深究习例开拓能力

    DE
    证明：连结BE、CE，
    AC
    证tgB=tgCEA=──
    CE
    AB
    tgC=tgBEA=──
    BE
    AD AB·AC AD
    再证──=──── ，从而得tgB·tgC=──
    DE BE·CE DE
    （附图 {图}）
    图9
    如上所述，抓住题目的特征，适当的演变、引伸、拓宽，不仅沟通了知识间的内在联系，使学生思维活动 始终处于一种由浅入深，由此及彼，由一题到一路的“动态”进程之中，而且充分调动了学生学习的积极性和 主动性，激发了他们的求知欲望和学习兴趣，进一步发展了思维能力。
    四、抛砖引玉，特殊试探，发展智力，提高能力
    为了解题的需要，用一些特殊的数、式、图形位置试探，从而获得解题思路。如：
    例8，如图10，△ABC中，∠A的平分线和外接圆相交于D，BE是圆的切线，DF⊥BC，DG⊥BE，垂足分别为F， G。
    (1)求证：DF=DG（《几何》第三册P131第6题）。
    (2)设R是BD上一点（不包括点B）。
    求证：S△RGB:S△RBC=1:2
    (1)证明：连结BD，证∠CBD=∠EBD，即得DF=DG。
    (2)分析：这是个定值的论证，且定值为1:2，如何寻求这个定值呢？一个命题在一般情况下是正确的，则 在特殊情况下也必然正确。本题动点R在BD上，那么把点R取在点D处，DF⊥BC，垂足为F，不难证明BF:BC=1:2， 也容易证明BD是∠CBE的平分线，点R在BD上，因为点R到∠CBE两边的距离相等，所以△RBG与△RBC的面积比与 R在BD所取的位置无关，现在只要证明BG=BF。
    1
    证明：①证BF=── BC ，
    2
    ②证BG=BF，
    ③设点R到BG、BC的距离分别为h[,1]、h[,2]，则h[,1]=h[,2]
    所以，S△RGB:S△RBC=1:2。
    （附图 {图}）
    图10
    又如例9，如图11，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于点A、B，PA=PB=4cm，∠APB=40°，C是弧AB上任 意一点，过C作⊙O的切线，分别交PA、PB于D、E。求：(1)△PDE的周长，(2)∠DOE的度数。（《几何》第三册 P133第2题）
    解：连结OA、OB、OC，①证DC=DA，EC=EB，可求得△PAB的周长=PA+PB=8(cm)，②证
    1 1
    ∠DOC=─ ∠AOC，∠EOC=─∠BOC
    2 2
    可求得∠DOE=70°
    （附图 {图}）
    图11
    本题难度不大，但在原题基础上加以变换更新，能使题目新颖，更有效地培养学生的智力，提高解题能力 。如：
    例10，如图12，P是⊙O外一点，PA、

PB分别和⊙O切于点A，B，PA=PB=L，∠APB=n°，C是弧AB上任意一点 ，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，求证：△PDE的周长和∠DOE的度都为定值。
    分析：定值问题中的所求“定”而无“值”，证明方向不明，这是这类问题最大的难处，如何突破这个难 关呢？可以这样引导和启发学生：C是弧AB上任意一点，那么把点C取在弧AB的中点上，射线PCO是∠APB的对称 轴，射线DO是∠ADC的对称轴，由此可得△PDE的周为定值2L，∠DOE
    1的定值为90°- ──n°，那么一般地就要证明：PD+DC+CE+PE=2L
    2
    1和∠DOC+∠EOC=90°- ─ n°成立。从求证式的结构特征，容易想
    2到，证明中必须用切线长定理。
    连结OA、OB、OC
    ∵DA、DC分别切⊙O于A、C
    1
    ∴DC=DA，∠DOC=─ ∠AOC，
    2
    1
    同理：CE=EB，∠EOC=─ ∠BOC
    2
    ∴PD+DC+EC+PE=PD+DA+EB+PE=2L
    1 1
    ∠DOC+∠EOC=── (∠AOC+∠BOC)=90°- ── n°
    2 2
    1
    即PD+DE+PE=2L，∠DOE=90°- ──n°，结论已明。
    2
    （附图 {图}）
    图12
    课本习、例题有丰富的内涵，对强化双基，开发智力，培养能力，有着极大的潜在价值。深入挖掘其丰富 内涵，引导学生进行适当的观察、比较、猜测、联想、引伸、拓广，由此及彼等思维训练，不仅可以把彼此孤 立的知识串联成线，联结成网，沟通成面，使学生解一题明一路，提高学习效率，而且还可以有效地培养学生 各种思维能力，提高分析问题、解决问题和探索创新的能力。

《深究习例开拓能力》