中德两国小学数学教材比较研究
法又是按９＋２、９＋３、……、９＋９的顺序编排。８＋几、７＋几、６＋ 几的加法编排顺序与９＋几相同。
德国教材采用加减分编，顺序是６＋几、７＋几、８＋几、９＋几。在每一段加法的编排中，又分别是以 ６＋６，７＋７，８＋８，９＋９这些“对子数”相加作为开头。具体顺序如下： ６＋６＝１２ ７＋７＝１４ ８＋８＝１６ ９＋９＝１８ ６＋５＝ ７＋６＝ ８＋９＝ １０＋９＝ ６＋７＝ ７＋８＝ ８＋７＝ ８＋９＝ ５＋６＝ ６＋７＝ ９＋８＝ ９＋１０＝ ７＋６＝ ８＋７＝ ７＋８＝ ９＋８＝
在计算方法上，如６＋几，当计算６＋６＝１２时，采用凑十法，其他几题的计算以６＋６＝１２为依据 ，分别推算出答案。如要算６＋５＝？思考过程为：因为６＋６＝１２，而５比６小１，所以６＋５＝１１。 其余类推。德国教材在退位减法中，也分别以１２－６、１４－７、１６－８、１８－９作为每一段减法的开 头。
笔者曾经问德国数学教材的编者，为什么这样编排？他的回答是：有实验证明两个相同的数相加最容易掌 握，教材这样编排是为了贯彻由易到难的原则。中德两国对２０以内数的进位加法和退位减法采用了不同的编 排体系，到底哪一种编排体系更有利于学生学习，有待实验进一步证明。
２．多位数加减。
我国教材笔算加法起始于两位数加两位数不进位加法，常安排在一下年级教学；德国教材笔算加减法起始 于三位数加三位数不进位加法，安排在三年级。
德国三年级数学教材，在三位数加三位数的进位加法后，紧接着出现了三位数减三位数不退位笔算减法， 这也是他们笔算减法的开始。在我国现行的小学数学教材中，笔算减法开始于两位数减两位数不退位减法，通 常安排在一下年级教学。在计算方法上，两国之间存在着较大差异，德国采用“想加做减”的方法，他们把这 种方法称为“补充法”。例如计算：
６５７
－３２６
----------
３３１
计算这道题语言表达是：因为６个一加上１个一是７个一，所以在个位上写１。十位、百位上的数相减的 表达方式与此类似。在退位减法中，当某一位上的数不够减时，他们采用“被减数和减数都加同一个数”的办 法。
例如计算：
（附图 {图}）
思考过程如下：因为找不到这样一个数（在小学里），使得９加上这个数等于３，所以，被减数补充１０ 个一（１０写在３的下面），减数补充１个十（１写在６的下面）。补充的１０个一和原来个位上的３个一合 在一起是１３个一，即１３，而９＋４＝１３，所以，在差的个位上写４。十位上的数的计算过程与个位上类 似。由上述计算可以看到，德国教材中做退位减法的基础知识是：
①十进制位值原则；
②２０以内（包括１０以内）数的加法；
③“被减数和减数都加上同一个数，差不变”的性质。
我国现行教材中，做不退位减法时，一般采用“想减做减”的方法。在做退位减法时，采用“向高位去借 ”的办法。做退位减法的主要基础知识是：
①十进制位值原则；
②２０以内（包括１０以内）数的加、减法。
比较两国的计算方法，笔者认为，我们的计算方法比德国的方法要优越。我们的方法思考过程简单，用到 的基础知识少。有趣的是笔者给德国的小学生介绍了我们的计算方法，当他们掌握后，问他们喜欢哪一种方法 ，德国的小学生回答是喜欢他们自己的方法，这也可能是不同的民族有不同的习惯吧。
当然，如果运用他们的方法去计算“被减数中间或末尾有几个零”的退位减法题，有其方便的一面，因为 它不会像我们的方法那样产生“连续向高位去借”的情况。
３．乘法。
中德两国教材在被乘数和乘数的书写形式上正好相反。如３＋３＋３＋３，德国教材写作４×３，而我国 教材写作３×４。德国教材只给出一种读法：“４乘３”，我国教材对于３×４可以有两种读法。由此可见， 对一个乘法算式书写的形
中德两国教材在表内乘法的编排体系上存在较大差异。我国教材一般按照自然数的顺序依次讲述２、３、 ４、……８、９的乘法口诀。而德国教材的编排顺序是：１０、５、２、４、８、３、６、９、７。德国的教 育工作者认为：一个自然数与１０相乘最方便，只要在这个数后面添上一个零即可，因此与１０相乘要先学； 而与５相乘是这个数乘以１０的一半；与２相乘就是把这个数“翻倍”；与４相乘是在与２相乘后再“翻倍” ；与８相乘是在与４相乘后“翻倍”；与３相乘和与６、与９相乘道理类似。而一个数与７相乘是最难的，因 此放在最后。表内乘法教材到底哪国的编写顺序更有利于学生学习，有待于实验研究。
两国教材在笔算一位数乘法时，乘的方法和顺序没有区别。在笔算多位数乘法时，我国教材采用从低位到 高位的顺序，德国教材正相反，采用从高位到低位的顺序。例如： 德国 我国
６９４·７２９ ６９４
×７２９
---------------- ------------------
４８５８ ６２４６
１３８８ １３８８
６２４６ ４８５８
------------- ------------------
５０５９２６ ５０５９２６
笔者认为，两种乘法顺序无本质差异。在估算时，对掌握从高位乘起的方法者更有利。
常州市教育科学研究所高级讲师、特级教师邱学华评析：
朱乐平撰写的《中德两国小学数学教材比较研究》一文，观点鲜明，通俗易懂。通过比较，为促进我国教 材建设服务，体现了“洋为中用”的原则。
通过宏观比较，他认为我国教材知识点多，教材结构严谨，但是过分注重形式操练，忽视知识的实际应用 。这些意见是十分中肯的，有远见的，表明作者具有扎实的理论基础和丰富的实践经验。
在微观比较中，客观地介绍了两国的某些具体内容编排体系以及具体的计算方法。谁是谁非，作者并没有 下结论，而是说“到底哪一种编排体系更有利学生学习，有待实验进一步证明”，充分体现了作者的科学态度 。
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德国教材采用加减分编，顺序是６＋几、７＋几、８＋几、９＋几。在每一段加法的编排中，又分别是以 ６＋６，７＋７，８＋８，９＋９这些“对子数”相加作为开头。具体顺序如下： ６＋６＝１２ ７＋７＝１４ ８＋８＝１６ ９＋９＝１８ ６＋５＝ ７＋６＝ ８＋９＝ １０＋９＝ ６＋７＝ ７＋８＝ ８＋７＝ ８＋９＝ ５＋６＝ ６＋７＝ ９＋８＝ ９＋１０＝ ７＋６＝ ８＋７＝ ７＋８＝ ９＋８＝
在计算方法上，如６＋几，当计算６＋６＝１２时，采用凑十法，其他几题的计算以６＋６＝１２为依据 ，分别推算出答案。如要算６＋５＝？思考过程为：因为６＋６＝１２，而５比６小１，所以６＋５＝１１。 其余类推。德国教材在退位减法中，也分别以１２－６、１４－７、１６－８、１８－９作为每一段减法的开 头。
笔者曾经问德国数学教材的编者，为什么这样编排？他的回答是：有实验证明两个相同的数相加最容易掌 握，教材这样编排是为了贯彻由易到难的原则。中德两国对２０以内数的进位加法和退位减法采用了不同的编 排体系，到底哪一种编排体系更有利于学生学习，有待实验进一步证明。
２．多位数加减。
我国教材笔算加法起始于两位数加两位数不进位加法，常安排在一下年级教学；德国教材笔算加减法起始 于三位数加三位数不进位加法，安排在三年级。
德国三年级数学教材，在三位数加三位数的进位加法后，紧接着出现了三位数减三位数不退位笔算减法， 这也是他们笔算减法的开始。在我国现行的小学数学教材中，笔算减法开始于两位数减两位数不退位减法，通 常安排在一下年级教学。在计算方法上，两国之间存在着较大差异，德国采用“想加做减”的方法，他们把这 种方法称为“补充法”。例如计算：
６５７
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３３１
计算这道题语言表达是：因为６个一加上１个一是７个一，所以在个位上写１。十位、百位上的数相减的 表达方式与此类似。在退位减法中，当某一位上的数不够减时，他们采用“被减数和减数都加同一个数”的办 法。
例如计算：
（附图 {图}）
思考过程如下：因为找不到这样一个数（在小学里），使得９加上这个数等于３，所以，被减数补充１０ 个一（１０写在３的下面），减数补充１个十（１写在６的下面）。补充的１０个一和原来个位上的３个一合 在一起是１３个一，即１３，而９＋４＝１３，所以，在差的个位上写４。十位上的数的计算过程与个位上类 似。由上述计算可以看到，德国教材中做退位减法的基础知识是：
①十进制位值原则；
②２０以内（包括１０以内）数的加法；
③“被减数和减数都加上同一个数，差不变”的性质。
我国现行教材中，做不退位减法时，一般采用“想减做减”的方法。在做退位减法时，采用“向高位去借 ”的办法。做退位减法的主要基础知识是：
①十进制位值原则；
②２０以内（包括１０以内）数的加、减法。
比较两国的计算方法，笔者认为，我们的计算方法比德国的方法要优越。我们的方法思考过程简单，用到 的基础知识少。有趣的是笔者给德国的小学生介绍了我们的计算方法，当他们掌握后，问他们喜欢哪一种方法 ，德国的小学生回答是喜欢他们自己的方法，这也可能是不同的民族有不同的习惯吧。
当然，如果运用他们的方法去计算“被减数中间或末尾有几个零”的退位减法题，有其方便的一面，因为 它不会像我们的方法那样产生“连续向高位去借”的情况。
３．乘法。
中德两国教材在被乘数和乘数的书写形式上正好相反。如３＋３＋３＋３，德国教材写作４×３，而我国 教材写作３×４。德国教材只给出一种读法：“４乘３”，我国教材对于３×４可以有两种读法。由此可见， 对一个乘法算式书写的形
式以及算式的读法完全是人定的。
中德两国教材在表内乘法的编排体系上存在较大差异。我国教材一般按照自然数的顺序依次讲述２、３、 ４、……８、９的乘法口诀。而德国教材的编排顺序是：１０、５、２、４、８、３、６、９、７。德国的教 育工作者认为：一个自然数与１０相乘最方便，只要在这个数后面添上一个零即可，因此与１０相乘要先学； 而与５相乘是这个数乘以１０的一半；与２相乘就是把这个数“翻倍”；与４相乘是在与２相乘后再“翻倍” ；与８相乘是在与４相乘后“翻倍”；与３相乘和与６、与９相乘道理类似。而一个数与７相乘是最难的，因 此放在最后。表内乘法教材到底哪国的编写顺序更有利于学生学习，有待于实验研究。
两国教材在笔算一位数乘法时，乘的方法和顺序没有区别。在笔算多位数乘法时，我国教材采用从低位到 高位的顺序，德国教材正相反，采用从高位到低位的顺序。例如： 德国 我国
６９４·７２９ ６９４
×７２９
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４８５８ ６２４６
１３８８ １３８８
６２４６ ４８５８
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５０５９２６ ５０５９２６
笔者认为，两种乘法顺序无本质差异。在估算时，对掌握从高位乘起的方法者更有利。
常州市教育科学研究所高级讲师、特级教师邱学华评析：
朱乐平撰写的《中德两国小学数学教材比较研究》一文，观点鲜明，通俗易懂。通过比较，为促进我国教 材建设服务，体现了“洋为中用”的原则。
通过宏观比较，他认为我国教材知识点多，教材结构严谨，但是过分注重形式操练，忽视知识的实际应用 。这些意见是十分中肯的，有远见的，表明作者具有扎实的理论基础和丰富的实践经验。
在微观比较中，客观地介绍了两国的某些具体内容编排体系以及具体的计算方法。谁是谁非，作者并没有 下结论，而是说“到底哪一种编排体系更有利学生学习，有待实验进一步证明”，充分体现了作者的科学态度 。
《中德两国小学数学教材比较研究》
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