培养和提高小学生数学能力的实验研究

生对各种守恒基本上都能掌握，通过率在７５％－８４％之间，说明 小学一年级儿童已具有一定的学习准备性，可利用适当的教学内容与方法使这种准备性成为现实。
    ３、分类。学生对于有明确的分类标准的题目及单因素特征的题目掌握较好，训练前通过率分别是７６． ８％和７１．６％。经过训练后，同等难度的题目８０％以上的学生均能掌握，说明一年级学生部分与整体及 有关的概括能力在适宜的教学条件下可以得到一定发展。但对于自定分类标准和多因素特征分类的题目，学生 掌握得很差，训练前通过率仅为４．５％，大部分学生对这种类型的题目无从下手，有一部分学生只能按一种 标准进行分类。通过训练，同类型题目通过率上升为２４．４％，这说明小学一年级学生思维主要以直观思维 为主，自定标准分类要求学生有较强的独立工作能力，尤其多因素的分类，涉及到同时既是一种属性的全部， 又是另一种属性的一部分的部分与整体关系，这要求学生能理解全类中的一小类与全类的大小关系即解决分类 包含的问题，也要理解一事物具有几种属性和不同事物具有同一属性的逻辑关系，从多因素的分析中解决分类 问题。这种对数学材料的较高水平的概括不是一年级学生所能解决的。这个结果提醒我们，数学教学要适合儿 童的思维特点，不能单纯求快求难，超出儿童的认知发展水平。
    ４、数概念是集合数（基数）和顺序数（序数）两者的结合，学生要理解和运用数概念，需要在序列化的 集合中把握数的概念。一年级学生对序数已初步掌握，对单纯的序数题，通过率为８３％，对复杂一些的基、 序数混合题通过率仅为４８．３％。许多学生在回答这种类型的题目时，往往弄不清什么是基数，什么是序数 ，以致把题做错，说明学生对基、序数概念的掌握还不是很牢固。经过讲解、训练，大部分学生对这类题目都 能完成。但对运用基、序数知识解决实际问题的题目，完成得很差。如：“小朋友排成一队，从前面数林林排 第８名，从后面数林林排第７名，问这队小朋友共有多少人？”此题通过率仅为１４．１％，没有答对的学生 遇到此种类型的题目，往往将８与７进行相加，而没有考虑到序列的排列，将结果减１。而在做“小朋友排成 一队，林林前面有７个人，后有８个人，问这队小朋友共几人？”题目时，没有考虑到这是个基数问题，在计 算时结果忘记加１。这些结果说明，小学一年级只有少部分学生具有对基、序数关系的概括运用能力。
    ５、数概念形成的最重要标志是：能明确地把握住数群结构，自由地进行分解组合。小学一年级学生对１ ０以内数的分解组合已经基本掌握，对于与书上形式一样的题目，通过率可达９５．７％，但他们使用数的分 解组合的知识解决实际问题的能力却很差，如“有１２个小朋友排成两队，如果一队有１人，那么另一队有１ １人，想一想，这些小朋友共有几种排法？”
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    如果一队有→１……………………
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    那么别一队有→１１……………………
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    这道题的通过率只有５．１％，说明小学一年级学生对数概念的理解深度和概括化程度还很低，对于那些 需要重新组织自己的已有知识经验，具有较大的思维灵活性和创造性的题目，还不能顺利解决，经训练后通过 率则上升为３７．８％。这个结果说明，只要我们抓住数概念的基本内容，在教学中注意与实际问题相结合， 引导学生运用已有知识，他们的成绩会有显著的进步。
    ６、对数量关系及其它数学材料的概括与推理能力，是数学能力结构中起主导作用的因素，也是学生掌握 和运用数概念所必需具备的最基本的能力。从训练中我们可以看到，小学一年级学生对具体事物的概括以及数 列间异同的概括能力较好，通过率在８０％以上，说明大部分同学已具有一定的概括能力。
    推理题目类型有形象的图形推理、抽象的文字推理以及数列推理，通过训练发现，小学一年级学生总体来 讲，推理能力较差，而相对这三种形式的推理情况来看，形象的图形推理最好，数列推理次之，文字推理最差 。如：
    （附图 {图}）
    通过图形表示出来，通过率为３５．９４％，而相似的题目用文字表示出来，通过率仅为１９．１％，这 说明直观形象的推理早于抽象的推理。

    ７、对空间关系的知觉能力，也是数学能力的主要因素之一。学生们对一维（线段图）、二维（平面图） 空间的题目回答较好，对于三维空间题目回答较差，如：
    有２０％的学生能正确回答出１０块，说明这部分学生已基本具有一定的“体”的概念，有立体空间表象 ，能够从三维空间角度来辩别当前对象，而大部分学生只是试图从三维空间角度来识别对象，他们的空间表象 还受当前视野范围内所见到的“面”的限制，不能发现图中被完全遮蔽的３块立方，所以他们大都回答为７块 ，有的学生甚至把“面”当“体”，不区分维度，回答为１７块。这说明刚入学的儿童仍明显地保留着幼儿阶 段的三维空间的知觉特点。
    六、对教学工作的建议
    通过以上的数学训练实验，我们对刚入学的小学一年级学生的数学能力的发展水平有一个初步认识，对此 我们也得到一些启示，这可以作为数学教学中的参考：
    （附图 {图}）
    １、数学能力结构诸因素的发展客观上存在不平衡性，数学能力的培养及数学教学应遵循儿童心理发展中 所存在的这种客观性。总的讲，小学时期儿童数学能力不断地发生变化，不断地提高水平，这是儿童发展的一 般趋势，但具体到数学能力各因素的时候，这个一般趋势又表现出很大的不平衡，这在小学一年级学生数学能 力发展中就显著地体现出来了。如：对应关系、守恒、分类整理（子集与全集的关系）以及单纯序列等经过一 定的训练，学生成绩提高很快。而可逆运算、函数思考、对数字和数学材料的概括能力以及空间想象力等，即 使经过多次训练，学生成绩提高也很困难，这说明数学能力结构各因素的发展是不同步的。我们的教学必须针 对学生必理发展特点进行，一切落后或逾越儿童心理发展水平的教学都将获益甚微，事倍功半，甚至会阻碍学 生智力的发展。
    ２、迁移和培养。从训练来看，凡能将课堂所掌握的知识、运算技能迁移到同类的以不同形式出现的题目 上去，成绩就高，反之就低。由此可见，培养学生迁移能力是至关重要的。培养学生迁移能力，首先要注意使 学生牢固地掌握数学的基本知识和技能，这是迁移的前提与基础。其次要努力提高学生对数学问题的分析、概 括能力，这是迁移的关键。迁移从本质上讲就是概括，学生之所以能解决新的数学问题，就是因为学生能把当 前遇到的新课题纳入到已有的相应数学知识结构中，并从中找到与新课题的共同点，发现新课题的本质，从而 提取出原有的知识去解决当前的具体问题。所以，发展学生的分析、概括能力是迁移的关键，如果从低年级就 开始注意这个问题，那么在六年的学习中，学习的数学能力会有一个长足的发展。
    ３、了解学生的“最近发展区”，促进数学能力的发展。教学应走在发展的前面，而不应落在发展的后面 。维果茨基把儿童发展划分为两个水平：第一种水平是儿童现有发展水平，表现为儿童能独立地解决问题，独 立地学得知识；第二种水平是儿童尚处在形成状态，在发展过程中，表现为儿童还不能独立地解决问题，独立 地获得知识，需要成人的帮助，这就是儿童的“最近发展区”。教育者应着眼于儿童的“最近发展区”。“最 近发展区”决定着教学的可能性和教学的最高阈限，所以，了解教学对象的总体“最近发展区”及每个学生的 “最近发展区”，使我们的教学走在发展的前面，那么，学生的数学能力将会得到最充分的发展，这也是我们 进行数学能力训练的目的。
    （曹启刚、苗学宜老师对于我们的实验研究给予了许多具体指导，杜玉凤、龚容老师在统计上做了大量工 作，同时也得到范西路小学领导及老师们的支持与合作，在此我们一并致谢）

《培养和提高小学生数学能力的实验研究》