“排列组合常见的解题策略”课例分析

----构造模型策略

一、教材分析

排列和组合是数学基础知识的重要组成部分之一，它在解决实际问题以及科学技术的研究中都有广泛的应用；在排列组合问题中充分体现了分类、化归的数学思想。它应用性强，具有题型多变，条件隐晦，思维抽象，分类复杂，问题交错，易出现重复和遗漏以及不易发现错误等特征。因而在这部分教学中，应充分调动学生的积极性，强调学生的主体作用，明确基本原理，注重思维过程的分析，让学生在问题解决的过程中不断反思探索规律，体验成功，从而提升学生的思维能力。

二、学情分析

高二(1)班的同学素质高，思维活跃，其中十几位同学参加数学奥赛辅导，学习数学态度端正，兴趣浓厚，有较强的数学能力和积极主动的学习精神。

三、教学目的

1、认知目标：

使学生进一步理解并掌握处理排列组合问题的基本策略，进一步体会分类与化归的数学思想方法以及分析与解决问题的能力，培养学生的探索创新意识。

2、技能目标：

充分发挥教师的主导和学生的主体作用，使学生的自主意识、自学能力、探索创新意识得到发展。

3、情感目标：

培养学生的自信心和学习兴趣，树立实事求是的科学态度和不怕困难的进取精神，积极探索，进而培养学生的创新能力。

四、教法分析

根据排列组合的知识特点“条件隐晦，思维抽象”，在教学中采用发现法，坚持“思路教学”，深钻教材，注意从实验入手，模拟发现，从特殊到一般，归纳出一般的规律，优化学生的思路，激活学生的思维。

五、教学过程分析

1、复习思考

（1）处理排列组合问题的常见解题策略

(提问学生作答)

问题一、街道旁有编号1、2、3、4、5、6、7、8、9、10共十只路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中的三只灯相灭，但不能同时熄灭相邻两只，在两端的两只路灯不熄灭的情况下，问不同的熄灯方法有多少种?

①通过复习提问总结解决排列组合问题的基本思路和方法。

②设置问题情景，激发学生的学习欲望。通过引导，学生得出多种解法，从而优化思维，发现规律为构造数学模型一做好铺垫。

2、创设情景

练习（1）：四个相同苹果分给三个人，没人至少一个，有多少种分配方案?(提问，多解)，电脑演示。

（2）：把六个名额分给三个班级，没班至少一个名额，有多少种分法?(提问多解)，电脑演示，介绍插板法。

巩固创设情景。

体现化归思想，并将问题发散，从不同角度展示出问题的共性，给学生自主发现、探索的空间，引入“插板”这一解决问题的策略。

3、提出猜想

你能编一道与本题意思相近的习题或将本题推广吗?

学生是学习的主体，是课堂教学的探索者、发现者和创造者，让他们的智慧火花充分闪亮。

4、探得索出分结析论

模型一：把n个相同的小球放入m个不同的盒子中，要求每盒至少有一个球，问有多少种不同的方法?

归纳出共性，推广到一般，抽象出数学模型，使学生的思维得到提升。

5、问题解决进一步推广

练习：(分组讨论)

（1）求方程x+y+z=16的正整数解的组数。

（2）15个苹果分给三个人，每人至少两个，有多少种分法?

（3）把二十个相同的小球放入编号为1、2、3、4、的四个盒子中，要求每个盒子中的小球数目不少于编号数，求不同的放法种数。

弄清问题本质，将问题转化为模型，并能应用模型解决问题。

6、新情境设计

（1）第二小题条件改为每人至少三个，有多少种分法?

（2）学生总结规律。

（3）如果条件改为每人分得苹果个数不限，有多少种分法种数?

（4）你能将本题推广吗?

（5）改变条件提出新问题，让学生有一个再发现，再创造的过程。

（6）培养学生自主探索创新意识。

7、探索分析

用电脑演示每人至少分得一个苹果、二个苹果和三个苹果的情形，并由学生总结规律。体现从特殊到一般的思维方法，模拟发现，激励探索，激活思路。

8、得出结论

模型二、把n个相同的小球放入m个不同盒子(n≥m≥1)，每个盒子容量不限，有多少种不同方法?

比较差异，将模型一进一步推广，使学生在“好奇”中产生“内驱力”，进而产生不断探索的愿望。

9、问题

（1）中日围棋擂台赛规定各国各出7名队员，按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛…，直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获得胜利，形成一个比赛过程，试求中方获胜的所有可能出现的比赛过程的种数?

（2）从7个学校选出12人组成足球联队，要求每校至少有一个人参加，问各校名额分配共有多少种不同情况?

将问题综合，让学生分享探索带来的成果，感受问题解决的成功喜悦，同时也使他们进一步掌握分类的数学思想和化归的方法，激发探索的欲望。

10、小结

小结：回顾上述几个例题的解答过程，我们可以看到一个共同的特点，就是利用一一对应关系将一种不易直接求得其数目的计数模式转化为另一种易于计算的模式，从而收到了简化问题的效果，可以说，这种通过建立一一对应关系而化难为易的方法是数学中一种常用的方法，并且在代数问题发挥着极大的作用。另外，我们还推出了两个模型，大家回去后希继续对这个模型进行研究，掌握这个模型的各种变化，并要善于把各种具体问题归结成这个模型的某一种方式，那么解排列组合问题就有了一定的规律可循了。

六、课题后记

1、本着坚持以学生是探索发现的主体这一教学原则，教师的角色从知识的传播者转化为学生主动学习，主动探索的引导者和促进者：学生以被动接受知识转到主动参与，在讨论探索中获取知识。学生在教师的适时点拨下，通过自己动脑，探索出两个模型。由于学生亲自品尝了自己发现的乐趣，更激起了他们强烈的求知欲和创造欲。

2、体现循序渐进原则。本课例的例题，练习题的安排体现了思维的阶梯性，一步一个台阶，逐步引向深入。由于问题处在学生思维水平的“最近发展区”，因而为学生提供了自由想象的空间，最后指引学生进行变式练习，提出了新的探索目标，从而满足了不同层次学生的需要，充分体现了数学素质教育的思想。同时充分肯定学生的每一点进步，使学生增强学好数学的信心。

3、通过现代化教育技术，以电脑动画方式模拟思维的动态过程，将抽象内容形象化，激发学生兴趣，培养学生观察、分析和抽象概括能力。学生的“再发现”不是放任自流，而是在教师精心设计教学过程，创设问题情境，让学生自己从知识的发生，发展过程中去发现新知识，认识新知识，从而积极主动地参与学习，充分体现教师的主导作用。

4、层层建构，分层递进，引导学生逐步深入，符合学生的认知特点使学生易于理解，培养学生的创新精神，优化学生的思维品质。解决重点，突破难点，通过分层递进，既可照顾后进生，又可促进优等生，达到面向全体学生的目的，使不同的学生都能得到发展。

七、点评

学习数学的过程是知识建构的过程，是思维训练的过程。本节课充分发挥学生的主体作用，通过精心设计问题，让学生去探索，发现从特殊到一般，归纳规律，构造数学模型，掌握分类的数学思想和化归的方法，分层递进不断深化。课堂思维密度大，高潮迭起，是培养学生创新能力和课堂开展研究性学习的典型范例。