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小学数学教学中“牛吃草”问题的解法



  小学数学教学中“牛吃草”问题的解法
  
  作者/王慧敏
  
  “ 牛吃草” 问题 也叫做“ 牛顿问题”,是英国伟大的数学家牛顿在其著作《普通算术》一书中设计的很有名的应用问题。涉及三个量:牛的头数、草的数量、时间量,解题方法可以多种多样的。它是小学数学应用问题中难度大、包含内容最丰富的题目,是小学应用题的顶峰。熟练掌握解题方法,将会对开创思维大有裨益。
  
  牛吃草问题的难点在于草每天都在生长,草的数量在不断变化。因此,解答这类题的关键是从变化中找到不变的量,即原有的草量和每天新长出的草量。
  
  解题时通常把1个个体在1个时间单位内完成的工作量假设为1份,从而逐步弄清:1.原有的初始工作量是多少。
  
  2.每个时间单位均匀增加的份额是多少。
  
  3.把参加完成工作者分成两部分,一部分解决原始工作量,另一部分解决均匀增长的工作量。
  
  4.原始工作量完成之时,均匀增长也同时停止。
  
  在解决小学这类问题时常用到四个基本公式,分别是:
  
  ⑴草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数-吃的较少天数);
  
  ⑵原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;
  
  ⑶吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度);
  
  ⑷牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。
  
  这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变,设为"1",解题关键是弄清楚已知条件,进行对比分析,从而求出每日新长草的数量,再求出草地里原有草的数量,进而解答所求的问题。
  
  例1:一片草地,每天都匀速长出青草。如果可供2 4头牛吃6天,2 0头牛吃1 0天,那么,可供19头牛吃多少天?
  
  摘录条件:
  
  24头 6天 原有草+6天生长草
  
  20头 10天 原有草+10天生长草
  
  19头 ?天 原有草+?天生长草
  
  解答:这类问题关键是抓住牧场青草总量的变化。设1头牛1天吃的草为“1”,由条件可知,前后两次青草的问题相差为20×10-24×6=56。为什么会多出这56呢?这是第二次比第一次多的,即(10-6)=4天生长出来的,所以每天生长的青草为56÷4=14现从另一个角度去理解,这个牧场每天生长的青草正好可以满足14头牛吃。由此,我们可以把每次来吃草的牛分为两组,一组是抽出的14头牛来吃当天长出的青草,另一组来吃原来牧场上的青草,那么在这批牛开始吃草之前,牧场上有多少青草呢?
  
  (24-14)×6=60
  
  那么:第一次吃草量24×6=144,第二次吃草量20×10=200
  
  每天生长草量56÷4=14
  
  原有草量(24-14)×6=60或144-14×6=60
  
  19头牛分两组,14头去吃生长的草,其余5头去吃原有的草,那么60÷5=12(天)
  
  答:可供19头牛吃12天。
  
  例2:一水库原有存水量一定,河水每天入库。5台抽水机连续20天抽干,6台同样的抽水机连续15天可抽干,若要6天抽干,要多少台同样的抽水机?
  
  摘录条件:
  
  5台 20天 原有水+20天入库量
  
  6台 15天 原有水+15天入库量
  
  ?台 6天 原有水+6天入库量
  
  解答:设1台1天抽水量为“1”,第一次总量为5×20=100,第二次总量为6×15=90
  
  每天入库量(100-90)÷(20-15)=2
  
  20天入库2×20=40,原有水100-40=60
  
  60+2×6=72 72÷6=12(台)
  
  答:若要6天抽干需12台同样的抽水机。
  
  例3:某车站在检票前若干分钟就开始排队,设每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候的队伍消失,若同时开4个检票口需30分钟;同时开5个检票口需20分钟,为了使15分钟内检票队伍消失,需至少开多少个检票口?
  
  分析与解答:此题也可以看作是“牛吃草”问题,设1个检票口1分钟检票人数为1份。
  
  ⑴每分钟新来的旅客为:
  
  (4×30-5×20)÷(30-20)=2(份)
  
  ⑵原有旅客为:
  
  4×30-2×30=60(份)或 5×20-2×20=60(份)
  
  ⑶15分钟内检票完所需开的检票口个数:(60+15×2)÷15=6(个)
  
  答:需至少开6个检票口。
  
  例4:自动扶梯意用均匀速度由下往上行驶着,两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走25级台阶,女孩每分钟走20级台阶,结果男孩用5分钟,女孩用6分钟分别到达楼上。该扶梯共多少级台阶?
  
  分析与解答:此题“总的草量”变成了“扶梯的台阶数”,“牛吃草”变成了“人走台阶”,也可以看成是牛吃草的问题,解答的关键依然是从自动扶梯的运动变化中找到两个不变的量,即自动扶梯的速度和自动扶梯的总级数。
  
  自动扶梯的速度为:(25×5-20×6)÷(6-5)=5(级/分钟)
  
  自动扶梯的总级数为:(25+5)×5=150(级)
  
  或(20+5)×6=150(级)
  
  答:该扶梯共有150级。
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