物理极值问题的求解方法2

物理极值问题的求解方法2

三、用一元二次方程判别式求解极值问题
   在中学代数中曾学过，对于一个一元二次方程，当它的判别式B²-4AC≥0时，此方程有实数解。若我们在解物理习题时能选择适当的物理量作为未知量。使其成为一个一元二次方程，巧妙地利用判别式可解决极值问题。

例1.一个质量为m的电子与一个静止的质量为M的原子发生正碰，碰后原子获得一定速度，并有一定的能量E被贮存在这个原子内部。求电子必须具有的最小初动能是多少？
分析与解：设电子碰前的速度为υ₁，碰后的速度为，静止的原子被碰后的速度为。
    由动量守恒定律有 (1)
    由能量守恒有 (2)
    在以上两个方程中，有三个未知数，υ₁、、，一般的同学认为少一个方程，难以求解。但由（1）式解出代入（2）
    可得：
    进一步整理可得：(M+m)m-2m²υ₁+(m-M)mυ₁²+2ME=0
    此式是关于的一元二次方程，因电子碰后的速度必为实数，所以此方程的判别式B²-4AC≥0 即
    4m⁴-4(M+m)m[(m-M)m+2ME]≥0
    根据上式整理可得：
    所以电子必须具有的最小的初动能是

例2.如图2-1所示，顶角为2θ的光滑圆锥，置于磁感应强度大小为B，方向竖直向下的匀强磁场中，现有一个质量为m，带电量为+q的小球，沿圆锥面在水平面作匀速圆周运动，求小球作圆周运动的轨道半径。
分析与解：小球在运动时将受重力mg，圆锥面对球的弹力N，及洛仑兹力f的作用，如图2-2所示。设小球作匀速圆周运动的轨道半径为R，速率为υ。

    由正交分解可得
    联立（1）、（2）试可得
    上式有υ、R两个未知量，似乎不可解，但因为是求极值问题，可用一元二次方程判别式求解。因为υ有实数解，由B²-4AC≥0
    即
    ∴小球作圆周运动的最小半径为

例3.在掷铅球的运动中，如果铅球出手时距地面的高度为h，速度为υ₀，求υ₀与水平方向成何角度时，水平射程最远？并求此最大的水平射程X_max。
分析与解：以出手点为坐标原点，可分别列出水平方向与竖直方向的位移方程。
   
    上式为关于tgθ的一元二次方程。若tgθ存在实数解，则判别式B²-4AC≥0
    即
    解出结果后，我们可联系实际进行如下验证。设出手高度h=0,
    则
    θ=45°。这就是我们过去曾经知道的一个物体做斜抛运动，当θ=45°时其射程最远。