对一道思考题及其“答案”的思考
人教版小学实验课本《数学》第六册第１４４页有这样一道思考题：
“在钉子板上围图形。通过３个钉子可围几种不同的形状？通过４个钉子可以围几种不同的形状？”
（附图 {图}）
对这道题，“教参”（人教版《小学数学第六册教师教学用书》）给的答案（下称“参考答案”）是：
“通过３个钉子：三角形（直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。其中可能有等腰三角形，但不可能围 出等边三角形。）
通过４个钉子：四边形（一般四边形、正方形、长方形、平行四边形等。）
以上每种图形，由于大小不同，可能会有很多，只要学生围出即可。”
下面谈一谈，笔者对上述思考题及参考答案的几点思考。
思考一 参考答案对不对？
笔者认为，参考答案是有毛病的。因为：第一，小学三年级学生还没有学习“直（锐、钝）角三角形”和 “等腰（等边）三角形”等概念（这些概念是四年级的学习内容）。因此他们是看不懂上述参考答案的。第二 、参考答案对“不同的形状”的含义有曲解之嫌。我们知道，形状相同（或不同）的图形一般是指相似（或不 相似）的图形，因此，对思考题所提“可以围几种不同的形状”的问题，就应该理解为“可以围几种不相似的 图形”。而不应该理解为“可以围几种不同类别的图形”（因为同类别的图形不一定同形状。例如，图１中的 ３个三角形是同属“钝角三角形”这一类图形的，但却不相似即不同形状）。容易看出，参考答案就是这后一 种理解的产物，这样的答案是难以令人置信的。第三、对思考题所提“可以围几种不同的形状”的问题，理当 以确切的数据给予回答，但参考答案最后却以“可能会有很多”一言以蔽之，这也是不妥的。
思考二 不同形状知多少？
前述思考题是一个颇为复杂的问题。下面我们来看，通过３个钉子可以围几种不同形状即不相似的三角形 。
为叙述方便，我们把钉子板上的钉子记为点Ａ［，ｉｊ］（下标ｉ和ｊ分别为行序号和列序号，ｉ＝１， ２，…６，ｊ＝１，２，…，６。如点Ａ［，３２］即表示位于第三行第二列的那个钉子），并把同行（列） 相邻两点间距离设为“１”。
可以看出，所围三角形可分为下列几类：
（Ⅰ）短边长为１的三角形
（附图 {图}）
这类三角形为数甚多是显然的。我们关心的是：它们共有几种不同的形状？这可以通过寻找“代表”（每 一种形状找一个三角形充当“代表”）的途径来解决。这个寻找“代表”的工作是一项十分细致且设计性很强 的工作（要保证所寻“代表”不漏不重）。此处，我们可以取以线段Ａ［，１１］Ａ［，２１］为边、图２中 的任一加圈点“⊙”为顶点的三角形为“代表”。容易看出，这样的代表共有１０个，它们是互不相似即形状 互不相同的。并且，在短边长为１的这一类三角形中，已不再存在形状不同于这１０个“代表”的其它三角形 了。由此可知，这类三角形共有１０种不同的形状。
（附图 {图}）
在这类三角形中，不同形状的“代表”一共也能找到１０个（以线段Ａ［，２１］Ａ［，１２］为边、图 ３中任一加圈点“⊙”为顶点的三角形以及△Ａ［，２２］Ａ［，４１］Ａ［，１３］、△Ａ［，２２］Ａ［ ，６１］Ａ［，１３］、△Ａ［，２３］Ａ［，５１］Ａ［，１４］、△Ａ［，２４］Ａ［，６１］Ａ［，１ ５］）。因此，这类三角形也有１０种不同的形状。
（附图 {图}）
在这类三角形中，不同形状的“代表”一共有１２个（以线段Ａ［，２１］Ａ［，１３］为边、图４中任 一加圈点“⊙”为顶点的三角形以及△Ａ［，１４］Ａ［，２２］Ａ［，５１］、△Ａ［，１４］Ａ［，２２ ］Ａ［，６１］、△Ａ［，１６］Ａ［，３１］Ａ［，２４］、△Ａ［，２４］Ａ［，４１］Ａ［，１６］） 。因此，这类三角形共有１２种不同的形状。
（附图 {图}）
在这类三角形中，不同形状的“代表”一共有７个（以线段Ａ［，２１］Ａ［，１４］为边、图５中任一 加圈点“⊙”为顶点的三角形以及△Ａ［，１５］Ａ［，２２］Ａ［，６１］、△Ａ［，１６］Ａ［，２３］ Ａ［，５１］）。因此，这类三角形共有７种不同的形状。
（附图 {图}）
在这类三角形中，不同形状的“代表”一共有３个（以线段）Ａ［，３１］Ａ［，１４］为边、图６中任 一加圈点“⊙”为顶点的三角形）。因此，这类三角形共３种不同的形状。
（附图 {图}）
在这类三角形中，不同形状的“代表”一共也有３个（以线段Ａ［，２１］Ａ［，１５］为边、图７中任 一加圈点“⊙”为顶点的三角形）。
（Ⅶ）短边长为５的三角形
（附图 {图}）
这类三角形只有一种形状，图８中的三角形是它们的“代表”。
容易看出，通过３个钉子的三角形只有上述七类。在这七类三角形中，我们一共找到了（１０＋１０＋１ ２＋７＋３＋３＋１）即４６个“代表”。现在的问题是：在这４６个代表中，尽管“同类代表”（产生于上 述某一类三角形中的代表）的形状是互异的，但那些“不同类代表”（产生于上述某几类三角形中的代表）的 形状是否互异呢？细细审察可以发现：上述（Ⅲ）中的代表△Ａ［，１３］Ａ［，２１］Ａ［，４２］、△Ａ ［，１４］Ａ［，２２］Ａ［，５１］分别与（Ⅰ）中的代表△Ａ［，１１］Ａ［，２１］Ａ［，２２］、△ Ａ［，１１］Ａ［，２１］Ａ［，３２］相似；（Ⅴ）中的代表△Ａ［，１１］Ａ［，３１］Ａ［，６３］和 （Ⅵ）中的代表△Ａ［，１５］Ａ［，２１］Ａ［，６２］均与（Ⅰ）中的代表△Ａ［，１１］Ａ［，２１］ Ａ［，２２］相似。因此，就上述七类三角形之总
至此即知，通过３个钉子一共可以围４２种不同形状的三角形。
通过４个钉子围图形，情况会更复杂一些，此处就不细述了。
思考三 如何处置这道题
由上述讨论显而易见，将前述思考题编排在小学三年级课本中是绝对不合适的。那么，这道题究竟如何处 置为宜呢？笔者觉得，下列几点意见是值得考虑的。
（１）保持原题的文字部分，而将示意图中的点由３６个改变为９个（三行三列）。将这一改编题仍旧放 在前述课本的第１４４页作思考题；
（２）不改变示意图，而将原题所提问题改变为“通过３（或４）个钉子可以围出哪几类三角（或四边） 形？”将这一改编题放在四年级第七册课本“练习四十一”的末尾（此时，学生刚好学习了“三角形的分类” 、一般四边形和几种特殊四边形等内容）作思考题为宜；
（３）不改变示意图，将原题中“不同的形状”之文字改变为“互不相似的图形”之文字，这一改编题（ 实为原题，文字上的一点变动旨在使题意明朗而避免争议）只能编排到某些中学（甚至大学）课外读物上去才 算适宜。
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“在钉子板上围图形。通过３个钉子可围几种不同的形状？通过４个钉子可以围几种不同的形状？”
（附图 {图}）
对这道题，“教参”（人教版《小学数学第六册教师教学用书》）给的答案（下称“参考答案”）是：
“通过３个钉子：三角形（直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。其中可能有等腰三角形，但不可能围 出等边三角形。）
通过４个钉子：四边形（一般四边形、正方形、长方形、平行四边形等。）
以上每种图形，由于大小不同，可能会有很多，只要学生围出即可。”
下面谈一谈，笔者对上述思考题及参考答案的几点思考。
思考一 参考答案对不对？
笔者认为，参考答案是有毛病的。因为：第一，小学三年级学生还没有学习“直（锐、钝）角三角形”和 “等腰（等边）三角形”等概念（这些概念是四年级的学习内容）。因此他们是看不懂上述参考答案的。第二 、参考答案对“不同的形状”的含义有曲解之嫌。我们知道，形状相同（或不同）的图形一般是指相似（或不 相似）的图形，因此，对思考题所提“可以围几种不同的形状”的问题，就应该理解为“可以围几种不相似的 图形”。而不应该理解为“可以围几种不同类别的图形”（因为同类别的图形不一定同形状。例如，图１中的 ３个三角形是同属“钝角三角形”这一类图形的，但却不相似即不同形状）。容易看出，参考答案就是这后一 种理解的产物，这样的答案是难以令人置信的。第三、对思考题所提“可以围几种不同的形状”的问题，理当 以确切的数据给予回答，但参考答案最后却以“可能会有很多”一言以蔽之，这也是不妥的。
思考二 不同形状知多少？
前述思考题是一个颇为复杂的问题。下面我们来看，通过３个钉子可以围几种不同形状即不相似的三角形 。
为叙述方便，我们把钉子板上的钉子记为点Ａ［，ｉｊ］（下标ｉ和ｊ分别为行序号和列序号，ｉ＝１， ２，…６，ｊ＝１，２，…，６。如点Ａ［，３２］即表示位于第三行第二列的那个钉子），并把同行（列） 相邻两点间距离设为“１”。
可以看出，所围三角形可分为下列几类：
（Ⅰ）短边长为１的三角形
（附图 {图}）
这类三角形为数甚多是显然的。我们关心的是：它们共有几种不同的形状？这可以通过寻找“代表”（每 一种形状找一个三角形充当“代表”）的途径来解决。这个寻找“代表”的工作是一项十分细致且设计性很强 的工作（要保证所寻“代表”不漏不重）。此处，我们可以取以线段Ａ［，１１］Ａ［，２１］为边、图２中 的任一加圈点“⊙”为顶点的三角形为“代表”。容易看出，这样的代表共有１０个，它们是互不相似即形状 互不相同的。并且，在短边长为１的这一类三角形中，已不再存在形状不同于这１０个“代表”的其它三角形 了。由此可知，这类三角形共有１０种不同的形状。
（附图 {图}）
在这类三角形中，不同形状的“代表”一共也能找到１０个（以线段Ａ［，２１］Ａ［，１２］为边、图 ３中任一加圈点“⊙”为顶点的三角形以及△Ａ［，２２］Ａ［，４１］Ａ［，１３］、△Ａ［，２２］Ａ［ ，６１］Ａ［，１３］、△Ａ［，２３］Ａ［，５１］Ａ［，１４］、△Ａ［，２４］Ａ［，６１］Ａ［，１ ５］）。因此，这类三角形也有１０种不同的形状。
（附图 {图}）
在这类三角形中，不同形状的“代表”一共有１２个（以线段Ａ［，２１］Ａ［，１３］为边、图４中任 一加圈点“⊙”为顶点的三角形以及△Ａ［，１４］Ａ［，２２］Ａ［，５１］、△Ａ［，１４］Ａ［，２２ ］Ａ［，６１］、△Ａ［，１６］Ａ［，３１］Ａ［，２４］、△Ａ［，２４］Ａ［，４１］Ａ［，１６］） 。因此，这类三角形共有１２种不同的形状。
（附图 {图}）
在这类三角形中，不同形状的“代表”一共有７个（以线段Ａ［，２１］Ａ［，１４］为边、图５中任一 加圈点“⊙”为顶点的三角形以及△Ａ［，１５］Ａ［，２２］Ａ［，６１］、△Ａ［，１６］Ａ［，２３］ Ａ［，５１］）。因此，这类三角形共有７种不同的形状。
（附图 {图}）
在这类三角形中，不同形状的“代表”一共有３个（以线段）Ａ［，３１］Ａ［，１４］为边、图６中任 一加圈点“⊙”为顶点的三角形）。因此，这类三角形共３种不同的形状。
（附图 {图}）
在这类三角形中，不同形状的“代表”一共也有３个（以线段Ａ［，２１］Ａ［，１５］为边、图７中任 一加圈点“⊙”为顶点的三角形）。
（Ⅶ）短边长为５的三角形
（附图 {图}）
这类三角形只有一种形状，图８中的三角形是它们的“代表”。
容易看出，通过３个钉子的三角形只有上述七类。在这七类三角形中，我们一共找到了（１０＋１０＋１ ２＋７＋３＋３＋１）即４６个“代表”。现在的问题是：在这４６个代表中，尽管“同类代表”（产生于上 述某一类三角形中的代表）的形状是互异的，但那些“不同类代表”（产生于上述某几类三角形中的代表）的 形状是否互异呢？细细审察可以发现：上述（Ⅲ）中的代表△Ａ［，１３］Ａ［，２１］Ａ［，４２］、△Ａ ［，１４］Ａ［，２２］Ａ［，５１］分别与（Ⅰ）中的代表△Ａ［，１１］Ａ［，２１］Ａ［，２２］、△ Ａ［，１１］Ａ［，２１］Ａ［，３２］相似；（Ⅴ）中的代表△Ａ［，１１］Ａ［，３１］Ａ［，６３］和 （Ⅵ）中的代表△Ａ［，１５］Ａ［，２１］Ａ［，６２］均与（Ⅰ）中的代表△Ａ［，１１］Ａ［，２１］ Ａ［，２２］相似。因此，就上述七类三角形之总
体而言，不同形状的代表应该是（４６—４）即４２个。
至此即知，通过３个钉子一共可以围４２种不同形状的三角形。
通过４个钉子围图形，情况会更复杂一些，此处就不细述了。
思考三 如何处置这道题
由上述讨论显而易见，将前述思考题编排在小学三年级课本中是绝对不合适的。那么，这道题究竟如何处 置为宜呢？笔者觉得，下列几点意见是值得考虑的。
（１）保持原题的文字部分，而将示意图中的点由３６个改变为９个（三行三列）。将这一改编题仍旧放 在前述课本的第１４４页作思考题；
（２）不改变示意图，而将原题所提问题改变为“通过３（或４）个钉子可以围出哪几类三角（或四边） 形？”将这一改编题放在四年级第七册课本“练习四十一”的末尾（此时，学生刚好学习了“三角形的分类” 、一般四边形和几种特殊四边形等内容）作思考题为宜；
（３）不改变示意图，将原题中“不同的形状”之文字改变为“互不相似的图形”之文字，这一改编题（ 实为原题，文字上的一点变动旨在使题意明朗而避免争议）只能编排到某些中学（甚至大学）课外读物上去才 算适宜。
《对一道思考题及其“答案”的思考》
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