小学数学教学中“牛吃草”问题的解法

　　小学数学教学中“牛吃草”问题的解法
　　
　　作者/王慧敏
　　
　　“ 牛吃草” 问题 也叫做“ 牛顿问题”，是英国伟大的数学家牛顿在其著作《普通算术》一书中设计的很有名的应用问题。涉及三个量：牛的头数、草的数量、时间量，解题方法可以多种多样的。它是小学数学应用问题中难度大、包含内容最丰富的题目，是小学应用题的顶峰。熟练掌握解题方法，将会对开创思维大有裨益。
　　
　　牛吃草问题的难点在于草每天都在生长，草的数量在不断变化。因此，解答这类题的关键是从变化中找到不变的量，即原有的草量和每天新长出的草量。
　　
　　解题时通常把1个个体在1个时间单位内完成的工作量假设为1份，从而逐步弄清：1.原有的初始工作量是多少。
　　
　　2.每个时间单位均匀增加的份额是多少。
　　
　　3.把参加完成工作者分成两部分，一部分解决原始工作量，另一部分解决均匀增长的工作量。
　　
　　4.原始工作量完成之时，均匀增长也同时停止。
　　
　　在解决小学这类问题时常用到四个基本公式，分别是：
　　
　　⑴草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；
　　
　　⑵原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；
　　
　　⑶吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
　　
　　⑷牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
　　
　　这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变，设为"1"，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答所求的问题。
　　
　　例1：一片草地，每天都匀速长出青草。如果可供2 4头牛吃6天，2 0头牛吃1 0天，那么，可供19头牛吃多少天？
　　
　　摘录条件：
　　
　　24头 6天 原有草+6天生长草
　　
　　20头 10天 原有草+10天生长草
　　
　　19头 ？天 原有草+？天生长草
　　
　　解答：这类问题关键是抓住牧场青草总量的变化。设1头牛1天吃的草为“1”，由条件可知，前后两次青草的问题相差为20×10-24×6=56。为什么会多出这56呢？这是第二次比第一次多的，即（10-6）＝4天生长出来的，所以每天生长的青草为56÷4=14现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足14头牛吃。由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的14头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场上有多少青草呢？
　　
　　（24-14）×6=60
　　
　　那么：第一次吃草量24×6=144，第二次吃草量20×10=200
　　
　　每天生长草量56÷4=14
　　
　　原有草量（24-14）×6=60或144-14×6=60
　　
　　19头牛分两组，14头去吃生长的草，其余5头去吃原有的草，那么60÷5=12（天）
　　
　　答：可供19头牛吃12天。
　　
　　例2：一水库原有存水量一定，河水每天入库。5台抽水机连续20天抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？
　　
　　摘录条件：
　　
　　5台 20天 原有水+20天入库量
　　
　　6台 15天 原有水+15天入库量
　　
　　？台 6天 原有水+6天入库量
　　
　　解答：设1台1天抽水量为“1”，第一次总量为5×20=100，第二次总量为6×15=90
　　
　　每天入库量（100-90）÷（20-15）=2
　　
　　20天入库2×20=40，原有水100-40=60
　　
　　60+2×6=72 72÷6=12（台）
　　
　　答：若要6天抽干需12台同样的抽水机。
　　
　　例3：某车站在检票前若干分钟就开始排队，设每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候的队伍消失，若同时开4个检票口需30分钟；同时开5个检票口需20分钟，为了使15分钟内检票队伍消失，需至少开多少个检票口？
　　
　　分析与解答：此题也可以看作是“牛吃草”问题，设1个检票口1分钟检票人数为1份。
　　
　　⑴每分钟新来的旅客为：
　　
　　（4×30－5×20）÷（30－20）＝2（份）
　　
　　⑵原有旅客为：
　　
　　4×30－2×30＝60（份）或　5×20－2×20＝60（份）
　　
　　⑶15分钟内检票完所需开的检票口个数：（60＋15×2）÷15＝6（个）
　　
　　答：需至少开6个检票口。
　　
　　例4：自动扶梯意用均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走25级台阶，女孩每分钟走20级台阶，结果男孩用5分钟，女孩用6分钟分别到达楼上。该扶梯共多少级台阶？
　　
　　分析与解答：此题“总的草量”变成了“扶梯的台阶数”，“牛吃草”变成了“人走台阶”，也可以看成是牛吃草的问题，解答的关键依然是从自动扶梯的运动变化中找到两个不变的量，即自动扶梯的速度和自动扶梯的总级数。
　　
　　自动扶梯的速度为：（25×5－20×6）÷（6－5）＝5（级／分钟）
　　
　　自动扶梯的总级数为：（25＋5）×5＝150（级）
　　
　　或（20＋5）×6＝150（级）
　　
　　答：该扶梯共有150级。