《圆锥曲线》定义的“条件”教学

《圆锥曲线》定义的“条件”教学
　　
　　新疆石河子高级中学 尤乃奎
　　
　　【摘 要】数学定义、定理、公式或问题中都或多或少涉及到条件的限制，做好数学知识的“条件”教学，对于学生透彻地理解数学理论、全面地解决数学问题大有帮助。
　　
　　【关键词】数学；定义；定理；公式 问题；条件；教学
　　
　　2013年4月，在高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》（人教版）的教学中，当我讲椭圆、双曲线、抛物线的定义时，我都会遇到同样的一个问题，而且是学生每每质询的一个问题，那就是：“老师，定义中括号里的条件该怎么解释？”
　　
　　数学定义、定理、公式或问题中都或多或少涉及到条件的限制，做好数学知识的“条件”教学，对于学生透彻地理解数学理论、全面地解决数学问题都非常有帮助，现在已经完成了高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》的教学，我觉得有必要把我在《圆锥曲线》定义教学中，关于定义中条件的教学片段梳理一下。
　　
　　《圆锥曲线》“条件”教学片段一：椭圆定义中的条件限制
　　
　　讲到2.2.1节《椭圆及其标准方程》时，椭圆的定义（课本第38页）是：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
　　
　　学生问：老师，为什么定义中括号里要加一个条件“大于|F1F2|”）呢？
　　
　　教师答：因为如果去掉这个条件，则定义所表示的图形将不一定是椭圆。
　　
　　学生问：为什么？
　　
　　教师答：这个问题可以从三个角度理解：
　　
　　①如果条件是“大于|F1F2|”，则定义叙述的内容表示椭圆，这毫无疑问，正如我们用小绳子按住两头所演示的一样。
　　
　　②如果条件是“等于|F1F2|”，则定义叙述的内容表示线段F1F2。（我在黑板上划线段F1F2，并取其上一点P,并演示|PF1|+|PF2|=|F1F2|,学生点头表示理解）。
　　
　　③如果条件是“小于|F1F2|”，则定义叙述的内容不表示任何图形，即动点轨迹不存在。（我在黑板上演示，显然|PF1|+|PF2|﹤|F1F2|不能产生任何图形）。
　　
　　进一步，我用三个小问题进行巩固：
　　
　　问题：试判断以下情况动点的轨迹：
　　
　　（1）到两定点F1（-7,0），F2（7,0）的距离之和大于14的点的轨迹是什么？
　　
　　（2）到两定点F1（-7,0），F2（7,0）的距离之和等于14的点的轨迹是什么？
　　
　　（3）到两定点F1（-7,0），F2（7,0）的距离之和小于14的点的轨迹是什么？
　　
　　学生很快就可以得出结论。
　　
　　《圆锥曲线》“条件”教学片段二：双曲线定义中的条件限制
　　
　　很有戏剧性，讲到2.3.1节《双曲线及其标准方程》时，其境遇竟然和讲椭圆的定义时，惊人的相似。
　　
　　双曲线的定义（课本第52页）是：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。
　　
　　学生问：老师，为什么定义中括号里要加一个条件“小于|F1F2|”呢？
　　
　　教师答：因为如果去掉这个条件，则定义所表示的图形将不一定是双曲线。
　　
　　学生问：为什么？
　　
　　教师答：这个问题可以从三个角度理解：
　　
　　①如果条件是“小于|F1F2|”，则定义叙述的内容表示双曲线，这毫无疑问，正如我们用拉链按住两头所演示的一样。
　　
　　②如果条件是“等于|F1F2|”，则定义叙述的内容表示以F1、F2为端点的两条射线（包含端点）。（我在黑板上划出直线F1F2，并在点F1、F2两侧各取两点P、Q,并演示|PF1|-|PF2|=|F1F2|,指出动点的轨迹是射线F1P、F2Q，学生点头表示赞同）。
　　
　　③如果条件是“大于|F1F2|”，则定义叙述的内容不表示任何图形，即动点轨迹不存在。（我在黑板上演示，显然|PF1|-|PF2|﹥|F1F2|不能产生任何图形）。
　　
　　同样，我给出三个小问题加以辨别：
　　
　　问题：试判断以下情况动点的轨迹：
　　
　　（1）动点P到两定点F1（-7,0），F2（7,0）的距离之差的绝对值小于14的点的轨迹是什么？
　　
　　（2）动点P到两定点F1（-7,0），F2（7,0）的距离之差的绝对值等于14的点的轨迹是什么？
　　
　　（3）动点P到两定点F1（-7,0），F2（7,0）的距离之差的绝对值大于14的点的轨迹是什么？
　　
　　学生也可以很快得出结论。
　　
　　然后，我又给出两个问题：
　　
　　条件改为“|PF1|-|PF2|﹤14”，动点的轨迹又会怎样呢？
　　
　　若条件改为“|PF2|-|PF1||﹤14”，动点的轨迹又会怎样呢？
　　
　　学生结合双曲线的图形，很容易判断是：双曲线的左支和右支。
　　
　　《圆锥曲线》“条件”教学片段三：抛物线定义中的条件限制
　　
　　讲到2.4.1节《抛物线及其标准方程》一课时，同样遇到了“条件”问题。
　　
　　抛物线的定义（课本第65页）是：平面内与一个定点F和一条定直线（不经过点F）距离相等的点的轨迹叫抛物线。
　　
　　在用直尺、三角板、细绳等演示了抛物线形成过程之后，学生又不禁要对“条件”发问了。
　　
　　学生问：老师，为什么定义中括号里要加一个条件“（不经过点F）”呢？
　　
　　教师答：如果去掉“（不经过点F）”这个条件，则定义所表示的图形将不一定是抛物线。
　　
　　学生问：为什么？
　　
　　教师答：这个问题可以从两个角度理解：
　　
　　①如果条件是“（不经过点F）”，则定义叙述的内容表示抛物线，这正如我们直尺、三角板、细绳等所演示的一样。
　　
　　②如果没有“（不经过点F）”条件限制，则当经过点F时，点的轨迹是过定点F，且垂直于直线的一条直线，定义叙述的内容表示的图形是一条直线而非抛物线。（然后我在黑板上画图演示，学生恍然大悟，看来学习知识必须要细致！）
　　
　　然后，我又出了两道题加以巩固。
　　
　　（1）平面内到定点F的距离等于到定直线的距离的点的轨迹是（ ）
　　
　　A.抛物线 B.直线
　　
　　C.抛物线或直线 D.不存在
　　
　　（2）求过点F（1,0）且与直线：x+y-1=0的距离相等的点的轨迹。
　　
　　很显然（1）选C,（2）答案是：x-y-1=0（即：过定点F，且垂直于直线的一条直线）。
　　
　　通过对《圆锥曲线》中椭圆、双曲线、抛物线的定义教学，使我体会到“条件”教学的重要性，对于每一个数学知识点，必须清楚、完整地点拨，不留知识盲区，不留认识死角，真理越辨越明，只有让学生全面、透彻的掌握知识，才能做到一通百通、游刃有余。