例谈递进式几何探究题求解策略

例谈递进式几何探究题求解策略
　　
　　东台市实验中学教育集团　杨　磊
　　
　　何为递进式几何探究题
　　
　　递进式几何题都具有如下特点：小切口，深分析， 其问题都是从特殊到一般，由表及里、由浅入深，每个问题之间，是逐步递进的关系，前一问题的解法对后一问题的解法有直接或间接的提示作用，解法互相关联。
　　
　　解答递进式几何探究题的策略
　　
　　关键在于对后续问题中图形结构进行类比联想，可添加适当的辅助线，化归为前面问题中出现的相同或相似的图形结构模型，以已经解决的问题的结论或方法，类比、猜想、论证另一个问题的结论或方法，抽丝剥茧、层层深入。
　　
　　例题精讲
　　
　　如图（1）～（3），已知∠ＡＯＢ的角平分线ＯＭ上有一点Ｐ，∠ＣＰＤ的两边与射线ＯＡ、ＯＢ交于点Ｃ、Ｄ，连接ＣＤ交ＯＰ于点Ｇ，设∠ＡＯＢ＝α（０°＜α180°），∠ＣＰＤ＝β。
　　
　　（1）如图（１），当α＝β＝９０°时，试猜想ＰＣ与ＰＤ，∠ＰＤＣ与∠ＡＯＢ的数量关系（不用说明理由）；
　　
　　（２）如图（２），当α＝６０°，β＝１２０°时，（１）中的两个猜想还成立吗？请说明理由；
　　
　　（3）如图（3），当α＋β＝１８０°时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立？请说明理由。
　　
　　【分析】（1）由点Ｐ是已知∠ＡＯＢ的平分线上一点， 联想到角平分线性质：角平分线上任意一点到角两边距离相等，故不妨作PE⊥AO于E，PF⊥OB于F，而∠EPC、∠FPＤ都是∠CPF的余角，它们相等，所以易证△EPC≌△FPＤ，得PC=PD；因为α=β=90°，所以∠ＰＤＣ＝４５°＝a/2.
　　
　　（2）与（1）比较，α从特殊的90°变成较为一般的６０°，β从特殊的90°变成较为一般的１２０°，图形结构没有本质变化，关键是α＋β仍然是１８０°，因此，以（１）的思路方法为模型，应该仍可证结论成立。
　　
　　（3）与（1）（2）比较，图形与角度更具有一般性，但仍然保持α＋β＝１８０°这一本质特征，因此，可模仿上面的思路猜想并证明。模仿过程中，原来找什么角和边的，现在还找什么角和边，但要注意理论依据可能有所变化。
　　
　　解：（１） ＰＣ＝ＰＤ，∠ＰＤＣ＝1/2∠ＡＯＢ。
　　
　　（２）成立。理由如下：如图１，作PE⊥AO于Ｅ，PF⊥OB于F，所以∠ＣＥＰ＝∠ＤＦＰ。因为ＯＰ平分∠ＡＯＢ，所以ＰＥ＝ＰＦ。
　　
　　在四边形ＥＯＦＰ中，因为∠ＡＯＢ＝６０°，∠ＰＥＯ＝∠ＰＦＯ＝９０°，所以∠ＥＰＦ＝１２０°，即∠ＥＰＣ＋∠ＣＰＦ＝１２０°。
　　
　　又∠ＣＰＤ＝１２０°，即∠ＤＰＦ＋∠ＣＰＦ＝１２０°，所以∠EPC= ∠DPF.
　　
　　（３）成立。理由如下：
　　
　　如图２，作PE⊥AO于E，PF⊥OB于F，所以∠CEP=∠ＰＦＤ。因为OP平分∠AOB，所以PE=PF.在四边形EOFP中，因为∠PEO=∠PFO=90°，所以∠EPF+∠AOB（α）＝１８０°，因为α＋β（∠ＣＰＤ）＝１８０°，所以∠ＥＰＦ＝∠ＣＰＤ。因为∠ＥＰＦ＝∠ＥＰＣ＋∠ＣＰＦ，∠ＣＰＤ＝∠ＣＰＦ＋∠ＦＰＤ，所以∠ＥＰＣ＝∠ＦＰＤ。所以△EPC≌△FPD，所以ＰＣ＝ＰＤ，∠ＰＤＣ＝。因为α＋β＝１８０°，所以∠ＰＤＣ＝。
　　
　　【点评】本题主要考查了角平分线性质、三角形全等的判定和性质，综合性强，有一定的难度。
　　
　　递进式几何探究题是近年热点题型，随着学习的深入，同学们将会有更多的接触，其解法并不神秘，从起始基本问题挖掘 “模型”（或者说基本图形）是解决问题的有效策略。