解方程

年级（小五） 供稿（奥赛组） 列方程解应用题
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列方程解应用题最关键是前两步：设未知数和列方程。有的同学说解方程的部分不是篇幅很长么，为什么不是关键部分呢？其实，只要仔细观察一下，就会发现，虽然篇幅很长，但只要注意到符号变化、分配律等基本运算技巧，解的过程是较容易掌握的。相反，前两步篇幅虽然短，但列方程解应用题的精华和难点却大部分集中在这里，需要用以体会。
        一般地，设什么量为未知数，最简单明了的想法是设所求为x（复杂的题目有时要采取迂回战术，间接地设未知数），当所求的数较多时，把这些所求的数量用一个或尽量少的未知数表达出来，也是很重要的。
        设完未知数，就要找等量关系，来帮助列出方程。这时需要认真读题，因为许多等量关系是隐藏在字里行间的。中文有很多字、词、句表达相等的意思，如“相等”、“是”、“比……多……”、“比……少……”、“……是……的几倍”、“……的总和是……”、“……与……的差是……”等等，根据这些字句的含义，再加上其中的量用未知数表达出来，就能列出方程。
 重点·难点
        列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，也就是列出方程，然后解出未知数的值，列方程解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运算。解这类应用题的关键在于能够正确地设立未知数，找出等量关系从而建立方程。而找出等量关系又在于熟练运用数量之间的各种已知条件。掌握了这两点就能正确地列出方程。
 学法指导
（1）列方程解应用题的一般步骤是：
1）弄清题意，找出已知条件和所求问题；
2）依题意确定等量关系，设未知数x；
3）根据等量关系列出方程；
4）解方程；
5）检验，写出答案。
（2）初学列方程解应用题，要养成多角度审视问题的习惯，增强一题多解的自觉性，逐步提高分析问题、解决问题的能力。
（3）对于变量较多并且变量关系又容易确定的问题，用方程组求解，过程更清晰。
经典例题
例1   某县农机厂金工车间有77个工人。已知每个工人平均每天加工甲种零件5个或乙种零件4个或丙种零件3个。但加工3个甲种零件、1个乙种零件和9个丙种零件才恰好配成一套。问：应安排生产甲、乙、丙种零件各多少人时，才能使生产的三种零件恰好配套。
 思路剖析
    如果直接设生产甲、乙、丙三种零件的人数分别为x人、y人、z人，根据共有77人的条件可以列出方程x+y+z=77，但解起来比较麻烦        如果仔细分析题意，会出现除了上面提到的加工甲、乙、丙三种零件的人数为未知数外，还有甲、乙、丙三种零件各自的总件数也未知。而题目中又有关于甲、乙、丙三种零件之间装配时的内在联系，这个内在联系可以用比例关系表示，而乙种零件件数又在中间起媒介作用。所以如用间接未知数，设已种零件总数为x个，为了配套，甲种、丙种零件件数总数分别为3x个和9x个，再根据生产某种零件人数=生产这种零件的个数÷工人劳动效率，可以分别求出生产甲、乙、丙种零件需安排的人数，从而找出等量关系，即按均衡生产推算的总人数，列出方程 解  答
 设加工乙种零件x个，则加工甲种零件3x个，加工丙种零件9x个。
答：应安排加工甲、乙、丙三种零件工人人数分别为12人、5人和60人。
例2   牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长。这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，问可供25头牛吃几天？
 思路剖析
 这是以前接触过的“牛吃草问题”，它的算术解法步骤较多，这里用列方程的方法来解决。
设供25头牛可吃x天。
本题的等量关系比较隐蔽，读一下问题：“每天牧草都匀速生长”，草生长的速度是固定的，这就可以发掘出等量关系，如从“供10头牛吃20天”表达出生长速度，再从“供15头牛吃10天”表达出生长速度，这两个速度应该一样，就是一种相等关系；另外，最开始草场的草应该是固定的，也可以发掘出等量关系。
 解  答
 设供25头牛可吃x天。
由：草的总量=每头牛每天吃的草×头数×天数
            =原有的草+新生长的草
原有的草=每头牛每天吃的草×头数×天数-新生长的草

新生长的草=草的生长速度×天数

考虑已知条件，有

原有的草=每头牛每天吃的草×10×20-草的生长速度×20

原有的草=每头牛每天吃的草×15×10-草的生长速度×10

所以：原有的草=每头牛每天吃的草×200-草的生长速度×20

原有的草=每头牛每天吃的草×150-草的生长速度×10

即：每头牛每天吃的草×200-草的生长速度×20

=每头牛每天吃的草×150-草的生长速度×10

每头牛每天吃的草×200草的生长速度×20+每头牛每天吃的草×150-草的生长速度×10

每头牛每天吃的草×200-每头牛每天吃的草×150

=草的生长速度×20-草的生长速度×10

每头牛每天吃的草×（200-150）=草的生长速度×（20-10）

所以：每头牛每天吃的草×50=草的生长速度×10

每头牛每天吃的草×5=草的生长速度

因此，设每头牛每天吃的草为1，则草的生长速度为5。

由：原有的草=每头牛每天吃的草×25x-草的生长速度×x

原有的草=每头牛每天吃的草×10×20-草的生长速度×20

有：每头牛每天吃的草×25x-草的生长速度×x

=每头牛每天吃的草×10×20-草的生长速度×20

所以：1×25x-5x=1×10×20-5×20

解这个方程

25x-5x=10×20-5×20

20x=100

x=5（天）

答：可供25头牛吃5天。
例3    某建筑公司有红、灰两种颜色的砖，红砖量是灰砖量的2倍，计划修建住宅若干座。若每座住宅使用红砖80米3，灰砖30米3，那么，红砖缺40米3，灰砖剩40米3。问：计划修建住宅多少座？
 解  答
 设计划修建住宅x座，则红砖有（80x-40）米3，灰砖有（30x+40）米3。根据红砖量是灰砖量的2倍，列出方程

解法一：用直接设元法。

80x-40=(30x+40)×2

80x-40=60x+80

20x=120

x=6（座）

解法二：用间接设元法。

设有灰砖x米3，则红砖有2x米3。根据修建住宅的座数，列出方程。

（x-40）÷30=（2x+40）÷80

（x-40）×80=（2x+40）×30

80x-3200=60x+1200

20x=4400

x=220(米3)

由灰砖有220米3，推知修建住宅（220-40）÷30=6（座）。

同理，也可设有红砖x米3。留给同学们练习。

答：计划修建住宅6座。

例4   两个数的和是100，差是8，求这两个数。

 思路剖析

 这道题有两个数均为未知数，我们可以设其中一个数为x，那么另一个数可以用100-x或x+8来表示。

 解  答

 解法一：设较小的数为x，那么较大的数为x+8，根据题意“它们的和是100”，可以得到：

x+8+x=100

解这个方程：2x=100-8

所以   x=46

所以  较大的数是  46+8=54

也可以设较小的数为x，较大的数为100-x，根据“它们的差是8”列方程得：

100-x-x=8

所以   x=46

所以  较大的数为100-46=54

答：这两个数是46与54。

解法二：当然这道题也可以设大数为x，那么较小的数可以用100-x或x-8来表示，根据题意，可得到下面两个方程：

x-8+x=100

x-(100-x)=8

解这两个方程，也可以求得较大的数是54，较小的数是46。

例5  如图是一个平行四边形，周长为120米，两个底边上的高分别为12米和18米，它的面积是多少平方米？

 思路剖析

 此题如果直接设平行四边形的面积为x平方米，当然要从周长来找等量关系；如果不直接设面积为x平方米，而设其中的一个底为x米（如设12米的高所对应的底是x米），由题意可知，等量关系应从平行四边形面积来考虑。

 解  答

 解法一：设12米的高所对应的底是x米，则平行四边形的面积是12x平方米。

12x=（120÷2-x）×18

12x=（60-x）×18

12x=1080-18x

12x+18x=1080

30x=1080

x=36

12x=12×36=432

解法二：设平行四边形的面积是x平方米。

方程左右两边都乘以12和18的最小公倍数36得

3x+2x=2160

5x=2160

x=432

答：它的面积是432平方米。

发散思维训练

1.丢番图是古希腊著名的数学家，他的墓志铭与众不同，碑文是：“过路人！这里埋葬着丢番图，他一生的六分之一是幸福的童年；又活了一生的十二分之一，面部长起了胡须；随后是一生的七分之一的单身汉生活；婚后五年，他有了一个儿子；可是，儿子活到在丢番图一生年龄的一半时，不幸夭折；儿子死后，父亲在深深的悲哀中又过了4年也与世长辞……”你能计算出他一生中主要经历的年龄吗？

2.今年姐妹俩年龄的和是55岁，若干年前，当姐姐的年龄只有妹妹现在这么大时，妹妹的年龄恰好是姐姐年龄的一半，问姐姐今年多少岁？

3.两个缸内共有48桶水，甲缸给乙缸加水一倍，然后乙缸又给甲缸加甲缸剩余水的一倍，则两缸的水量相等，求两个水缸原来各有多少桶水？

4.早晨6点多钟有两辆汽车先后离开学校向同一目的地开去，两辆汽车离开学校的距离是第二辆汽车的3倍。到6点39分的时候，第一辆汽车离开学校的距离是第二辆汽车的2倍，求第一辆汽车是6点几分离开学校的？

5.一人乘竹排沿江顺水漂流而下，迎面遇到一艘逆流而上的快艇，他问快艇驾驶员：“你后面有轮船开过来吗？”快艇驾驶员回答：“半小时前我超过一艘轮船。”竹排继续顺水漂流了1小时遇到了迎面开来的这艘轮船。那么快艇静水速度是轮船静水速度的多少倍？

参 考 答 案 

1.解：

由此可得：丢番图幸福的童年是14岁以前，21岁长胡须，过12年的单身汉生活，21+12=33，33岁结婚，38岁得子，80岁时丧子，儿子只活了42岁，丢番图活了84岁。

2.解：

若直接设姐姐今年为x岁，则妹妹的年龄不好表示，所以我们设若干年前妹妹年龄为x岁，这样，姐姐在若干年前就为2x岁，妹妹今年年龄为2x岁，姐姐今年年龄是3x岁，于是，根据“今年姐妹俩年龄和为55岁”这一等量关系，可列方程

2x+3x=55

   5x=55

所以x=1

所以，妹妹今年的年龄为11×2=22（岁）；姐姐今年的年龄为11×3=33（岁）。

答：姐姐今年33岁。

3.解：

设原来甲缸有x桶水，乙缸有（48-x）桶水。甲缸给乙缸加水一倍，则甲缸有水[x-(48-x)]桶，乙缸有水2(48-x)桶，乙缸又给甲缸加甲缸剩余水的一倍，则甲缸有水2[x-(48-x)]桶，乙缸有水{2（48-x）-[x-（48-x）]}桶，根据题意得：

2[x-(48-x)]=2(48-x)-[x-(48-x)]

2x-2(48-x)=2(48-x)-x+(48-x)

3x=5(48-x)

3x=5×48-5x

8x=5×48

x=30

所以48-x=48-30=18

答：甲缸原有水30桶，乙缸原有水18桶。

4.解：

两辆汽车的速度都是60千米/小时=1千米/分。设在6点32分时第二辆汽车离开学校的距离为x千米，则第一辆汽车离开学校的距离为3x千米，到6点39分时两辆汽车都行了7分钟，行程都是7千米，与学校的距离：第二辆汽车为（x+7）千米，第一辆汽车为（3x+7）千米，根据题意得：

2(x+7)=3x+7

2x+14=3x+7

x=7

所以3x=3×7=21

因此，在6点32分时，第一辆车已行驶了21分钟，32-21=11

答：第一辆汽车是早晨6点11分离开学校的。

5.解：

设快艇静水速度为m，轮船静水速度为n,水流速度为v，显然竹排速度就是水流速度v，由“顺流速度=船速+水速，逆流速度=船速-水速”的数量关系进行解答。

这样，快艇从超过轮船起，遇到竹排（用了0.5小时）止，这段路程（快艇行程）为（m-v）×0.5，而这段路程是竹排行驶1小时、轮船行驶（1+0.5=1.5小时）的路程之和，即v+(n-v)×1.5。因而

（m-v）×0.5=v+(n-v)×1.5

0.5m-0.5v=v+1.5n-1.5v

0.5m-0.5v=1.5n-0.5v

0.5m=1.5n

m÷n=3

答：快艇静水速度是轮船静水速度的3倍。