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数学 - 函数的对称性与周期性


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  对称性:函数图象存在的一种对称关系,包括点对称和线对称。

  周期性:设函数 的定义域是 ,若存在非零常数 ,使得对任何 ,都有 且 ,则函数 为周期函数, 为 的一个周期。

  对称性和周期性是函数的两大重要性质,他们之间是否存在着内在的联系呢?本文就来研究一下它们之间的内在联系,有不足之处望大家批评指正。

  一、一个函数关于两个点对称。

  命题1:如果函数 的图象关于点 和点 对称,那么函数 是周期函数, 为函数 的一个周期。

  证明:∵函数 的图象关于点 对称,

  ∴ 对定义域内的所有 成立。

  又∵函数 的图象关于点 对称,

  ∴ 对定义域内的所有 成立。

  从而

  ∴ 即:

  ∴ 是周期函数, 为函数 的一个周期。

  特例:当 时, 为奇函数,即奇函数 如果又关于点 对称,那么函数 是周期函数, 为函数 的一个周期。

  命题 :如果函数 的图象关于两点 和 对称,那么:

  当 , 时, 是周期函数, 为函数 的一个周期。

  当 , 时, 不是周期函数。

  证明:∵函数 的图象关于点 对称,

  ∴ 对定义域内的所有 成立。

  又∵函数 的图象关于点 对称,

  ∴ 对定义域内的所有 成立。

  从而

  当 , 时

  ∴

  即:

  ∴当 , 时, 是周期函数, 为函数 的一个周期。

  当 , 时

  ∴

  ∴

  ∴当 , 时, 不是周期函数。

  当 , 时

  ∴ (与条件矛盾,舍去)

  综合得原命题成立。

  二、一个函数如果关于一个点和一条线对称。

  命题2:如果函数 的图象关于点 和直线 对称,那么函数 是周期函数, 为函数 的一个周期。

  证明:∵函数 的图象关于点 对称,

  ∴ 对定义域内的所有 成立。

  又∵函数 的图象关于直线 对称,

  ∴ 对定义域内的所有 成立。

  从而

  ∴ 即:

  ∴

  即:

  ∴ 是周期函数, 为函数 的一个周期。

  特例:当 时, 为奇函数,即奇函数 如果又关于直线 对称,那么函数 是周期函数, 为函数 的一个周期。

  命题 :如果函数 的图象关于点 和直线 对称,那么函数 是周期函数, 为函数 的一个周期。

  证明:∵函数 的图象关于点 对称,

  ∴ 对定义域内的所有 成立。

  又∵函数 的图象关于直线 对称,

  ∴ 对定义域内的所有 成立。

  从而

  ∴

  即:

  ∴

   即:

  ∴ 是周期函数, 为函数 的一个周期。

  三、一个函数如果关于两条线对称。

  命题3:如果函数 的图象关于直线 和直线 对称,那么函数 是以 为周期的周期函数。

  证明:∵函数 的图象关于直线 对称,

  ∴ 对定义域内的所有 成立。

  又∵函数 的图象关于直线 对称,

  ∴ 对定义域内的所有 成立。

  从而

  ∴ 即:

  ∴

  ∴ 是以 为周期的周期函数。

  特例:当 时, 为偶函数,即偶函数 如果又关于直线 对称,那么函数 是周期函数, 为函数 的一个周期。
《数学 - 函数的对称性与周期性》
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