正多边形作图教案(一)
尺规等分圆周是重点，特别是将圆周四等分、六等分更为重要．
正n边形的中心角是多少？正六边形的边长是多少？
前面我们讲过，任意一个正n边形都有一个外接圆，并且正n边形的n个顶点把圆n等分．因此，正n边形的作图问题，实质上就是把它的外接圆n等分问题，把圆n等分后，依次连结各分点就得到正n边形．这节课我们主要学习如何把圆周三、六、十二、四、八等分．
等分圆周的方法有两种：
1．使用量角器法
n等份，从而把圆周分成n等份，依次连结各分点，即得到圆内接正n边形．
由于在度量正n边形的中心角时易有误差，所以使用量角器法是近似等分圆周的方法，在精确度要求不高的情况下可以使用量角器法．
2．尺规作图法
由于受尺规作图的限制，不能用尺规任意等分圆周，只能对于一些特殊的正n边形采用尺规作图法．尺规作图法比较准确．
(1)正四、八边形的作图；
正四边形的作法：
如图1，①作直径AC⊥BD；
②依次连结AB、BC、CD、DA．
则四边形的ABCD即为所求作的正四边形．
证明：∵直径AC⊥BD，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°，
∴A、B、C、D是⊙O的四等分点，
∴四边形ABCD是正四边形．
正八边形的作法：
如图2，①作直径AC⊥BD；
②作∠AOB、∠BOC的平分线交⊙O于E、F点．
③延长EO、FO交⊙O于G、H点；
④依次连结AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA．
则八边形AEBFCGDH即为所求作的正八边形．
证明：∵直径AC⊥BD，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°
∵ OE、OF分别平分∠AOB、∠BOC，
∴∠1=∠2=∠3=∠4．
∵ ∠1=∠5，∠2=∠6，∠3=∠7，∠4=∠8，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=∠7=∠8，
∴八边形AEBFCGDH为正八边形．
(2)正六、三、十二边形的作图
正六边形的作法：
如图3，①作直径AD；
②分别为A、D为圆心，以⊙O半径OA为半径画弧交⊙O于B、F、C、E；
③依次连结AB、BC、CD、DE、EF、FA．
则六边形ABCDEF即为所求作的正六边形．
证明：连结OB、OC、OE、OF．
∵AB=OA=OB，
∴∠1=60°
同理 ∠2=∠3=∠4=60°．
∵∠AOD=180°，
∴∠5=∠6=60°．
∴∠1=∠5=∠3=∠4=∠6=∠2．
∴六边形ABCDEF是正六边形．
正三角形的作法：
如图4，①作直径AD；
②以D为圆心，以⊙O半径为半径画弧交⊙O于B、C点；
③依次连结AB、BC、CA．
则△ABC即为所求作的正三角形．
证明：连结OB、OC、BD、CD．
∵BD=DO=OB，
∴∠BOD=60°．
同理 ∠DOC=60°
∴∠BOC=120°．
∵∠AOD=180°，
∴∠AOB=∠AOC=120°．
∵ ∠AOB=∠BOC=∠COA，
则△ABC为正三角形．
说明：利用二等分三角形各中心角的方法也可以得到正六边形，但是这样产生的误差较大．
正十二边形的作法：
如图5，①作直径AG⊥DQ；
②分别以A、D、G、Q为圆心，以⊙O半径为半径画弧分别交⊙O于C、R、B、F、E、P、H、S点；
③依次连结AB、BC、CD、DE、…、SA．
则十二边形ABCD……S即为所求作的正十二边形．
证明：连结AC、OB、OC、OE、…、OS．
∵AC=OA=OC，
∴∠AOC=60°．
∵直径AG⊥DQ，
∴∠AOD=90°，
∴∠COD=30°．
同理 ∠AOB=30°，
∴∠BOC=30°．
同理 ∠DOE=…=∠SOA=30°．
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=…=∠SOA，
∴十二边形ABCDE…S为正十二边形．
说明：这里介绍的正十二边形的作法，比起利用二等分正六边形的各中心角的方法作正十二边形较为精确．
当然，如果把正八边形、正十二边形的各中心角二等分，那么也可以作出正十六边形、正二十四边形，但这样作误差可能大些．
注意：在用尺规作正多边形时，为了减少累积误差，应尽量避免从圆上某一点开始连续截取等弧的方法．
小结：这节课我们着重研究了用尺规作特殊的正多边形的方法．通过作图，大家进一步体会到作正n边形的实质就是将圆n等分的问题．在生产实践中，常常会遇到等分圆周的问题，所以希望大家一定要掌握好这些基本的正多边形的作法．
1．用量角器画一个半径为2cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出正五角星．
2．(1)画一个半径为2cm的正九边形；
(2)画一个边心距为2cm的正六边形．
3．尺规作图：
(1)作半径为2cm的⊙O内接正八边形；
(2)作半径为2cm的⊙O内接正十二边形．
4．已知⊙O和⊙O上的一点A，
(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；
作业答案：(略)．
《正多边形作图教案(一)》
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