中德两国小学数学教材比较研究
【１９９０年，笔者曾在德国巴伐利亚州进修。在进修期间完成了《中德两国小学数学教材比较研究》一 文。１９９１年，该文发表在德国杂志《教育世界》第９期上。德国巴伐利亚州的小学学制四年，为了具有可 比性，因此只是对两国１—４年级的数学教材进行了比较。选取的教材是：德国巴伐利亚州一套现行小学数学 教材《想与算》和我国的四省市《数学》教材。本文在德文原文的基础上，结合近几年的学习体会进行了充实 和修改。】
教材在教学中具有十分重要的作用，这是显然的事实。在从一纲一本到一纲多本、多纲多本变迁的今在， 我们不但十分有必要研究国内各套教材的优缺点，而且还有必要研究国外教材与我们的差异，以便取长补短。 本文试图对中德两国小学数学教材的编排体系和特点从宏观和微观两个角度作一比较。
一、教材编排体系的宏观比较
所谓宏观比较，是指对教材选取的总体教学内容、教材结构和编写特点加以比较。一套数学教材选取的教 学内容及其编排顺序，体现了编者对学生的要求和对学生认知能力的研究水平。（两国１—４年级的教学内容 和教材编排顺序表附在下页）
附：中德两国１—４年级的教学内容和教材编排顺序表
阅读了两国的教材可以看到：
１．德国教材的内容少，我国教材的知识点多。德国小学四年数学教学内容相当于我国三年的内容。
编者在选取小学数学的教学内容时，主要考虑所取内容的必要性和学生的可接受性，同时也考虑整个义务 教育阶段（中小学）数学教学的体系。德国教材在小学四年中安排的内容少，说明他们对学生所学“知识点” 上的要求比较低。由于教学内容比较少，所以在每节课中所教学的知识点也少，这样对知识的发生过程就有可 能得到较充分的强调，这是它的优点。但对于一部分智力相对比较好的学生来说，他们在同样的时间内可以学 习更多的内容，而由于教材内容少，因而会产生浪费时间的现象。我国教材的知识点多，对于智力较好的学生 来说，可以学到更多的内容，而对于学习有困难的学生来说，常常会觉得要求过高。从两国教材内容多少的比 较中，给我们的启示是：要加大我国教材的“弹性”，对于不同的学生，应该有不同层次的要求。
２．我国教材结构严谨，德国教材结构相对松散。
数学具有严密的逻辑性，因此，数学教材的编写常常要考虑数学知识本身的结构，从而让学生在学习数学 时，体会到数学的这种严密性。正因为如此，我国的数学教材在编写时，十分注重内容结构的严谨，常常用标 准的数学术语陈述数学内容，对概念常常给出完整的和相当严密的定义。相比之下，德国教材显得相对松散， 教材中出现的数学概念、命题大多采用描述性的语言，使用数学术语较少，例如，在１—４年级的教材中都没 有出现：加数、和；被减数、减数、差等数学术语。又如德国教材中的应用题没有单独列章节，也没有比较严 格地按计算步数多少来编排；我国教材中的应用题单独列章节，而且比较严格地按照一步、两步及多步复合应 用题的顺序呈现。再如，我国教材在学生系统学习小数的四则运算以前，要先学分数的初步认识，然后再从十 进分数转到小数，结构十分严谨；而德国教材在引进分数时，只说“像１．４、１２．８……这样的数叫小数 。小数点就是把马克和芬尼分开的小圆点。”然后就开始小数的运算。
我国教材的编写注意知识结构的严密性，这对培养学生的逻辑思维能力和建立较完整的知识体系是有利的 。但如果教材过份强调严密，时时都要考虑数学知识本身的结构，那就不利于在教材中适当加强或渗透现代数 学知识。德国的教材比较松散、通俗，容易被学生接受和掌握。从两国教材的结构比较中，给我们的启示是： 我们应该适当地破除原来的“严密”框架，不受“严密”的束缚，把一个公民必须具备的现代数学知识和思想 编写进小学数学教材中去。
３．德国教材重视知识的实际应用，我国教材重视知识的形式化操练。
（附图 {图}）
德国教材十分重视让学生运用学到的数学知识去认识周围世界，去解决实际问题。例如有关时间的计算， 教材中编写了许多实际生活中的问题，在课本里印有一张奥格斯堡火车总站在９∶００—１２∶００之间的真 实火车时刻表。时刻表中有这样一些信息：在９∶００—１２∶００这段时间里，从奥格斯堡火车总站发出的 各辆火车的车次、火车行驶方向、旅客上车的站台号、沿途停靠各站时间、到达终点站的时间等。根据这张时 刻表，要求学生解答类似于下面的一些问题：
①写出在９∶００—１２∶００这段时间中，从奥格斯堡发出的去下列方向的所有火车车次；
ａ）去慕尼黑； ｂ）去纽伦堡。
②在９∶００—１２∶００这段时间里，乘哪几次火车的旅客要从８号站台上车？
③卡塔琳小姐在９∶２０到达奥格斯堡火车总站，她想去慕尼黑，可以乘哪几次火车？最快的是哪一次？ 到达慕尼黑是几时？从奥格斯堡到慕尼黑要多少时间？
有关看火车时刻表的问题中，这套教材里出了１３个大题，２９个小题，几乎把日常生活中碰到的一些实 际问题都编进了教材。
德国教材中有关行程问题，一般先给学生一张火车的时速表，先要求学生读出速度值，再计算。我国教材 中有关时间问题的计算，一般让学生计算：上午９时到下午３时经过多少时间？有关行程问题，常让学生练习 “一列火车每小时行６０千米，行了９小时，共行多少路程”这样的形式化操练题。
笔者认为，教材重视知识的实际应用，是十分必要的，是培养学生具有良好的数学素质的重要途径。对数 学知识作适当的形式化操练，对于巩固基础知识，形成基本技能，提高实际应用能力是有益而无害的。但目前 我国有些教材过分注重形式化操练，而忽视了知识的实际应用，这是不足取的。德国教材中重视实际应用的做 法值得我们借鉴。
４．德国教材重视估算，我国教材估算内容相对较少。
在我们的日常生活中估算的次数常常比精确计算的次数多。因此，估算的掌握就显得很重要。德国教材无 论在计算、应用题、量的计量等方面的教学中都十分重视估算。例如，在计算教学中常出现以下类型的试题：
题目 估算 精确计算 验算
１７４×５０３
３８１４÷６１ 德国教材给出的应用题的解题步骤是：①仔细地读题；②在重要的词后的数下面划线 ；③画出草图；④写出解题计划；⑤估算；⑥精确计算；⑦比较估算和精确计算的结果；⑧再读一遍题目的问 题，作出答案。把估算作为解应用题的一个步骤，这也说明对估算教学的重视。
在量的计量教学中，德国教材不但要求学生估计长度、时间、重量、容积，而且要求估计商品的价格，例 如估计一辆自行车、一个书包的价格等。
我国教材通常在长度、时间、重量、容积等方面的教学中有估算的内容，但与德国教材相比，估算内容太 少。
我国教材注重精确计算，这对提高学生的计算能力有一定的好处。德国教材重视估算，能使学生从小具有 估算意识和较强的估算能力。从中给我们的启示是：估算能力是公民应具有的一种基本数学素质，我们的教材 应该适当增加这方面的内容。
二、教材编排体系的微观比较
这里的微观比较指的是对教材中的某一具体教学内容的编排以及具体的计算方法的比较。对于同一数学知 识，常常有不同的编排顺序，中德两国教材在以下几块四则计算内容的编排和计算方法中存在差异：
１．２０以内数的进位加法和退位减法。
我国教材在编排２０以内数的进位加法和退位减法时，采用的是加减混编或加减分编。在加减混编中，常 采用９加几和相应的减法，８加几和相应的减法……的顺序编写；或者按和是１１的加法和相应的减法，和是 １２的加法和相应的减法……的顺序编写。在加减分编中，总是先加后减，加法的编排顺序是９＋几、８＋几 、７＋几、６＋几。９＋几的加 《中德两国小学数学教材比较研究》
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教材在教学中具有十分重要的作用，这是显然的事实。在从一纲一本到一纲多本、多纲多本变迁的今在， 我们不但十分有必要研究国内各套教材的优缺点，而且还有必要研究国外教材与我们的差异，以便取长补短。 本文试图对中德两国小学数学教材的编排体系和特点从宏观和微观两个角度作一比较。
一、教材编排体系的宏观比较
所谓宏观比较，是指对教材选取的总体教学内容、教材结构和编写特点加以比较。一套数学教材选取的教 学内容及其编排顺序，体现了编者对学生的要求和对学生认知能力的研究水平。（两国１—４年级的教学内容 和教材编排顺序表附在下页）
附：中德两国１—４年级的教学内容和教材编排顺序表
阅读了两国的教材可以看到：
１．德国教材的内容少，我国教材的知识点多。德国小学四年数学教学内容相当于我国三年的内容。
编者在选取小学数学的教学内容时，主要考虑所取内容的必要性和学生的可接受性，同时也考虑整个义务 教育阶段（中小学）数学教学的体系。德国教材在小学四年中安排的内容少，说明他们对学生所学“知识点” 上的要求比较低。由于教学内容比较少，所以在每节课中所教学的知识点也少，这样对知识的发生过程就有可 能得到较充分的强调，这是它的优点。但对于一部分智力相对比较好的学生来说，他们在同样的时间内可以学 习更多的内容，而由于教材内容少，因而会产生浪费时间的现象。我国教材的知识点多，对于智力较好的学生 来说，可以学到更多的内容，而对于学习有困难的学生来说，常常会觉得要求过高。从两国教材内容多少的比 较中，给我们的启示是：要加大我国教材的“弹性”，对于不同的学生，应该有不同层次的要求。
２．我国教材结构严谨，德国教材结构相对松散。
数学具有严密的逻辑性，因此，数学教材的编写常常要考虑数学知识本身的结构，从而让学生在学习数学 时，体会到数学的这种严密性。正因为如此，我国的数学教材在编写时，十分注重内容结构的严谨，常常用标 准的数学术语陈述数学内容，对概念常常给出完整的和相当严密的定义。相比之下，德国教材显得相对松散， 教材中出现的数学概念、命题大多采用描述性的语言，使用数学术语较少，例如，在１—４年级的教材中都没 有出现：加数、和；被减数、减数、差等数学术语。又如德国教材中的应用题没有单独列章节，也没有比较严 格地按计算步数多少来编排；我国教材中的应用题单独列章节，而且比较严格地按照一步、两步及多步复合应 用题的顺序呈现。再如，我国教材在学生系统学习小数的四则运算以前，要先学分数的初步认识，然后再从十 进分数转到小数，结构十分严谨；而德国教材在引进分数时，只说“像１．４、１２．８……这样的数叫小数 。小数点就是把马克和芬尼分开的小圆点。”然后就开始小数的运算。
我国教材的编写注意知识结构的严密性，这对培养学生的逻辑思维能力和建立较完整的知识体系是有利的 。但如果教材过份强调严密，时时都要考虑数学知识本身的结构，那就不利于在教材中适当加强或渗透现代数 学知识。德国的教材比较松散、通俗，容易被学生接受和掌握。从两国教材的结构比较中，给我们的启示是： 我们应该适当地破除原来的“严密”框架，不受“严密”的束缚，把一个公民必须具备的现代数学知识和思想 编写进小学数学教材中去。
３．德国教材重视知识的实际应用，我国教材重视知识的形式化操练。
（附图 {图}）
德国教材十分重视让学生运用学到的数学知识去认识周围世界，去解决实际问题。例如有关时间的计算， 教材中编写了许多实际生活中的问题，在课本里印有一张奥格斯堡火车总站在９∶００—１２∶００之间的真 实火车时刻表。时刻表中有这样一些信息：在９∶００—１２∶００这段时间里，从奥格斯堡火车总站发出的 各辆火车的车次、火车行驶方向、旅客上车的站台号、沿途停靠各站时间、到达终点站的时间等。根据这张时 刻表，要求学生解答类似于下面的一些问题：
①写出在９∶００—１２∶００这段时间中，从奥格斯堡发出的去下列方向的所有火车车次；
ａ）去慕尼黑； ｂ）去纽伦堡。
②在９∶００—１２∶００这段时间里，乘哪几次火车的旅客要从８号站台上车？
③卡塔琳小姐在９∶２０到达奥格斯堡火车总站，她想去慕尼黑，可以乘哪几次火车？最快的是哪一次？ 到达慕尼黑是几时？从奥格斯堡到慕尼黑要多少时间？
有关看火车时刻表的问题中，这套教材里出了１３个大题，２９个小题，几乎把日常生活中碰到的一些实 际问题都编进了教材。
德国教材中有关行程问题，一般先给学生一张火车的时速表，先要求学生读出速度值，再计算。我国教材 中有关时间问题的计算，一般让学生计算：上午９时到下午３时经过多少时间？有关行程问题，常让学生练习 “一列火车每小时行６０千米，行了９小时，共行多少路程”这样的形式化操练题。
笔者认为，教材重视知识的实际应用，是十分必要的，是培养学生具有良好的数学素质的重要途径。对数 学知识作适当的形式化操练，对于巩固基础知识，形成基本技能，提高实际应用能力是有益而无害的。但目前 我国有些教材过分注重形式化操练，而忽视了知识的实际应用，这是不足取的。德国教材中重视实际应用的做 法值得我们借鉴。
４．德国教材重视估算，我国教材估算内容相对较少。
在我们的日常生活中估算的次数常常比精确计算的次数多。因此，估算的掌握就显得很重要。德国教材无 论在计算、应用题、量的计量等方面的教学中都十分重视估算。例如，在计算教学中常出现以下类型的试题：
题目 估算 精确计算 验算
１７４×５０３
３８１４÷６１ 德国教材给出的应用题的解题步骤是：①仔细地读题；②在重要的词后的数下面划线 ；③画出草图；④写出解题计划；⑤估算；⑥精确计算；⑦比较估算和精确计算的结果；⑧再读一遍题目的问 题，作出答案。把估算作为解应用题的一个步骤，这也说明对估算教学的重视。
在量的计量教学中，德国教材不但要求学生估计长度、时间、重量、容积，而且要求估计商品的价格，例 如估计一辆自行车、一个书包的价格等。
我国教材通常在长度、时间、重量、容积等方面的教学中有估算的内容，但与德国教材相比，估算内容太 少。
我国教材注重精确计算，这对提高学生的计算能力有一定的好处。德国教材重视估算，能使学生从小具有 估算意识和较强的估算能力。从中给我们的启示是：估算能力是公民应具有的一种基本数学素质，我们的教材 应该适当增加这方面的内容。
二、教材编排体系的微观比较
这里的微观比较指的是对教材中的某一具体教学内容的编排以及具体的计算方法的比较。对于同一数学知 识，常常有不同的编排顺序，中德两国教材在以下几块四则计算内容的编排和计算方法中存在差异：
１．２０以内数的进位加法和退位减法。
我国教材在编排２０以内数的进位加法和退位减法时，采用的是加减混编或加减分编。在加减混编中，常 采用９加几和相应的减法，８加几和相应的减法……的顺序编写；或者按和是１１的加法和相应的减法，和是 １２的加法和相应的减法……的顺序编写。在加减分编中，总是先加后减，加法的编排顺序是９＋几、８＋几 、７＋几、６＋几。９＋几的加 《中德两国小学数学教材比较研究》
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