。
[师]这就叫“依次首尾相连”。
[生]它是封闭的呀，那么肯定连牢的喽。
[师]哎，好象是噢？既然是封闭的，那么应该肯定是连牢的喽？
[生]连牢么不一定是首尾连牢的喽！
[师]还有其它连法是吧？我们来看一看。（画图4）
是不是连牢的？
[生]是！
[师]是不是封闭的？
[生]是！
[师]它是多边形吗？
[生]不是。
[师]那么根据我们探讨出来的这些多边形所共同具有的这些特点，我们能不能给多边形下个定义？也就是说：什么叫多边形？
[生]由不在同一直线上的几条线段依次首尾相连而成的封闭图形叫多边形。
[师]很好！
这些多边形呢，我们还可以给它们取名字。比如说这个三角形（见图2），它有三个顶点，我们把它的三个顶点分别记为A、B、C（图5），那么这个三角形就叫“三角形ABC”。

[生]好不好叫它BCA的呀？
[师]哎，这个问题提得好！可不可以叫它三角形BCA？
[生]可以的。
[生]不可以，叫它三角形BCA么变成另外一个三角形了喽！
[生]还是这个喽，三角形没变过呀！
[众生]可以。
[师]很好！ΔABC和ΔBCA，都是指同一个三角形，也就是这个三角形。就好比这本书，我们叫它作“书”，美国人叫它“book”。
[师]现在，请同学们给你刚才所画的这个四边形的四个顶点依次标上字母A、B、C、D。请注意：字母要大写，要按照顺序依次书写。
[师]现在，请看这个四边形，它有四个顶点A、B、C、D，我们任意选择其中一个顶点，选哪一个？
[生]A好了。
[师]好！我们选择顶点A。现在，我们把顶点A和其它三个顶点分别连结起来，得到三条线段AB、AC和AD。
在这三条线段中，AB和AD原来就是这个四边形的两条边，而线段AC则是新增加的，我把它用虚线来表示（图5）。
我们把新增加的这条线段AC，称为这个四边形的一条对角线。
请同学们观察一下，在增加了这条对角线以后，图形有什么变化？
[生]变成两个三角形了。
[师]很好！四边形的一条对角线将这个四边形分割成了两个三角形。
现在，请大家看自己刚才所画的这个五边形，
请选择其中一个顶点，
请你画出从这个顶点出发的所有对角线。
[师]从五边形的一个顶点出发，一共有几条对角线？
[生]2条。
[师]这2条对角线把这个五边形分割成几个三角形？
[生]3个。
[师]那么在六边形中，从一个顶点出发应该有几条对角线？
[生]应该有3条。
[师]如果是3条对角线，应该把这个六边形分割成几个三角形？
[生]4个。
[师]请验证你的猜测。
[师]画好了吗？我们刚才猜得对不对？
[生]对的。
[师]请看黑板（画出图6）。
我们来看一下：从四边形的一个顶点出发，有1条对角线，把这个四边形分割成2个三角形；从五边形的一个顶点出发，有2条对角线，把这个五边形分割成3个三角形；从六边形的一个顶点出发，有3条对角线，把这个六边形分割成4个三角形。这其中是不是可能存在着某种规律？（列出表1）
表1 对角线 三角形
四边形 1 2
五边形 2 3
六边形 3 4
[生]三角形比对角线多1个。
[师]是这样吗？
[生]是的。
[师]那么能不能对七边形的情况作个验证？
[生]（活动）
[生]（非常兴奋地）对的。
[师]我们是否可以作如此猜想：对于任意一个多边形，从其中一个顶点出发所得到的所有对角线，将这个多边形分割成三角形的数目，总比从这个顶点出发所得到的对角线的数目要多1个？
[生]是的！
[师]那么照这样推测的话，一个 边形，它有 条边和 个顶点。
[生] 是什么？
[师] 是什么？它表示某一个多边形的边数。如果这个多边形是四边形，那么这个 它就是4；如果这个多边形是100边形，那么这个 就是100。
现在，我们先选择这个 边形的一个顶点，如果从这个顶点出发的对角线恰好有 条，那么被分割成的三角形应该有多少？
[生] 个。
[师]确定吗？
[生]确定！
[师]同学们确实非常聪明！
（将表1改写成表2）
边数 对角线 三角形
4 1 2
5 2 3
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… … …


[师]你知道吗？同学们刚才所使用的这种推理的方法，是在科学研究中非常有用的一种方法，叫做“归纳法”。
有许多科学发现，就是科学家们从有限的、特殊的事例中分析总结出它们共同的规律或特点，得出某个结论，再用这个结论去指导后面的研究，从而获得了许多发现。
当然，用这种方法所获得的结论有时候也可能会出错。由于结论是从特殊的、有限的事例中总结出来的，因此有时候它不一定能适合所有的情况。所以，对于用这种方法所得到的结论的正确性，往往还需要我们去证明。
[师]现在请同学们看这里。
我们来看一看这张表：
在四边形中，有1条对角线，2个三角形；五边形中，有2条对角线，3个三角形，等等，现在我们要研究的问题就是：是不是对所有的多边形都是这样？还是只对部分多边形才是这样？一个多边形，如果从一个顶点出发的对角线有 条，那么被分割成三角形的个数是不是一定比 多1个，也就是 个呢？怎么说明这一点呢？
[生]……
[生]一根棒头，折一下，变成两段；再折一下，又多出一段；以后每折一下就多出一段，所以这里也是一样的。
[师]不折呢？
[生]1段。
[师]以后每次折一下，是不是只能折其中的某一段？能不能两段同时折？
[生]不能。
[师]那么原来是一段，每折一次总数只能增加1，折了几次就增加了几段，所以被折成小棒头的数目是不是总比折的次数要多1？
[生]是的！
[师]那么回到我们的多边形中来，怎么解决？
[生]用刀切。
[师]对！沿着对角线用刀切。不切的时候有几块？
[生] 1块。
[师]每切1刀？
[生]多出1块。
[师]现在这个多边形一共有几条对角线？ 
[生] 条。
[师]也就是一共切了 刀是吧？是不是在原来1的基础上增加了 块？那么一共就有？ 
[生] 个三角形。
[师]也就是说：任何一个多边形，从一个顶点出发的对角线有几条，那么被分割成三角形的数目一定比它…
[生]多1个
[师]OK！鼓鼓掌！
[生]（鼓掌）
[师]这位同学，从线的情况推广到面的情况，从而解决了我们的问题，其想法非常巧妙！让我们再次为他的聪明才智鼓掌！
[生]（鼓掌）
[师]好！刚才我们解决了一个难题，证明了多边形中，从一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成三角形的个数一定比对角线的条数要多1个。
[师]对于一个n边形来说，它从一个顶点出发的对角线有多少我们并不知道。我们这里的 只是一个假设，从四边形、五边形和六边形的情况来看，这个结论似乎是正确的。就是说：任意一个多边形，从它的一个顶点发出的对角线的数目比它的边数少3。
有没有同学能够再次来证明一下？
[生]……
[师]看一看，想一想。
[生]是的。
[师]哦？说说看？
[生]几边形么就有几个顶点，它自己就已经有一个了，那么就少了一个；它旁边还有两条本来就是边，这样就又少了2条，一共少了3条。所以…（声音轻下去了）
[师]是不是这样？来来来，请你把刚才的话再说一遍好不好？有几个同学没听明白。
[生]哦~呜~~我说不来的。
[师]说不来的啊？刚才说得蛮好么！来！你胆子大一点好了，不要紧的！
[生]呜~不要不要。
[师]好，那么我把刚才听到的话再说一遍好不好？
[众生]好。
[师]多边形有几条边就有几个顶点是不是？当我们选定其中一个顶点的时候，另外的顶点还有几个？
[生]（n-1）个。
[师]这样我们把所有这些顶点和一开始选中的那个顶点连起来，是不是只有（n-1）条线段？这就比边数少一个了是不是？ 
[生]是。
[师]但这些得到的线段是不是每一条都是对角线？
[生]不是。
[师]为什么？
[生]有两条是边。
[师]对！你看，和这个顶点最接近的两个顶点，左边一个，右边一个，这两点和原来的那个点连起来的这两条线段都不是对角线，而是这个多边形的边，要不要去掉？
[生]要。
[师]这样又少了2个，一共少了几个啦？
[生]3个。
[师]现在剩下的是不是都是对角线？
[生]是的。
[师]也就是说对角线的数目一定比边的数目要少3，对不对？
[生]对！
[师]来，给点掌声鼓励鼓励！
[生]（鼓掌）

[师]很好！
我们回顾一下刚才的学习内容：从生活中所熟悉的事物中抽象出几何图形，然后对这些图形的某些性质进行了探讨。在探索活动中，同学们充分发挥了自己的聪明才智，发现了很多非常重要的结论。如果我们把这些结论本身先放在一边不说，就得到结论的整个过程而言，这个过程本身是不是也非常有意义？
[生]是！
[师]所以，同学们在今后的学习过程中一定要注意：除了学好我们书上的知识内容本身之外，更要注意学习方法，要学会学习，学会思考。
比如说，请看课本第23页。
看到了吧？有一只猫（见原教材）。
[生]狐狸。
[师]嗯，更象狐狸。
不管它是猫还是狐狸，看到了没有，整个图案都是由什么图形组成的？
[生]三角形。
[师]数数看，共有多少个三角形？怎么数？可以互相交流一下。
[生]12个。
[师]怎么数的？
[生]一个一个数。
[师]哦，一个一个地数。
那么如果三角形再多一点的话，你这样一个一个地数是不是很容易数错？比如说有的可能数漏了，还有的可能数重了？
[生]可能的。
[师]有没有什么好的办法，有规律地数，既不会漏数，也不会重数？
[生]把它们编上号。
[师]嗯，这办法不错！
[生]这样很难看了。
[师]嗯，如果编上号，那么这幅画就比较难看了，并且有时候如果图形复杂一点的话，图形和图形交叠在一起，你写了一个5，这个5究竟是指哪个图形呢？有时候是不是也会搞错啊？
[生]可能的。
[师]还有没有其它办法？
[生]……
[师]那么我们来看看这个图形（画出图7），它里面共有几个三角形？
[生]……
[师]想想看，怎么数？哪怕三角形再多也同样能够有条不紊地数得清楚？
[生]13个。
[生]13个。
[师]你怎么数的？
[生]看大小。
[师]怎么说？
[生]喏，看大小。先数小的，有9个；再数中的，有3个；最后数大的，1个，一共13个。
[师]OK！给点掌声！
我们把所有的三角形按大小分成三类：第一类，边长为1个单位的三角形，（画出图8），有几个？
[生]9个。
[师]第二类，边长为2的三角形，共有3个；第三类，边长为3的三角形，只有1个。那么所有的三角形只要加加起来就行了。
[生]13个。
[师]很好！
按照这样的方法去数，哪怕三角形再多，怕不怕？
[生]不怕。
[师]所以说，我们要学会有条理地去思考解决问题。
好，现在我们再来看看这只猫，或者说狐狸，怎么来数它的三角形？
[生]……
[生]先数头，再数身子，再数尾巴。
（下课铃响）
[师]这样做显得很有条理。
请同学们看书上的第24页。
我们来看，书上有什么叫弧、什么叫扇形，自己回去看一看。后面“读一读”里有几种正多面体，每种正多面体有几个面、每个面是正几边形、共有多少个顶点、多少条棱，这些呢，书上的表里面也都列出了。
有一个问题：就是每种正多面体告诉你有几个面以及每个面的形状，问你有几条棱、几个顶点？如果叫你自己去数，你准备怎么样去数？能不能通过计算来得到？回去考虑考虑，好不好？
[生]好！
[师]作业：第26页习题1.8，第1、2、3三题，记住哦：先抄题目后解答！
[生]记住了，先抄题目后解答。
[师]现在下课！