对教材与教学思路的思考
——初探分数应用题教学导向
（福建省松溪县教师进修学校 杨光炳）
建国以来，小学数学教材的沿革大致可以分为四个主要阶段。第一阶段，１９６３年前后的小学数学教材 是《算术》；第二阶段，１９７８年以前使用省编四年制或五年制《算术》教材；第三阶段，１９７９年秋至 １９９３年春使用人教社五年制或六年制《数学》教材；１９９３年秋季从一年级开始，用九年义务教材逐年 置换原通用教材。
下面从这四个阶段教材的编写意图出发，初步思考分数应用题的教学思路和解题思路，求教同仁。
一 、归类讲解 模式解题
前两个阶段小学算术的分数应用题分成两部分：一部分应用题，已知数是分数，但数量关系和解题方法都 与整数小数应用题相同，不需要作为新的知识来教。如分数加减应用题，没有列入分数应用题的范围；另一部 分应用题是由于分数乘法意义扩展而新出现的分数乘除应用题。《算术》教材把这部分应用题分成“求一个数 是另一个数的几分之几，用除法；求一个数的几分之几是多少，用乘法；已知一个数的几分之几是多少，求原 数，用除法。”三种类型。旧教参还把第三种分数应用题又分为母子和与母子差两小类。《算术》教材各种类 型分数应用题采用归类讲解，算术方法解题。算术解一般都是根据数量间的相互关系，把已知的数量集中在一 个算式里，用已知的数量推算出未知的数量。因此，算术一般不易直接反映题中的数量关系，数量关系越复杂 ，分析的难度越高。算术方法解应用题对中差生学习有困难，不利于大面积提高教学质量。
七十年代《算术》教材比六十年代有了改进，虽然开始重视思维过程，但是还是属于模式解题范畴。“以 谁为标准，把谁看作单位‘１’（即标准量），与单位“１”相比较的量是比较量，其关系式：比较量／标准 量＝分率。”
如，１９７７年１２月第一次出版的省编第８册《算术》例３“光明灯泡厂计划今年第一季度生产６０瓦 的灯泡４００００只，头两个月已经生产了３５０００只，完成了季度计划的几分之几？”
这样想：求头两个月完成了季度计划的几分之几，就是以季度计划数４００００只作标准，拿头两个月已 经生产的３５０００只与它相比，用分数表示：３５０００（比较量）／４００００（标准量）＝７／８（分 率）。
这阶段教学，先让学生构建起思维基本模式，然后运用算术解题模式各部分间的关系解三种类型的应用题 。要求学生运用基本模式同化各种类型具体知识过程中，强化、巩固（标准量×分率＝比较量；比较量÷分率 ＝标准量。）模式。单调机械模式，枯燥重复的计算在特定条件下虽然有它的一定意义和作用。就训练学生思 维的敏捷性和灵活性方面有它的局限性。
二、运用图示 引导思路
第三阶段《数学》是算术与代数交融一体的过渡性教材，它是研究现实世界空间形式和数量关系的科学， 用代数的普遍规则对算术知识进行整理，使算术与代数互相渗透。这阶段的应用题，主要是借助各种图形的帮 助来解答应用题，运用图示把应用题的内容具体化、形象化，给人以鲜明直观的形象，起着思考导向作用。图 示法不仅可以帮助学生理解题意，分析数量间的关系，而且还可以帮助学生构建数量关系，诱导启发思维，寻 找解题途径。图示要注意：图形规范、完整，文字简洁。
如，１９７９年６月第一次出版的第９册省编数学例３“某县修筑一条通往山区的公路，已经修了３／４ ，还剩６公里没有修。这条公路有多长？把全长看作“１”，已经修了３／４，还剩下（１－３／４）。也就 是全长的（１－３／４）是６公里，所以求全长应是６公里÷（１－３／４）。
（附图 {图}）
又如，１９８３年１０月第一次印刷的人教版第９册数学例３“某工厂４月份烧煤１２０吨，比原计划节 约了１／９。４月份烧煤多少吨？”
（附图 {图}）
把原计划烧煤的吨数看作“１”，实际烧煤的吨数就相当于原计划的（１－１／９）。
三、编排题组 结构合理
第四阶段小学数学新教材，在结构上与算术融汇贯通，用代数思维的普通规则指导算术学习。一方面使抽 象的代数知识变得浅显；另一方面使算术的教学内容大大缩减，加快了教学，同时也加速了学生抽象思维的发 展。如新教材教１＋２＝３时，同时引出与此相连的另外三道算式：２＋１＝３，３－１＝２，３－２＝１。 这四道算式间转换关系生动形象地表示了加减互逆规律（即加法交换律、减数与差之间互换规律），也体现了 代数运算中的普遍规则。教材适当渗透了数学思想和方法，让学生掌握算式间的互逆、互换、转换关系，使学 生在接触具体算术知识时，能较完整地把握知识的总体结构及内在联系。
新教材应用题的编排是根据数学知识的内在联系，学生的年龄特征和认识规律，循序渐进，螺旋上升，逐 步提高要求。应用题的情节和数量关系不脱离学生的生活实际和学生所能了解的工农业生产实际。把基本数量 关系相似，解题思路相近的放在一起，适当以题组形式出现。使教材结构更为科学、合理，较好地体现新大纲 的精神。
如，第５册《两步计算的应用题》分成三个题组：（１）求比两个数的和多（少）几的数两步应用题例１ 和比较两数差与倍数关系的复合应用题例２为一个题组，其特点是先求和（差）；（２）已知两数相差多少（ 或倍数关系）与其中一数，求两数的和（差）例３为另一个题组，其特点在于找出隐藏的中间问题；（３）已 知两数之和与其中一数，求两数相差多少或倍数关系的应用题例４为第三个题组，其特点是两个已知条件两步 计算的应用题，其中一个条件要用两次。
新教材改进了原通用教材的编排顺序，对教学内容作了适当调整，应用题不按题目的类型分类，不给学生 概括题目类型的结构特征和解题公式，不出典型应用题的名称，而是采取题组形式，通过一题多变（在基本数 量关系相似和解题思路相近的情况下，适当改变题目中的条件和问题），引导学生把精力放在认真审题和数量 关系的分析上。
四、依“纲”靠“本” 方程解题
从１９８７年的《全日制十年制小学数学教学
１．早日强化列方程解答应用题的教学，是执行新大纲，靠拢新教材的体现。在小学最后阶段，大纲要求 ：进一步提高用方程解应用题的能力。会有条理地说明解题思路。经过调整的原通用教材从第１０册简易方程 起，逆向思考的文字题，应用题采用列方程解题的编排符合新大纲精神。第１０册１０７页明确指出“下面各 题（总复习２６—３６题），便于用方程解的，就用方程解。、其中有１０道题用方程较容易。从立足于列方 程解应用题的角度看，新教材从第７册开始学习列含有未知数Ｘ的等式解答一步计算的文字题和应用题，介绍 新的解题方法。通过教学早日渗透等量思想，为逐渐过渡到列方程解题为主打好基础，使算术解题方法与方程 解题方法有机地联系起来，而不是截然分割，各成一个系列。从高年级应用题的解题方法看，绝大部分学生编 重于用算术方法解题，注明方程解的题目有的学生还用算术解，学生不适应、不习惯列方程解题与教师忽视列 方程解题教学分不开。如果不早日转变传统的教学观念，调整教学思路，强化列方程解应用题的教学，大面积 提高教学质量是一句空话。
２．加强教材研究，克服教材负迁移的影响，是正确处理教材的关键。由于教者对第１１册教材２９页、 ５０页中“注意：学生在解题时，如果不列方程，根据除法的意义直接用除法算式计算，也是可以的。”理解 片面，导致对教材例题编排意图产生偏差，造成处理教材失误。如第１１册的例题（一个数除以分数例４，带 分数除法例２，文字题 《对教材与教学思路的思考》
本文链接地址：http://www.oyaya.net/fanwen/view/57811.html
（福建省松溪县教师进修学校 杨光炳）
建国以来，小学数学教材的沿革大致可以分为四个主要阶段。第一阶段，１９６３年前后的小学数学教材 是《算术》；第二阶段，１９７８年以前使用省编四年制或五年制《算术》教材；第三阶段，１９７９年秋至 １９９３年春使用人教社五年制或六年制《数学》教材；１９９３年秋季从一年级开始，用九年义务教材逐年 置换原通用教材。
下面从这四个阶段教材的编写意图出发，初步思考分数应用题的教学思路和解题思路，求教同仁。
一 、归类讲解 模式解题
前两个阶段小学算术的分数应用题分成两部分：一部分应用题，已知数是分数，但数量关系和解题方法都 与整数小数应用题相同，不需要作为新的知识来教。如分数加减应用题，没有列入分数应用题的范围；另一部 分应用题是由于分数乘法意义扩展而新出现的分数乘除应用题。《算术》教材把这部分应用题分成“求一个数 是另一个数的几分之几，用除法；求一个数的几分之几是多少，用乘法；已知一个数的几分之几是多少，求原 数，用除法。”三种类型。旧教参还把第三种分数应用题又分为母子和与母子差两小类。《算术》教材各种类 型分数应用题采用归类讲解，算术方法解题。算术解一般都是根据数量间的相互关系，把已知的数量集中在一 个算式里，用已知的数量推算出未知的数量。因此，算术一般不易直接反映题中的数量关系，数量关系越复杂 ，分析的难度越高。算术方法解应用题对中差生学习有困难，不利于大面积提高教学质量。
七十年代《算术》教材比六十年代有了改进，虽然开始重视思维过程，但是还是属于模式解题范畴。“以 谁为标准，把谁看作单位‘１’（即标准量），与单位“１”相比较的量是比较量，其关系式：比较量／标准 量＝分率。”
如，１９７７年１２月第一次出版的省编第８册《算术》例３“光明灯泡厂计划今年第一季度生产６０瓦 的灯泡４００００只，头两个月已经生产了３５０００只，完成了季度计划的几分之几？”
这样想：求头两个月完成了季度计划的几分之几，就是以季度计划数４００００只作标准，拿头两个月已 经生产的３５０００只与它相比，用分数表示：３５０００（比较量）／４００００（标准量）＝７／８（分 率）。
这阶段教学，先让学生构建起思维基本模式，然后运用算术解题模式各部分间的关系解三种类型的应用题 。要求学生运用基本模式同化各种类型具体知识过程中，强化、巩固（标准量×分率＝比较量；比较量÷分率 ＝标准量。）模式。单调机械模式，枯燥重复的计算在特定条件下虽然有它的一定意义和作用。就训练学生思 维的敏捷性和灵活性方面有它的局限性。
二、运用图示 引导思路
第三阶段《数学》是算术与代数交融一体的过渡性教材，它是研究现实世界空间形式和数量关系的科学， 用代数的普遍规则对算术知识进行整理，使算术与代数互相渗透。这阶段的应用题，主要是借助各种图形的帮 助来解答应用题，运用图示把应用题的内容具体化、形象化，给人以鲜明直观的形象，起着思考导向作用。图 示法不仅可以帮助学生理解题意，分析数量间的关系，而且还可以帮助学生构建数量关系，诱导启发思维，寻 找解题途径。图示要注意：图形规范、完整，文字简洁。
如，１９７９年６月第一次出版的第９册省编数学例３“某县修筑一条通往山区的公路，已经修了３／４ ，还剩６公里没有修。这条公路有多长？把全长看作“１”，已经修了３／４，还剩下（１－３／４）。也就 是全长的（１－３／４）是６公里，所以求全长应是６公里÷（１－３／４）。
（附图 {图}）
又如，１９８３年１０月第一次印刷的人教版第９册数学例３“某工厂４月份烧煤１２０吨，比原计划节 约了１／９。４月份烧煤多少吨？”
（附图 {图}）
把原计划烧煤的吨数看作“１”，实际烧煤的吨数就相当于原计划的（１－１／９）。
三、编排题组 结构合理
第四阶段小学数学新教材，在结构上与算术融汇贯通，用代数思维的普通规则指导算术学习。一方面使抽 象的代数知识变得浅显；另一方面使算术的教学内容大大缩减，加快了教学，同时也加速了学生抽象思维的发 展。如新教材教１＋２＝３时，同时引出与此相连的另外三道算式：２＋１＝３，３－１＝２，３－２＝１。 这四道算式间转换关系生动形象地表示了加减互逆规律（即加法交换律、减数与差之间互换规律），也体现了 代数运算中的普遍规则。教材适当渗透了数学思想和方法，让学生掌握算式间的互逆、互换、转换关系，使学 生在接触具体算术知识时，能较完整地把握知识的总体结构及内在联系。
新教材应用题的编排是根据数学知识的内在联系，学生的年龄特征和认识规律，循序渐进，螺旋上升，逐 步提高要求。应用题的情节和数量关系不脱离学生的生活实际和学生所能了解的工农业生产实际。把基本数量 关系相似，解题思路相近的放在一起，适当以题组形式出现。使教材结构更为科学、合理，较好地体现新大纲 的精神。
如，第５册《两步计算的应用题》分成三个题组：（１）求比两个数的和多（少）几的数两步应用题例１ 和比较两数差与倍数关系的复合应用题例２为一个题组，其特点是先求和（差）；（２）已知两数相差多少（ 或倍数关系）与其中一数，求两数的和（差）例３为另一个题组，其特点在于找出隐藏的中间问题；（３）已 知两数之和与其中一数，求两数相差多少或倍数关系的应用题例４为第三个题组，其特点是两个已知条件两步 计算的应用题，其中一个条件要用两次。
新教材改进了原通用教材的编排顺序，对教学内容作了适当调整，应用题不按题目的类型分类，不给学生 概括题目类型的结构特征和解题公式，不出典型应用题的名称，而是采取题组形式，通过一题多变（在基本数 量关系相似和解题思路相近的情况下，适当改变题目中的条件和问题），引导学生把精力放在认真审题和数量 关系的分析上。
四、依“纲”靠“本” 方程解题
从１９８７年的《全日制十年制小学数学教学
大纲（试行草案）》开始，将方程引进小学，打破了传统的 小学只学习用算术方法解应用题的观念。原小学通用教材应用题教学由单纯的用算术方法解答，发展到向列方 程解答应用题靠拢。列方程解应用题降低了分析的难度，比算术解法优越，小学生升入中学学习，用算术方法 解答应用题将自然被淘汰。
１．早日强化列方程解答应用题的教学，是执行新大纲，靠拢新教材的体现。在小学最后阶段，大纲要求 ：进一步提高用方程解应用题的能力。会有条理地说明解题思路。经过调整的原通用教材从第１０册简易方程 起，逆向思考的文字题，应用题采用列方程解题的编排符合新大纲精神。第１０册１０７页明确指出“下面各 题（总复习２６—３６题），便于用方程解的，就用方程解。、其中有１０道题用方程较容易。从立足于列方 程解应用题的角度看，新教材从第７册开始学习列含有未知数Ｘ的等式解答一步计算的文字题和应用题，介绍 新的解题方法。通过教学早日渗透等量思想，为逐渐过渡到列方程解题为主打好基础，使算术解题方法与方程 解题方法有机地联系起来，而不是截然分割，各成一个系列。从高年级应用题的解题方法看，绝大部分学生编 重于用算术方法解题，注明方程解的题目有的学生还用算术解，学生不适应、不习惯列方程解题与教师忽视列 方程解题教学分不开。如果不早日转变传统的教学观念，调整教学思路，强化列方程解应用题的教学，大面积 提高教学质量是一句空话。
２．加强教材研究，克服教材负迁移的影响，是正确处理教材的关键。由于教者对第１１册教材２９页、 ５０页中“注意：学生在解题时，如果不列方程，根据除法的意义直接用除法算式计算，也是可以的。”理解 片面，导致对教材例题编排意图产生偏差，造成处理教材失误。如第１１册的例题（一个数除以分数例４，带 分数除法例２，文字题 《对教材与教学思路的思考》
★读了本文的人也读了：