要重视对数学教材的深层次挖掘
一、知识产生背景的挖掘
数学知识的产生都有其深刻的背景。学生不了解知识产生的背景，就不知道为什么要学习这一知识，学习 目的性不明确，就失去了学习的兴趣和动力，也就无法真正理解这一知识，当然更谈不上灵活运用这一知识。 因此，教师在钻研教材时，应认真挖掘知识产生的背景。
例如，“面积单位”这一概念的引入，其背景是什么呢？教材中未讲清楚。其实，在社会生产和日常生活 中，要经常比较物体的表面和图形的大小，通常有以下几种方法：1.面积大小差异很大时，通过观察就能直接 比较它们的大小；2.面积相近时，采用重叠的方法来比较它们的大小；3.不能采用以上方法时，还可以把它们 划分成由大小相同的方格组成的图形，看哪个包含的方格多，那个面积就大，等等。把一个物体的表面或图形 划分成几个方格时，有的把方格画得大一些，有的把方格画得小一些，不仅麻烦，而且很不容易比较。因此， 要知道哪个面积大，哪个面积小，而且要准确地知道大多少，小多少，就要有统一的标准去测量面积，这个统 一的标准“方格”，就是“面积单位”。这样，既很自然地引出了“面积单位”这一概念产生的背景，又揭示 了面积单位的作用，而且孕伏了直接度量面积的方法，为以后用面积单位去度量长方形面积，推导出长方形面 积计算公式作了铺垫。
二、知识形成过程的挖掘
数学教学的本质应是思维活动过程的教学。数学教学不仅要让学生获得知识，而且更重要的是通过知识获 得的过程来发展学生的能力。因而，知识发生过程的教学，无论对于学生掌握知识还是发展学生思维能力都具 有重要的意义。因此，我们在钻研教材时，应认真挖掘知识的形成过程。
例如，“体积”概念的教学，就应紧扣概念的产生、发展、形成和应用的有序思维过程来精心设计：
1.让学生观察一块橡皮擦和一块黑板擦，问学生哪个大；又出示两个棱长分别是5厘米和3厘米的方木块， 问学生哪个大？通过比较，学生初步获得物体有大小之分的感性认识。
2.拿出两个相同的烧杯，盛有同样多的水，分别向烧杯放入石子和石块，结果水位明显上升。然后引导学 生讨论烧杯的水位为什么会上升？学生又从这具体事例中获得了物体占有空间的感性认识。
3.引导学生分析、比较，为什么烧杯里的水位，随着石块的增大，水位上升得越高，直至水从烧杯里溢出 ？在这个思维过程中，学生就能比较自然地导出：“物体所占空间的大小叫做体积”这一概念。
4.接着我们又让学生举出其他体积的例子，或用体积概念解释有关现象，使体积概念在应用中得到巩固。 如先在烧杯中盛满水，然后放入石块，问学生从杯中溢出的水的多少与石块有什么关系呢？经过观察、分析， 学生便能准确地回答；从杯中溢出的水的体积与石块的体积相等。再把石块从水中取出，杯中的水位下降，学 生立即说出，水位下降的部分，就是石块所占空间的体积。这样，既提高了学生的学习兴趣，又加深了对新概 念的理解。因而，“体积”概念的建立过程，是观察、比较、分析、抽象概括的过程，体现了学生在教师的引 导下，环环相扣、步步递进、主动参与了这个“从感知经表象达到认识”的思维过程，学生在知识的形成过程 中认识并掌握了数学概念，学到知识的同时又学到了获取知识的方法。
三、数学思想蕴含的挖掘
数学思想方法是对数学知识的本质反映，也是知识转化为能力的纽带，它蕴含于数学概念、规律等基础知 识之中，是隐形的东西。要培养学生思维能力，提高数学素质，就得重视培养学生掌握数学基本思想方法。因 此，教学中，应认真挖掘所教知识蕴含的数学思想方法。
在小学数学中，基本数学思想方法有：对应思想、量不变思想、可逆思想、转化思想等。其中转化思想是 小学数学思想方法的核心。其内容丰富；数形转化、未知向已知转化、动静转化、几何形体中的等积转化…… 双向联想是转化思想方法的集中代表，也是学习数学知识的重要策略。如，在学生已掌握了“分数乘法”的基 础上，教学“分数除法”的计算法则，分数乘法与分数除法是一对互逆的运算，它们是互相对立的，是矛盾着 的两个方面，但引进了“倒数”的概念后，分数除法就可以转
2 3
化用分数乘法来计算：12÷─ → 12×─。也就是说，在引进了倒数的条件下，
3 2
分数乘、除法这对矛盾就统一了起来。又如，教学平行四边形面积的计算时，挖掘并渗透平移、等积转化 的思想，即从平行四边形左边剪下一个直角三角形，把它平移到原平行四边形的右边拼成一个等底（长）、等 高（宽）、等积的长方形。就可以利用长方形面积计算公式推导出平行四边形的面积计算公式。通过挖掘和渗 透这些数学思想方法，一方面使学生初步体会到几何图形的位置变换和转化是有规律的，为将来学习图形的变 换积累一些感性经验，另一方面有助于发展学生的空间观念。
四、知识中智力因素的挖掘
数学教育的一个重要目的是开发学生的智力，发展学生的数学能力，核心是发展思维能力。但是，这种确 定的、前后一贯的、有条有理的、有根有据的思考问题的方法和能力，并不随数学知识的增长而自然增长，而 是需要教师作长期有意识的培养和训练。因此，每上一节数学课，都要认真地挖掘知识中培养学生智力的潜在 因素，以发挥知识的智力价值，努力使传播知识和发展能力有机地同步进行。
过去我们对小学数学打基础的认识较片面，只着重抓“双基”的灌输，一心想把教材讲深讲透，而忽视挖 掘知识中的智力因素，如过去教圆柱体体积时，从教材的例题、习题内容看，有以下几种类型：已知底面积和 高求体积；已知底面半径和高求体积；已知底面直径和高求体积；已知底面周长和高求体积等。过去教学中总 担心学生不懂，用许多教时各举一例讲解，再让学生依样画葫芦。显然这样不利于培养学生的逻辑思维能力， 也不能调动学生学习的积极性。现在我们在教学圆柱体体积时，只着重推导V=Sh的公式，训练分析问题的思路 ，培养抽象概括能力。当学生在理解的基础上掌握了公式之后，再启发学生独立分析、判断其他各种情况，探 讨解题的思路和方法。在关键处提一两个问题，如，求圆柱体的体积必须具备哪些条件？根据题中的已知数怎 样求得这些条件？这样，
五、数学应用意识的挖掘
数学知识的生命在于应用，尽管应用的广泛性是数学的一大特点，但常常被数学教材的严密性和抽象性所 掩盖，导致学生数学应用意识的削弱。因此，在教学中，要认真挖掘知识在日常生活和社会生产中的应用，培 养学生用数学的眼光去观察和认识周围的事物，提高学生应用数学知识解决简单的实际问题的能力，是十分必 要的。
例如，学生学习了求圆锥的体积公式后，我们带学生到学校的沙坑上，用细纱堆起一个圆锥形沙堆，问： “要算出这沙堆的体积，需要几个条件？”（底面积和高）“要求底面积又必须知道什么条件？”（半径）“ 那么，现在大家讨论一下怎样量得这个圆锥形沙堆的底面半径和高呢？”一下子打开了学生思维的闸门，议论 开了：可用绳子在底面周围围一圈，量得底面周长，有了周长就可以求半径；可用两根竹竿靠在沙堆底面，并 使两竿平行，然后量出两竹竿间的距离，得出直径，再求半径；用竹竿的一个端点支在沙堆的顶上，手拿另一 端，使竹竿与底面水平，然后用另一竹竿靠在底面并垂直底面，组成直角后，量得沙堆的顶点与直角顶点间的 距离，就是沙堆底面的半径，同时也能量出沙堆的高（如图）。接着再让学生根据自己测出的数据计算出沙堆 的体积。这比教师预先定条件，再让学生机械、单调地计算要实在得多。因此，在课堂教学中要加强数学与现 实的联系，要根据所学内容的特点，创设与实际有关的问题，把培养学生的数学应用意识落实到课堂教学中
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数学知识的产生都有其深刻的背景。学生不了解知识产生的背景，就不知道为什么要学习这一知识，学习 目的性不明确，就失去了学习的兴趣和动力，也就无法真正理解这一知识，当然更谈不上灵活运用这一知识。 因此，教师在钻研教材时，应认真挖掘知识产生的背景。
例如，“面积单位”这一概念的引入，其背景是什么呢？教材中未讲清楚。其实，在社会生产和日常生活 中，要经常比较物体的表面和图形的大小，通常有以下几种方法：1.面积大小差异很大时，通过观察就能直接 比较它们的大小；2.面积相近时，采用重叠的方法来比较它们的大小；3.不能采用以上方法时，还可以把它们 划分成由大小相同的方格组成的图形，看哪个包含的方格多，那个面积就大，等等。把一个物体的表面或图形 划分成几个方格时，有的把方格画得大一些，有的把方格画得小一些，不仅麻烦，而且很不容易比较。因此， 要知道哪个面积大，哪个面积小，而且要准确地知道大多少，小多少，就要有统一的标准去测量面积，这个统 一的标准“方格”，就是“面积单位”。这样，既很自然地引出了“面积单位”这一概念产生的背景，又揭示 了面积单位的作用，而且孕伏了直接度量面积的方法，为以后用面积单位去度量长方形面积，推导出长方形面 积计算公式作了铺垫。
二、知识形成过程的挖掘
数学教学的本质应是思维活动过程的教学。数学教学不仅要让学生获得知识，而且更重要的是通过知识获 得的过程来发展学生的能力。因而，知识发生过程的教学，无论对于学生掌握知识还是发展学生思维能力都具 有重要的意义。因此，我们在钻研教材时，应认真挖掘知识的形成过程。
例如，“体积”概念的教学，就应紧扣概念的产生、发展、形成和应用的有序思维过程来精心设计：
1.让学生观察一块橡皮擦和一块黑板擦，问学生哪个大；又出示两个棱长分别是5厘米和3厘米的方木块， 问学生哪个大？通过比较，学生初步获得物体有大小之分的感性认识。
2.拿出两个相同的烧杯，盛有同样多的水，分别向烧杯放入石子和石块，结果水位明显上升。然后引导学 生讨论烧杯的水位为什么会上升？学生又从这具体事例中获得了物体占有空间的感性认识。
3.引导学生分析、比较，为什么烧杯里的水位，随着石块的增大，水位上升得越高，直至水从烧杯里溢出 ？在这个思维过程中，学生就能比较自然地导出：“物体所占空间的大小叫做体积”这一概念。
4.接着我们又让学生举出其他体积的例子，或用体积概念解释有关现象，使体积概念在应用中得到巩固。 如先在烧杯中盛满水，然后放入石块，问学生从杯中溢出的水的多少与石块有什么关系呢？经过观察、分析， 学生便能准确地回答；从杯中溢出的水的体积与石块的体积相等。再把石块从水中取出，杯中的水位下降，学 生立即说出，水位下降的部分，就是石块所占空间的体积。这样，既提高了学生的学习兴趣，又加深了对新概 念的理解。因而，“体积”概念的建立过程，是观察、比较、分析、抽象概括的过程，体现了学生在教师的引 导下，环环相扣、步步递进、主动参与了这个“从感知经表象达到认识”的思维过程，学生在知识的形成过程 中认识并掌握了数学概念，学到知识的同时又学到了获取知识的方法。
三、数学思想蕴含的挖掘
数学思想方法是对数学知识的本质反映，也是知识转化为能力的纽带，它蕴含于数学概念、规律等基础知 识之中，是隐形的东西。要培养学生思维能力，提高数学素质，就得重视培养学生掌握数学基本思想方法。因 此，教学中，应认真挖掘所教知识蕴含的数学思想方法。
在小学数学中，基本数学思想方法有：对应思想、量不变思想、可逆思想、转化思想等。其中转化思想是 小学数学思想方法的核心。其内容丰富；数形转化、未知向已知转化、动静转化、几何形体中的等积转化…… 双向联想是转化思想方法的集中代表，也是学习数学知识的重要策略。如，在学生已掌握了“分数乘法”的基 础上，教学“分数除法”的计算法则，分数乘法与分数除法是一对互逆的运算，它们是互相对立的，是矛盾着 的两个方面，但引进了“倒数”的概念后，分数除法就可以转
2 3
化用分数乘法来计算：12÷─ → 12×─。也就是说，在引进了倒数的条件下，
3 2
分数乘、除法这对矛盾就统一了起来。又如，教学平行四边形面积的计算时，挖掘并渗透平移、等积转化 的思想，即从平行四边形左边剪下一个直角三角形，把它平移到原平行四边形的右边拼成一个等底（长）、等 高（宽）、等积的长方形。就可以利用长方形面积计算公式推导出平行四边形的面积计算公式。通过挖掘和渗 透这些数学思想方法，一方面使学生初步体会到几何图形的位置变换和转化是有规律的，为将来学习图形的变 换积累一些感性经验，另一方面有助于发展学生的空间观念。
四、知识中智力因素的挖掘
数学教育的一个重要目的是开发学生的智力，发展学生的数学能力，核心是发展思维能力。但是，这种确 定的、前后一贯的、有条有理的、有根有据的思考问题的方法和能力，并不随数学知识的增长而自然增长，而 是需要教师作长期有意识的培养和训练。因此，每上一节数学课，都要认真地挖掘知识中培养学生智力的潜在 因素，以发挥知识的智力价值，努力使传播知识和发展能力有机地同步进行。
过去我们对小学数学打基础的认识较片面，只着重抓“双基”的灌输，一心想把教材讲深讲透，而忽视挖 掘知识中的智力因素，如过去教圆柱体体积时，从教材的例题、习题内容看，有以下几种类型：已知底面积和 高求体积；已知底面半径和高求体积；已知底面直径和高求体积；已知底面周长和高求体积等。过去教学中总 担心学生不懂，用许多教时各举一例讲解，再让学生依样画葫芦。显然这样不利于培养学生的逻辑思维能力， 也不能调动学生学习的积极性。现在我们在教学圆柱体体积时，只着重推导V=Sh的公式，训练分析问题的思路 ，培养抽象概括能力。当学生在理解的基础上掌握了公式之后，再启发学生独立分析、判断其他各种情况，探 讨解题的思路和方法。在关键处提一两个问题，如，求圆柱体的体积必须具备哪些条件？根据题中的已知数怎 样求得这些条件？这样，
既培养了学生的逻辑思维能力，也提高了学习兴趣。因此，学生获取、运用知识的过 程也是能力发展的过程，而发展学生能力的过程也是加深理解、灵活掌握和运用知识的过程。
五、数学应用意识的挖掘
数学知识的生命在于应用，尽管应用的广泛性是数学的一大特点，但常常被数学教材的严密性和抽象性所 掩盖，导致学生数学应用意识的削弱。因此，在教学中，要认真挖掘知识在日常生活和社会生产中的应用，培 养学生用数学的眼光去观察和认识周围的事物，提高学生应用数学知识解决简单的实际问题的能力，是十分必 要的。
例如，学生学习了求圆锥的体积公式后，我们带学生到学校的沙坑上，用细纱堆起一个圆锥形沙堆，问： “要算出这沙堆的体积，需要几个条件？”（底面积和高）“要求底面积又必须知道什么条件？”（半径）“ 那么，现在大家讨论一下怎样量得这个圆锥形沙堆的底面半径和高呢？”一下子打开了学生思维的闸门，议论 开了：可用绳子在底面周围围一圈，量得底面周长，有了周长就可以求半径；可用两根竹竿靠在沙堆底面，并 使两竿平行，然后量出两竹竿间的距离，得出直径，再求半径；用竹竿的一个端点支在沙堆的顶上，手拿另一 端，使竹竿与底面水平，然后用另一竹竿靠在底面并垂直底面，组成直角后，量得沙堆的顶点与直角顶点间的 距离，就是沙堆底面的半径，同时也能量出沙堆的高（如图）。接着再让学生根据自己测出的数据计算出沙堆 的体积。这比教师预先定条件，再让学生机械、单调地计算要实在得多。因此，在课堂教学中要加强数学与现 实的联系，要根据所学内容的特点，创设与实际有关的问题，把培养学生的数学应用意识落实到课堂教学中
《要重视对数学教材的深层次挖掘》
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