不能只凭想象

有些貌似简单，似乎不需要通过计算就能得出结论的问题，往往容易使你判断失误，造成错解。我们先看 例1。
    例1 有两块大小一样的正方形钢板，其中一块冲出4块大小一样的圆形钢片（如图1（甲）），另一块冲出 9块大小一样的圆形钢片（如图1（乙））。问哪一块钢板所剩的下脚料多？
    附图{图}
    乍一看，图1（甲）所剩的下脚料多一些，因为图1（甲）中的空隙大，而图1（乙）中，每个圆的面积小， 填补空隙的能力强， 留下的空隙小，似乎很有道理，其实不然。我们先解决一个简单的问题。 如图2，求正方 形内切圆的面积占该正方形面积的百分之几？
    a
    不妨设这个正方形的边长为a，则其内切圆的半径为──，
    2
    a
    3.14×（—）[2]
    2 1
    由────────────＝3.14×──＝78.5％，得正方形内
    a[2] 4
    切圆的面积占该正方形面积的78.5％。
    附图{图}
    现将图1中的（甲）（乙）两图添作辅助线，如图3所示：
    附图{图}
    令正方形钢板的面积为S，由上例立即得到，图3（甲）中每个圆形
    1 1
    钢片的面积为──S×78.5％，所剩下脚料的面积为S－──S×78.5％
    4 4
    1
    ×4＝21.5％S。同理，图3（乙）中每个圆形钢片的面积为──S×78.5
    9
    1
    ％， 所剩下脚料的面积为S－──S×78.5％×9＝21.5％S。综上所述，
    9两块钢板所剩的下脚料同样多。
    例2 如图4，两只同样大的硬币，其中一只固定，另一只沿其周边滚动（无滑动）。当滚动的一只硬币沿 固定的一只硬币周边滚过一圈回到原来的位置时，滚动的那个硬币转了几周？
    附图{图}
    对这个问题不仔细考虑，动币好像转了一周。但认真加以分析，问题并不那么简单。为了便于说明问题， 在动币圆周上取一点A（如图4），考察A转过的角度，每转过一个360°为一周。现将此运动分解成两种简单运 动。第一种运动，如图5（甲），动币的轴AB 的方向始终指向定币的圆心，B点在定币周边上滑动一周，此时， A转过360°； 第二种运动，如图5（乙），动币沿着与定币周长相等的一条线段滚动，A又转过了360°。这样 ，以上两种运动合起来，动币转了2周。本题，也可以用动币圆心轨迹的长除以动币的周长，求出动币转的周数 。以上结果，可通过动手操作，直接得到验证。
    附图{图}
    由此看出，对一些似乎能一眼看出答案的题目，不能只凭想象，还要通过分析、计算或实际操作，从而得 出正确的结论。现在，你一定能正确的判断出图6中从A到B 的两条路径（每段弧都是一个半圆）的长短，试试 看。

《不能只凭想象》