圆的内接四边形

1. 知识结构

　　2. 重点、难点分析

　　重点：圆内接四边形的性质定理．它是圆中探求角相等或互补关系的常用定理，同时也是转移角的常用方法．

　　难点：定理的灵活运用．使用性质定理时应注意观察图形、分析图形，不要弄错四边形的

　　外角和它的内对角的相互对应位置．

　　3. 教法建议

　　本节内容需要一个课时．

　　（1）教师的重点是为学生创设一个探究问题的情境（参看教学设计示例），组织学生自主观察、分析和探究；

　　（2）在教学中以“发现——证明——应用”为主线，以“特殊——一般”的探究方法，引导学生发现与证明的思想方法．

一、教学目标：

　　（一）知识目标

　　（1）了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念；

　　（2）掌握圆内接四边形的概念及其性质定理；

　　（3）熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明．

　　（二）能力目标

　　（1）通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力；

　　（2）通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维；

　　（3）通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力．

　　（三）情感目标

　　（1）充分发挥学生的主体作用，激发学生的探究的热情；

　　（2）渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点．

　　二、教学重点和难点:

　　重点：圆内接四边形的性质定理．

　　难点：定理的灵活运用．

　　三、教学过程设计

　　（一）基本概念

　　如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形ABCD的外接圆．

　　（二）创设研究情境

　　问题：一般的圆内接四边形具有什么性质？

　　研究：圆的特殊内接四边形（矩形、正方形、等腰梯形）

　　教师组织、引导学生研究．

　　1、边的性质：

　　（1）矩形：对边相等，对边平行．

　　（2）正方形：对边相等，对边平行，邻边相等．

　　（3）等腰梯形：两腰相等，有一组对边平行．

　　归纳：圆内接四边形的边之间看不出存在什么公同的性质．

　　2、角的关系

　　

　　猜想：圆内接四边形的对角互补．

　（三）证明猜想

　　教师引导学生证明．（参看思路）

　　思路1：在矩形中，外接圆心即为它的对角线的中点，∠A与∠B均为平角∠BOD的一半，在一般的圆内接四边形中，只要把圆心O与一组对顶点B、D分别相连，能得到什么结果呢?

　　∠A= ，∠C=

　　∴∠A+∠C=

　　思路2：在正方形中，外接圆心即为它的对角线的交点．把圆心与各顶点相连，与各边所成的角均方45°的角．在一般的圆内接四边形中，把圆心与各顶点相连，能得到什么结果呢?

　　这时有2(α+β+γ+δ)=360°

　　所以  α+β+γ+δ=180°

　　而    β+γ=∠A，α+δ=∠C，

　　∴∠A+∠C=180°，可得，圆内接四边形的对角互补．

　　（四）性质及应用

　　定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角．

　　（对A层学生应知，逆定理成立， 4点共圆）

　　例  已知：如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，经过A的直线与⊙O₁交于点C，与⊙O₂交于点D．过B的直线与⊙O₁交于点E，与⊙O₂交于点F．

　　求证：CE∥DF．

　　（分析与证明学生自主完成）

　　说明：①连结AB这是一种常见的引辅助线的方法．对于这道例题，连结AB以后，可以构造出两个圆内接四边形，然后利用圆内接四边形的关于角的性质解决．

　　②教师在课堂教学中，善于调动学生对例题、重点习题的剖析，多进行一点一题多变，一题多解的训练，培养学生发散思维，勇于创新．

　　巩固练习：教材P98中1、2．

　　（五）小结

　　知识：圆内接多边形——圆内接四边形——圆内接四边形的性质．

　　思想方法：①“特殊——一般”研究问题的方法；②构造圆内接四边形；③一题多解，一题多变．

　　（六）作业：教材P101中15、16、17题；教材P102中B组5题．

探究活动

　　问题： 已知，点A在⊙O上，⊙A与⊙O相交于B、C两点，点D是⊙A上（不与B、C重合）一点，直线BD与⊙O相交于点E．试问：当点D在⊙A上运动时，能否判定△CED的形状？说明理由．

　　分析  要判定△CED的形状，当运动到BD经过⊙A的圆心A时，此时点E与点A重合，可以发现△CED是等腰三角形，从而猜想对一般情况是否也能成立，进一步观察可发现在运动过程中∠D及∠CED的大小保持不变，△CED的形状保持不变．

　　

　　提示：分两种情况

　　（1）当点D在⊙O外时．证明△CDE∽△CAD’即可

　　（2）当点D在⊙O内时． 利用圆内接四边形外角等于内对角可证明△CDE∽△CAD’即可

　　说明：（1）本题应用同弧所对的圆周角相等，及圆内接四边形外角等于内对角，改变圆周角顶点位置，进行角的转换；

　　（2）本题为图形形状判定型的探索题，结论的探索同样运用图形运动思想，证明结论将一般位置转化成特殊位置，同时获得添辅助线的方法，这也是添辅助线的常用的思想方法；

　　（3）一般地，有时对几种不同位置图形探索得到相同结论，但不同位置的证明方法不同时，也要进行分类讨论．本题中，如果将直线BD运动到使点E在BD的反向延长线上时，
△CDE仍然是等腰三角形．

 

《圆的内接四边形》