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物理极值问题的求解方法2


物理极值问题的求解方法2

三、用一元二次方程判别式求解极值问题
   在中学代数中曾学过,对于一个一元二次方程,当它的判别式B2-4AC≥0时,此方程有实数解。若我们在解物理习题时能选择适当的物理量作为未知量。使其成为一个一元二次方程,巧妙地利用判别式可解决极值问题。

例1.一个质量为m的电子与一个静止的质量为M的原子发生正碰,碰后原子获得一定速度,并有一定的能量E被贮存在这个原子内部。求电子必须具有的最小初动能是多少?
分析与解:设电子碰前的速度为υ1,碰后的速度为,静止的原子被碰后的速度为。
    由动量守恒定律有 (1)
    由能量守恒有 (2)
    在以上两个方程中,有三个未知数,υ1、、,一般的同学认为少一个方程,难以求解。但由(1)式解出代入(2)
    可得:
    进一步整理可得:(M+m)m-2m2υ1+(m-M)mυ12+2ME=0
    此式是关于的一元二次方程,因电子碰后的速度必为实数,所以此方程的判别式B2-4AC≥0 即
    4m4-4(M+m)m[(m-M)m+2ME]≥0
    根据上式整理可得:
    所以电子必须具有的最小的初动能是

例2.如图2-1所示,顶角为2θ的光滑圆锥,置于磁感应强度大小为B,方向竖直向下的匀强磁场中,现有一个质量为m,带电量为+q的小球,沿圆锥面在水平面作匀速圆周运动,求小球作圆周运动的轨道半径。
分析与解:小球在运动时将受重力mg,圆锥面对球的弹力N,及洛仑兹力f的作用,如图2-2所示。设小球作匀速圆周运动的轨道半径为R,速率为υ。

  

    由正交分解可得
    联立(1)、(2)试可得
    上式有υ、R两个未知量,似乎不可解,但因为是求极值问题,可用一元二次方程判别式求解。因为υ有实数解,由B2-4AC≥0
    即
    ∴小球作圆周运动的最小半径为

例3.在掷铅球的运动中,如果铅球出手时距地面的高度为h,速度为υ0,求υ0与水平方向成何角度时,水平射程最远?并求此最大的水平射程Xmax
分析与解:以出手点为坐标原点,可分别列出水平方向与竖直方向的位移方程。
   
    上式为关于tgθ的一元二次方程。若tgθ存在实数解,则判别式B2-4AC≥0
    即
    解出结果后,我们可联系实际进行如下验证。设出手高度h=0,
    则
    θ=45°。这就是我们过去曾经知道的一个物体做斜抛运动,当θ=45°时其射程最远。


《物理极值问题的求解方法2》
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