二次函数y=ax2的图象（一） —— 初中数学第五册教案

课题   二次函数y=ax2的图象（一）

一、教学目的

1．使学生初步理解二次函数的概念。

2．使学生会用描点法画二次函数y=ax²的图象。

3．使学生结合y=ax²的图象初步理解抛物线及其有关的概念。

二、教学重点、难点

重点：对二次函数概念的初步理解。

难点：会用描点法画二次函数y=ax²的图象。

三、教学过程

复习提问

1．在下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？

（1）y=x/4；（2）y=4/x；（3）y=2x-5；（4）y=x² - 2。

2．什么是一无二次方程？

3．怎样用找点法画函数的图象？

新课

1．由具体问题引出二次函数的定义。

（1）已知圆的面积是Scm²，圆的半径是Rcm，写出空上圆的面积S与半径R之间的函数关系式。

（2）已知一个矩形的周长是60m，一边长是Lm，写出这个矩形的面积S（m²）与这个矩形的一边长L之间的函数关系式。

（3）农机厂第一个月水泵的产量为50台，第三个月的产量y（台）与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？

解：（1）函数解析式是S=πR²；

（2）函数析式是S=30L—L²；

（3）函数解析式是y=50（1+x）²，即

         y=50x²+100x+50。

由以上三例启发学生归纳出：

（1）函数解析式均为整式；

（2）处变量的最高次数是2。

我们说三个式子都表示的是二次函数。

一般地，如果y=ax²+bx+c（a，b，c没有限制而a≠0），那么y叫做x的二次函数，请注意这里b，c没有限制，而a≠0。

2．画二次函数y=x²的图象。

按照描点法分三步画图：

（1）列表   ∵ x可取任意实数，∴ 以0为中心选取x值，以1为间距取值，且取整数值，便于计算，又x取相反数时，相应的y值相同；

（2）描点  按照表中所列出的函数对应值，在平面直角坐标系中描出相应的7个点；

（3）边线  用平滑曲线顺次连接各点，即得所求y=x²的图象。

注意两点：

（1）由于我们只描出了7个点，但自矿业量取值范围是实数，故我们只画出了实际图象的一部分，即画出了在原点附近、自变量在-3到3这个区间的一部分。而图象在x>3或x<-3的区间是无限延伸的。

（2）所画的图象是近似的。

3．在原点附近较精确地研究二次函数y=x²的图象形状到底如何？——我们 –1与1之间每隔0.2的间距取x值表和图13-14。按课本P₁₁₈内容讲解。

4．引入抛物线的概念。

关于抛物线的顶点应从两方面分析：一是从图象上看，y=x²的图象的顶点是最低点；一是从解析式y=x²看，当x=0时，y=x²取得最小值0，故抛物线y=x²的顶点是（0，0）。

小结

1．二次函数的定义。

（1）函数解析式关于自变量是整式；（2）函数自变量的最高次数是2。

2．二次函数y=x²的图象。

（1）其图象叫抛物线；（2）抛物线y=x²的对称轴是y轴，开口向上，顶点是原点。

补充例题

下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a，b，c？

（1）y=2-3x²；                    （2）y=x (x-4)；

（3）y=1/2x²-3x-1；                （4）y=1/4x²+3x-8；

（5）y=7x（1-x）+4x²；            （6）y=（x-6）（6+x）。

作业：P₁₂₂中A组1，2，3。

四、教学注意问题

1．注意渗透局部和全体、有限和无限、近似和精确等矛盾对立统一的观点。

2．注意培养学生观察分析问题的能力。比如，结合所画二次函数y=x²的图象，要求学生思考：

（1）y=x²的图象的图象有什么特点。（答：具有对称性。）

（2）如何判断y=x²的图象有上面所说的特点？（答：由观察图象看出来；或由列表求值得出来；或由解析式y=x²看出来。）

课题   二次函数y=ax2的图象（一）

一、教学目的

1．使学生初步理解二次函数的概念。

2．使学生会用描点法画二次函数y=ax²的图象。

3．使学生结合y=ax²的图象初步理解抛物线及其有关的概念。

二、教学重点、难点

重点：对二次函数概念的初步理解。

难点：会用描点法画二次函数y=ax²的图象。

三、教学过程

复习提问

1．在下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？

（1）y=x/4；（2）y=4/x；（3）y=2x-5；（4）y=x² - 2。

2．什么是一无二次方程？

3．怎样用找点法画函数的图象？

新课

1．由具体问题引出二次函数的定义。

（1）已知圆的面积是Scm²，圆的半径是Rcm，写出空上圆的面积S与半径R之间的函数关系式。

（2）已知一个矩形的周长是60m，一边长是Lm，写出这个矩形的面积S（m²）与这个矩形的一边长L之间的函数关系式。

（3）农机厂第一个月水泵的产量为50台，第三个月的产量y（台）与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？

解：（1）函数解析式是S=πR²；

（2）函数析式是S=30L—L²；

（3）函数解析式是y=50（1+x）²，即

         y=50x²+100x+50。

由以上三例启发学生归纳出：

（1）函数解析式均为整式；

（2）处变量的最高次数是2。

我们说三个式子都表示的是二次函数。

一般地，如果y=ax²+bx+c（a，b，c没有限制而a≠0），那么y叫做x的二次函数，请注意这里b，c没有限制，而a≠0。

2．画二次函数y=x²的图象。

按照描点法分三步画图：

（1）列表   ∵ x可取任意实数，∴ 以0为中心选取x值，以1为间距取值，且取整数值，便于计算，又x取相反数时，相应的y值相同；

（2）描点  按照表中所列出的函数对应值，在平面直角坐标系中描出相应的7个点；

（3）边线  用平滑曲线顺次连接各点，即得所求y=x²的图象。

注意两点：

（1）由于我们只描出了7个点，但自矿业量取值范围是实数，故我们只画出了实际图象的一部分，即画出了在原点附近、自变量在-3到3这个区间的一部分。而图象在x>3或x<-3的区间是无限延伸的。

（2）所画的图象是近似的。

3．在原点附近较精确地研究二次函数y=x²的图象形状到底如何？——我们 –1与1之间每隔0.2的间距取x值表和图13-14。按课本P₁₁₈内容讲解。

4．引入抛物线的概念。

关于抛物线的顶点应从两方面分析：一是从图象上看，y=x²的图象的顶点是最低点；一是从解析式y=x²看，当x=0时，y=x²取得最小值0，故抛物线y=x²的顶点是（0，0）。

小结

1．二次函数的定义。

（1）函数解析式关于自变量是整式；（2）函数自变量的最高次数是2。

2．二次函数y=x²的图象。

（1）其图象叫抛物线；（2）抛物线y=x²的对称轴是y轴，开口向上，顶点是原点。

补充例题

下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a，b，c？

（1）y=2-3x²；                    （2）y=x (x-4)；

（3）y=1/2x²-3x-1；                （4）y=1/4x²+3x-8；

（5）y=7x（1-x）+4x²；            （6）y=（x-6）（6+x）。

作业：P₁₂₂中A组1，2，3。

四、教学注意问题

1．注意渗透局部和全体、有限和无限、近似和精确等矛盾对立统一的观点。

2．注意培养学生观察分析问题的能力。比如，结合所画二次函数y=x²的图象，要求学生思考：

（1）y=x²的图象的图象有什么特点。（答：具有对称性。）

（2）如何判断y=x²的图象有上面所说的特点？（答：由观察图象看出来；或由列表求值得出来；或由解析式y=x²看出来。）