“数的整除性”美在何处？
数学家揭示了美的数学概念和逻辑结构，但是数学美却不象艺术美那样外显，它是美的高级形式，是理论 思维与审美意识交融的产物。对于学生来说，由于受年龄、知识水平、审美能力的限制，很难把数学中的美的 真正意蕴充分体味出来。为把数学的教学过程变为数学的审美过程，这就对教师提出了一个非常现实的问题： 必须深入发掘、精心提炼数学教材中的美育因素，要对教材进行一番分析概括和生动直观的整体性认识，使教 材内容成为教师脑海中非常直观浅显的东西，才能不失时机地引导学生去体会数学中内蕴的美的独特品质。为 此，本文针对小学五年级教材“数的整除”一章，具体剖析数学美的表现。
一、结构美：法国数学家庞加莱说：“数学的结构美是指一种内在的美，它来自各部分的和谐有序，并能 为纯粹的理智所领会，可以说正是这种内在美给了满足我们感官的五彩缤纷美景的骨架，……。”“数的整除 ”一章是《初等数论》中的一部分，为了照顾小学生的年龄特点，在教材中进行了简化处理，但其整体结构还 是非常完美的，如下图：
（附图 {图}）
由图看出：本章以倍数、约数为核心构建了知识的结构美。著名数学家华罗庚说，善于退，退到最原始的 而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。教师在教学中应把核心知识打牢，把用处最多的最大公约数、 最小公倍数练熟，在学生的头脑中形成完美的知识结构，这样就为学生学习后面的知识打了坚实的基础。
又如：将60分解质因数
（附图 {图}）
这种分解法，逐层展示60内部的结构美，层次清楚，操作方便，同时又显现出简洁美。
二、语言美：本章汉语言的叙述极其概括严密、简洁、有序，给读者以美的感受。如本章开头仅用108个字 就把自然数、0、整数的概念及“数的整除”所研究的数交代清楚，深入体味，这108个字就给人们以简洁、有 序的和谐美感。
我国古代常用形象的语言去描述概念，借助生动的比喻去理解题意。明代程大位在《算法统宗》里用四句 优美的诗来表达“韩信点兵”问题的解法，诗曰：
“三人同行七十稀，
五树梅花廿一枝，
七子团圆正半月，
除百零五便得知。”
这首优美的诗，把枯燥的数字，赋在人和美丽的梅花上；又把70与成语，15与月半，巧妙地联系在一起， 语言通俗生动，朗朗上口的韵律，既有音乐之美，又有记忆之效。反映了数学语言美的感染力。
数学符号系统是一种世界公认的特殊的数学语言。本章11处用圈代表韦恩图，借助韦恩图渗透集合思想， 并把运算过程扼要地表现出来，是语言美的精彩之处。古希腊毕达哥拉斯学派，把均衡与对称作为美的主要标 准，他们把圆或椭圆视为最完美的几何图形，因为它们的简单性、整齐性、对称性，给人以美感。因此，本章 用圈代表韦恩图也体现了数学形态美。
三、方法美：美的数学方法是指在解决复杂问题中，体现出来的美妙之处使心灵感到一种愉快的惊奇。本 章为了照顾小学生的年龄特点，均采用了由例子引出定义、由例子引出方法、由例子引出定理的观察法。在逻 辑方法上，叫不完全归纳法。这样符合学生的认识规律，使学生在具体、形象、生动的审美感受中，愉快地接 受了数学理论。教师要首先体味教材中的方法美，再适当补充些类似的例子，帮助、引导学生自己去归纳、总 结、发现其中的规律。提高学生学习数学的兴趣，使枯燥无味的数学教学变成生动活泼的审美过程。
例如：整除的定义、质数与合数、质因数、公约数、公倍数的定义，都是在充分观察例子的基础上，然后 给出定义。
在分析例子的基础上，归纳得出分解质因数的方法，求最大公约数的方法，求最小公倍数的方法。
尤其精彩的是：本章借助韦恩图，将自然数乘以2、5、3得到一个新的集合，渗透了集合、逆推、映射思想 ，设置了观察能被2、5、3整除的环境。这样既避免了繁琐的逻辑推理，又便于学生观察、归纳、总结出能被2 、5、3整除的数的特征，是一种很美妙的方法。请看：右边圈里的数，个位数有什么特征。
（附图 {图}）
图中的省略号，开启学生的想象力，体现有限与无限的统一美。
为了形象、直观地表示最大公约数、最小公倍数，本章借助韦恩图，用交集深刻地揭示了“公”的本质。 如：
（附图 {图}）
这既是一种方法美，又是一种形态美。
在数学史上，无论是一个新的数学分支的产生，还是具体给出一个概念的定义，都经历过一个积累经验材 料的时期。从大量观察、实验得来的材料发现其规律，总结出数学定理或新概念，这是数学研究工作中最初步 的然而又是最基本的工作。“数学王子”高斯说过，他的许多发现都是靠归纳法取得的。不完全归纳法虽然不 能作为严密的论证方法，但是它能使我们迅速发现一些数量关系的规律，为我们提供研究方向。素数分布论中 许多著名定理，如素数定理、贝特朗定理、狄里克雷定理等，都是先用不完全归纳法从经验概括出来成为猜想 ，然后再经过严格数学推导，设法给予证明的。当然还有的猜想至今未得到证明，如：
6=3+3， 8=3+5， 10=5+5， 12=5+7，
14=7+7， 16=3+13，18=5+13，20=7+13，
22=3+19，24=5+19，26=3+23，28=5+23，
……
由此归纳出可能有：凡是大于4的偶数都是二个奇素数之和，这就是著名的哥德巴赫猜想。这个猜想直到现 在还没有肯定的或否定的答案，我们认为肯定的可能性很大。这个问题现在最好的结果是：每一充分大的偶数 ，都是一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和。这是由著名数学家陈景润证明的。
这里需要指出：关于哥德巴赫猜想、费尔马大定理等世界著名难题是
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一、结构美：法国数学家庞加莱说：“数学的结构美是指一种内在的美，它来自各部分的和谐有序，并能 为纯粹的理智所领会，可以说正是这种内在美给了满足我们感官的五彩缤纷美景的骨架，……。”“数的整除 ”一章是《初等数论》中的一部分，为了照顾小学生的年龄特点，在教材中进行了简化处理，但其整体结构还 是非常完美的，如下图：
（附图 {图}）
由图看出：本章以倍数、约数为核心构建了知识的结构美。著名数学家华罗庚说，善于退，退到最原始的 而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。教师在教学中应把核心知识打牢，把用处最多的最大公约数、 最小公倍数练熟，在学生的头脑中形成完美的知识结构，这样就为学生学习后面的知识打了坚实的基础。
又如：将60分解质因数
（附图 {图}）
这种分解法，逐层展示60内部的结构美，层次清楚，操作方便，同时又显现出简洁美。
二、语言美：本章汉语言的叙述极其概括严密、简洁、有序，给读者以美的感受。如本章开头仅用108个字 就把自然数、0、整数的概念及“数的整除”所研究的数交代清楚，深入体味，这108个字就给人们以简洁、有 序的和谐美感。
我国古代常用形象的语言去描述概念，借助生动的比喻去理解题意。明代程大位在《算法统宗》里用四句 优美的诗来表达“韩信点兵”问题的解法，诗曰：
“三人同行七十稀，
五树梅花廿一枝，
七子团圆正半月，
除百零五便得知。”
这首优美的诗，把枯燥的数字，赋在人和美丽的梅花上；又把70与成语，15与月半，巧妙地联系在一起， 语言通俗生动，朗朗上口的韵律，既有音乐之美，又有记忆之效。反映了数学语言美的感染力。
数学符号系统是一种世界公认的特殊的数学语言。本章11处用圈代表韦恩图，借助韦恩图渗透集合思想， 并把运算过程扼要地表现出来，是语言美的精彩之处。古希腊毕达哥拉斯学派，把均衡与对称作为美的主要标 准，他们把圆或椭圆视为最完美的几何图形，因为它们的简单性、整齐性、对称性，给人以美感。因此，本章 用圈代表韦恩图也体现了数学形态美。
三、方法美：美的数学方法是指在解决复杂问题中，体现出来的美妙之处使心灵感到一种愉快的惊奇。本 章为了照顾小学生的年龄特点，均采用了由例子引出定义、由例子引出方法、由例子引出定理的观察法。在逻 辑方法上，叫不完全归纳法。这样符合学生的认识规律，使学生在具体、形象、生动的审美感受中，愉快地接 受了数学理论。教师要首先体味教材中的方法美，再适当补充些类似的例子，帮助、引导学生自己去归纳、总 结、发现其中的规律。提高学生学习数学的兴趣，使枯燥无味的数学教学变成生动活泼的审美过程。
例如：整除的定义、质数与合数、质因数、公约数、公倍数的定义，都是在充分观察例子的基础上，然后 给出定义。
在分析例子的基础上，归纳得出分解质因数的方法，求最大公约数的方法，求最小公倍数的方法。
尤其精彩的是：本章借助韦恩图，将自然数乘以2、5、3得到一个新的集合，渗透了集合、逆推、映射思想 ，设置了观察能被2、5、3整除的环境。这样既避免了繁琐的逻辑推理，又便于学生观察、归纳、总结出能被2 、5、3整除的数的特征，是一种很美妙的方法。请看：右边圈里的数，个位数有什么特征。
（附图 {图}）
图中的省略号，开启学生的想象力，体现有限与无限的统一美。
为了形象、直观地表示最大公约数、最小公倍数，本章借助韦恩图，用交集深刻地揭示了“公”的本质。 如：
（附图 {图}）
这既是一种方法美，又是一种形态美。
在数学史上，无论是一个新的数学分支的产生，还是具体给出一个概念的定义，都经历过一个积累经验材 料的时期。从大量观察、实验得来的材料发现其规律，总结出数学定理或新概念，这是数学研究工作中最初步 的然而又是最基本的工作。“数学王子”高斯说过，他的许多发现都是靠归纳法取得的。不完全归纳法虽然不 能作为严密的论证方法，但是它能使我们迅速发现一些数量关系的规律，为我们提供研究方向。素数分布论中 许多著名定理，如素数定理、贝特朗定理、狄里克雷定理等，都是先用不完全归纳法从经验概括出来成为猜想 ，然后再经过严格数学推导，设法给予证明的。当然还有的猜想至今未得到证明，如：
6=3+3， 8=3+5， 10=5+5， 12=5+7，
14=7+7， 16=3+13，18=5+13，20=7+13，
22=3+19，24=5+19，26=3+23，28=5+23，
……
由此归纳出可能有：凡是大于4的偶数都是二个奇素数之和，这就是著名的哥德巴赫猜想。这个猜想直到现 在还没有肯定的或否定的答案，我们认为肯定的可能性很大。这个问题现在最好的结果是：每一充分大的偶数 ，都是一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和。这是由著名数学家陈景润证明的。
这里需要指出：关于哥德巴赫猜想、费尔马大定理等世界著名难题是
不可能只用初等数论方法而得到证明 的。希望有志青年不要走入歧途。
《“数的整除性”美在何处？》
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