深究习例开拓能力
深究是一种重要的思想方法和学习方法。
教师充分挖掘课本习、例题的潜能，不仅能开拓学生的解题思路，激发学生的学习兴趣，而且还能有效地 开拓学生的能力，提高教学质量。
一、变形创新，培养思维转换能力
思维转换能力是指：由一种思维对象转移到另一种思维对象，由一种思维方式过渡到另一种思维方式的能 力，也就是通常所说的思维的灵活性。适当地把问题引伸、变形，对于调动学生的学习兴趣，学习的积极性和 主动性，激发学生的求知欲望，拓宽解题思路、培养思维转换能力，有着重要意义。如：
例1，如图1，MN是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，求证：点A，B与MN的距离和等于⊙O的直径。（《几何》第 三册P116第8题）
（附图 {图}）
图1
此题是很普通的习题，但经过深究，不难发现它的内涵之丰富。
（一）解题方法
1.连结OC，证明半径OC是直角梯形的中位线。
2.过C作CG⊥AB，连结AC、BC，证明△ADC≌△AGC，△BEC≌△BGC得AD=AG，BE=BG
BE AD OC
3.如图2，连结OC，延长AB交MN于P，显然sinP=──=──=── ?
PB PD OP BE+AD OC BE+AD OC───=── ，即 ───=──PB+PD OP 2OP OP
从而 BE+AD=2OC
（附图 {图}）
图2
（二）变形创新
如果MN不是切线，而是割线，则有
例2，如图3，AB是⊙O的直径，MN交⊙O于E、F（E、F在AB的同侧）两点，AD⊥MN，BC⊥MN，垂足分别为D、 C，连结AF、AE，设AD=a，CD=b，BC=c，求证：tg∠DAF和tg∠DAE是方程：ax[2,]-bx+c=0的根
DF+DE DF+DE
证明：①证tg∠DAF+tg∠DAE=───= ────
AD a
b
②过O作OG⊥EF，证DF=CE，得tg∠DAF+tg∠DAE=── ，
a
BC
③连结BE，证 ∠CEB=∠DAE，tg∠DAE=tg∠CEB=── ，得
CE
c
tg∠DAF·tg∠DAE=tg∠DAF·tg∠CEB=──结论已明。
a
（附图 {图}）
图3
二、创设反面，培养逆向思维能力
所谓逆向思维，就是与原有的思维方向完全相反的思维。逆向思维能有效地打破思维定势，启动思维转换 机制。当我们的思维陷入某种困境时，逆向思维往往使人茅塞顿开。因此，创设命题的逆命题，是深究问题的 又一重要方面。如：
例3，如图4，Rt△ABC的两条直角边AC、BC的长分别为3cm和4cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，求： BD的长。（《几何》第三册P128第2题）
（附图 {图}）
（附图 {图}）
图4
此题是很简单的解答题，但经深究，可创设：
命题：如图5，Rt△ABC中，两条直角边是AC、BC，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，过D作圆的切线，交 BC于E，求证：E是BC中点。
证明：连结CD、OD，证EB=ED
从而得：E是BC中点。
（附图 {图}）
图5
逆命题：BC、AC是Rt△ABC的两条直角边，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，E是BC中点，求证：DE是圆的 切线。
证明：连结OD、CD、OE，证△ODE≌OCE?∠ODE=∠OCE=90°，结论得证。
充分挖掘这种习、例题的潜能，创设新颖课题，使学生在积极的探究中学到了知识，发展了智力，提高了 能力。
三、由此及彼，培养思维的广阔性
思维的广阔性，也称为思维的广度，是指思路的宽广，富有想象力，善于从多角度、多方向、多层次去思 考问题，认识问题和解决问题。
数学习题浩如烟海，如何从“题海”中解脱出来，提高教学能力呢？这就要求我们对课本的习、例题不仅 仅满足于具体方法，而应该挖掘题目中的丰富内涵，训练学生思维的灵活性、广阔性，提高逻辑思维能力和发 展创造能力。如：
例4，如图6，△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于D，求证：DE=DB。（《几何》第三 册P117第12题）
（附图 {图}）
图6
例5，如图7，△ABC中，∠A和∠B的平分线相交于I，AI交边BC于D，交△ABC的外接圆于点E，求证；IE[2, ]=AE·DE。
证明：连结BE，证△BED∽△AEB?BE[2,]=AE·DE，再证IE=BE，即得：IE[2,]=AE·DE。
（附图 {图}）
图7
例6，如图8，△ABC中，∠A的平分线交BC于F，交△ABC的外接圆于D，连结BD，过D作△ABC的外接圆的切线 ，交AC的延长线于E，如果AB:AC=3:2，BD=3?，DE+EC=6，求：BF的长。
（附图 {图}）
图8
解：连结CD，证BD[2,]=BF·DE，
36-2EC
再证AC= ─── ，
EC
12
后证AC= ──，从而求得：BF=4.5。
EC
如果AD不是∠A的平分线，而是△ABC外接圆的直径，那么有
例7，如图9，AE是△ABC外接圆的直径，AE交BC于D，求证：tgB·
ADtgC=── 《深究习例开拓能力》
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教师充分挖掘课本习、例题的潜能，不仅能开拓学生的解题思路，激发学生的学习兴趣，而且还能有效地 开拓学生的能力，提高教学质量。
一、变形创新，培养思维转换能力
思维转换能力是指：由一种思维对象转移到另一种思维对象，由一种思维方式过渡到另一种思维方式的能 力，也就是通常所说的思维的灵活性。适当地把问题引伸、变形，对于调动学生的学习兴趣，学习的积极性和 主动性，激发学生的求知欲望，拓宽解题思路、培养思维转换能力，有着重要意义。如：
例1，如图1，MN是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，求证：点A，B与MN的距离和等于⊙O的直径。（《几何》第 三册P116第8题）
（附图 {图}）
图1
此题是很普通的习题，但经过深究，不难发现它的内涵之丰富。
（一）解题方法
1.连结OC，证明半径OC是直角梯形的中位线。
2.过C作CG⊥AB，连结AC、BC，证明△ADC≌△AGC，△BEC≌△BGC得AD=AG，BE=BG
BE AD OC
3.如图2，连结OC，延长AB交MN于P，显然sinP=──=──=── ?
PB PD OP BE+AD OC BE+AD OC───=── ，即 ───=──PB+PD OP 2OP OP
从而 BE+AD=2OC
（附图 {图}）
图2
（二）变形创新
如果MN不是切线，而是割线，则有
例2，如图3，AB是⊙O的直径，MN交⊙O于E、F（E、F在AB的同侧）两点，AD⊥MN，BC⊥MN，垂足分别为D、 C，连结AF、AE，设AD=a，CD=b，BC=c，求证：tg∠DAF和tg∠DAE是方程：ax[2,]-bx+c=0的根
DF+DE DF+DE
证明：①证tg∠DAF+tg∠DAE=───= ────
AD a
b
②过O作OG⊥EF，证DF=CE，得tg∠DAF+tg∠DAE=── ，
a
BC
③连结BE，证 ∠CEB=∠DAE，tg∠DAE=tg∠CEB=── ，得
CE
c
tg∠DAF·tg∠DAE=tg∠DAF·tg∠CEB=──结论已明。
a
（附图 {图}）
图3
二、创设反面，培养逆向思维能力
所谓逆向思维，就是与原有的思维方向完全相反的思维。逆向思维能有效地打破思维定势，启动思维转换 机制。当我们的思维陷入某种困境时，逆向思维往往使人茅塞顿开。因此，创设命题的逆命题，是深究问题的 又一重要方面。如：
例3，如图4，Rt△ABC的两条直角边AC、BC的长分别为3cm和4cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，求： BD的长。（《几何》第三册P128第2题）
（附图 {图}）
（附图 {图}）
图4
此题是很简单的解答题，但经深究，可创设：
命题：如图5，Rt△ABC中，两条直角边是AC、BC，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，过D作圆的切线，交 BC于E，求证：E是BC中点。
证明：连结CD、OD，证EB=ED
从而得：E是BC中点。
（附图 {图}）
图5
逆命题：BC、AC是Rt△ABC的两条直角边，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，E是BC中点，求证：DE是圆的 切线。
证明：连结OD、CD、OE，证△ODE≌OCE?∠ODE=∠OCE=90°，结论得证。
充分挖掘这种习、例题的潜能，创设新颖课题，使学生在积极的探究中学到了知识，发展了智力，提高了 能力。
三、由此及彼，培养思维的广阔性
思维的广阔性，也称为思维的广度，是指思路的宽广，富有想象力，善于从多角度、多方向、多层次去思 考问题，认识问题和解决问题。
数学习题浩如烟海，如何从“题海”中解脱出来，提高教学能力呢？这就要求我们对课本的习、例题不仅 仅满足于具体方法，而应该挖掘题目中的丰富内涵，训练学生思维的灵活性、广阔性，提高逻辑思维能力和发 展创造能力。如：
例4，如图6，△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于D，求证：DE=DB。（《几何》第三 册P117第12题）
证明：连结BE，证∠BED=∠DBE?DE=DB。
（附图 {图}）
图6
例5，如图7，△ABC中，∠A和∠B的平分线相交于I，AI交边BC于D，交△ABC的外接圆于点E，求证；IE[2, ]=AE·DE。
证明：连结BE，证△BED∽△AEB?BE[2,]=AE·DE，再证IE=BE，即得：IE[2,]=AE·DE。
（附图 {图}）
图7
例6，如图8，△ABC中，∠A的平分线交BC于F，交△ABC的外接圆于D，连结BD，过D作△ABC的外接圆的切线 ，交AC的延长线于E，如果AB:AC=3:2，BD=3?，DE+EC=6，求：BF的长。
（附图 {图}）
图8
解：连结CD，证BD[2,]=BF·DE，
36-2EC
再证AC= ─── ，
EC
12
后证AC= ──，从而求得：BF=4.5。
EC
如果AD不是∠A的平分线，而是△ABC外接圆的直径，那么有
例7，如图9，AE是△ABC外接圆的直径，AE交BC于D，求证：tgB·
ADtgC=── 《深究习例开拓能力》
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