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函数单调性



课题:§1.3.1函数的单调性 教学目的:(1)通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义; (2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质; (3)能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性. 教学重点:函数的单调性及其几何意义. 教学难点:利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性. 教学过程: 一、引入课题 1.  观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律:

y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1 

         
1 随x的增大,y的值有什么变化? 2 能否看出函数的最大、最小值?

y x 1 -1 1 -13 函数图象是否具有某种对称性?

2.  画出下列函数的图象,观察其变化规律: 1.f(x) = x        1 从左至右图象上升还是下降 ______?        2 在区间 ____________ 上,随着x的增 大,f(x)的值随着 ________ .

y x 1 -1 1 -1 


2.f(x) = -2x+1        1 从左至右图象上升还是下降 ______?        2 在区间 ____________ 上,随着x的增 大,f(x)的值随着 ________ .

y x 1 -1 1 -13.f(x) = x2

       1在区间 ____________ 上,f(x)的值随 着x的增大而 ________ .        2 在区间 ____________ 上,f(x)的值随 着x的增大而 ________ . 二、新课教学 (一)函数单调性定义 1.增函数        一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,        如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数(increasing function). 思考:仿照增函数的定义说出减函数的定义.(学生活动) 注意: 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1<x2时,总有f(x1)<f(x2) . 2.函数的单调性定义 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间:        3.判断函数单调性的方法步骤               利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤:               1 任取x1,x2∈D,且x1<x2;               2 作差f(x1)-f(x2); 3 变形(通常是因式分解和配方); 4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); 5 下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). (二)典型例题 例1.(教材P34例1)根据函数图象说明函数的单调性. 解:(略) 巩固练习:课本P38练习第1、2题 例2.(教材P34例2)根据函数单调性定义证明函数的单调性. 解:(略) 巩固练习: 1 课本P38练习第3题;        2 证明函数 在(1,+∞)上为增函数. 例3.借助计算机作出函数y =-x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间. 解:(略) 思考:画出反比例函数 的图象.        1 这个函数的定义域是什么?        2 它在定义域I上的单调性怎样?证明你的结论. 说明:本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象. 三、归纳小结,强化思想 函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机,求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步: 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 四、作业布置 1.  书面作业:课本P45 习题1.3(A组) 第1- 5题. 2.  提高作业:设f(x)是定义在R上的增函数,f(xy)=f(x)+f(y), 1 求f(0)、f(1)的值; 2 若f(3)=1,求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集.



《函数单调性》
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