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《分割等腰三角形》的课堂教学实录及评析



  精题巧问 修知炼法——《分割等腰三角形》的课堂教学实录及评析
  
  作者/王咪芳
  
  在数学教学中,若提问得法、有效,不同程度的学生都能在课堂中跃跃欲试;尤其是复习课,在由浅入深、盘旋而上的问题串中,每个学生都能巩固知识框架,更能通过有效的数学活动,理解掌握数学思想和数学方法。本文就《分割等腰三角形》一课的教学实录评析为例,供参考。
  
  一、教学实录
  
  1.巧设问题,力透基础
  
  问题1:用一条直线将一个三角形分成两个三角形,怎样分?
  
  生1:过三角形的顶点作直线。
  
  问题2:用一条直线将一个三角形分成两个等腰三角形,怎样分?
  
  生2:这题是不是条件不足?
  
  师:你来加个条件吧!
  
  生2:(思考了一会儿)三角形的各内角是36°、72°、72°。
  
  问题3:用一条直线将内角分别为36°、72°、72°的三角形分成两个等腰三角形。
  
  生3:作72°角的角平分线。
  
  问题4:用一条直线将内角分别为25°、50°、105°的三角形分成两个等腰三角形。
  
  生4:将105°角分成25°和80°,分成两三角形的内角分别是25°、25°、130°和50°、50°、80°
  
  问题5:顺利正确解决刚才两个问题的同学请举手,采访你一下:你怎么这么厉害,就分成功了?
  
  生5:我觉得最小的角是不能分的;根据所给内角的度数,先分出一个等腰三角形,再去证明另一个也是等腰三角形。
  
  问题6:你太棒了!请同学们设计一个三角形,使之能被分成两个等腰三角形。
  
  生6:108°、36°、36°。
  
  生7:10°、20°、150°。
  
  生8:45°、45°、90°。
  
  生9:任意的直角三角形。
  
  师:(看着始终跃跃欲试的学生们)因时间关系,同学们不妨将自己的设计写下来,并请思考:任何三角形都能被分成两个等腰三角形吗?
  
  生齐答:不是!
  
  师:证明一个假命题的方法是什么?
  
  生:举反例!
  
  师:请证明“任何三角形能被分成两个等腰三角形”是一个假命题。
  
  生10:等边三角形。
  
  生11:一个三角形的内角为105°、5°、75°。
  
  师:反例也可以举出无数种,到底怎样的三角形能被分成两个等腰三角形呢?
  
  问题7:探究一个三角形能被分割成两个等腰三角形的条件。
  
  评析:好的复习课,要兼顾全体学生;本节课前7个问题的设计,让不同程度的学生都能有所得。既梳理了图形分割的基本思路,又强化了对几何问题的本质理解,能较好地促进学生对知识方法的接受和内化,这种问题驱动式的复习方式,值得借鉴!
  
  2.鼓励猜想,小心验证
  
  在△ABC中,设∠A=α,∠B=β,∠C=γ,(α<β<γ)
  
  过点B作直线l,交BC于点D如图。可先令∠ABD=α(先定一个),则∠BDC=2α,接下来须让△BCD也满足为等腰三角形,开始分类讨论。
  
  生12:我觉得应该分三种情况,①当γ=2α时;②当β-α=2α时;③当β-α=γ时。
  
  师:△ABC的特点呢?
  
  生12:第一种情况的三角形中,一内角是另一内角的2倍;第二种情况可化为β=3α,即一内角是另一内角的3倍;第三种情况可化为β=α+γ=90°,即△ABC是直角三角形。
  
  师:(将学生的回答板书出来)你真厉害!归纳得井井有条。让我们根据这一规律对刚才同学们所举的三角形作一下判断,顺便也做个验证。请同学试试,并简略说明怎么分割。
  
  生13:第一个三角形符合第二种情况,把108°分成36°和72°,就得到两个等腰三角形。
  
  师:你分析得完全正确;在一个内角是另一个内角三倍的情况下,只要把三倍角分成1∶2两部分即可。
  
  生14:第二个三角形符合第一种情况,把150°的角分成10°和140°。
  
  师:又解决了一个问题;据同学们的方法,当一个角是另一个角的两倍时,将第三个角分出较小的一个内角的角度。打铁趁热,想请同学们分割一下如下三角形:30°、50°、100°。
  
  生15:这是第一种情况,可是我分不出来。
  
  师:有没有同学分割成功了?
  
  学生都摇头,并表示不解。
  
  生16:我知道了,我们不能分割最小角,如果一个角是另一个内角的2倍,等待被分割的第三个角不能是最小角,所以情况一还有限制条件。我觉得应该180°-3α>α,α<45°。
  
  师:你的发现实在是太精彩了!第一种情况属于假命题,我们通过添加条件使其成为真命题,三角形中一个内角是另一个内角(小于45°)的2倍,则此三角形能被分割成两个等腰三角形。
  
  生17:第三个和第四个三角形都属于直角三角形,只要将直角分成其余两个锐角的度数即可。
  
  师:说得真好!让我们来观察一下被分割后的直角三角形ABC,AD=BD,CD=BD,这一结论可用直角三角形的一个性质来描述,同学们试试?
  
  生18:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
  
  师:我们无意间找到了证明这一性质的方法。
  
  评析:数学离不开对数形规律的探究,好的方法能帮助我们快速厘清思路、辨明方向。这一阶段的设计,层次分明、内涵丰富,让学生较轻松地完成了规律的探求。通过有效追问,极大地丰富了学生的思维空间;而分类思想的渗透,则有助于培养学生思维的缜密性与良好品质。
  
  3.紧扣规律,应用提高
  
  问题8:把一个等腰三角形分成两个等腰三角形,求原等腰三角形的顶角。
  
  学生分小组探讨3分钟后派代表发言。
  
  生19:我们小组直接用刚才所得的结论来解题的。设等腰三角形的顶角为x°,底角为y°,得一个基本等式:x+2y=180°。如果是直角三角形,那么就有x=90°;如果一个内角是另一个内角的2倍,则有x=2y或y=2x,分别得到x=90°,x=36°;如果一个内角是另一个内角的3倍,则有x=3y或y=3x,分别得到x=108°,x=(180/7)°;综上所述:原等腰三角形的顶角可以是90°、36°、108°和(180/7)°。
  
  全班鼓掌。回答的精彩程度不言而喻。
  
  问题9:把一个正三角形分成四个等腰三角形。(用尽可能多的方法,课后完成)
  
  评析:复习课的基本目的,一是内化知识,巩固基础;二是综合运用,提升能力。从这个要求上看,本阶段安排的两个变式练习,有助于较好地达成教学目标。特别在基本图形的提炼、解题思路的引领、基本规律的应用上,凸显了教师对几何教学本质的认识。
  
  二、评析
  
  本课主题明确,线索清晰,问题设置恰当;教师启发有力,学生思维活跃,教学目标达成度较高,较好地实现了数学学习中“基础、方法和能力”的有机统一。
  
  1.精心设计问题,让学生充分经历有效的数学活动经验
  
  问题既是数学学习的心脏,又是思维活动的起点。通过问题来驱动教学,往往是实现夯实知识基础,揭示本质特征,提炼数学方法,提升思维水平等复习要求的有效途径。本课设计的问题1到问题6,起点较低,学生参与度很高,在上课伊始,较好地活跃了课堂气氛。当然,其主要目的是铺垫,通过对问题的基础解剖、特殊练习,使学生深刻理解问题本质,为提升能力做好必要的准备。低起点、高立意的数学活动,让每一位学生觉得原本枯燥的数学,因其能轻巧参与其中而变得亲切生动起来了,是高效课堂的必然保证!
  
  2.立足方法引领,让学生在解题中发展数学思维
  
  本课问题切入点明确,学生常有精彩解答,而教师并不满足于此,在学生回答后,不失时机地进行总结提炼,由点及面、归纳提升、反思延拓。让学生在不知不觉中,从会解一道题到一类题;从知其然到知其所以然;从横看成岭到侧看成峰到俯瞰成山脉。这就是复习课的立意所在!
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