以原型启发为中介优化学生的认知结构
（罗源县教师进修学校 沈庆灿 松山中心小学 陈强仁）
数学知识是有严密组织的知识系统，学生学习数学，在掌握知识的过程中，也就形成相应的认知结构。为 了促进正迁移，我们在教学中重视在旧知识与新知识之间设置“原型”，并将其作为中介物，把新旧知识有机 地联结起来，启发学生思维，优化学生的认知结构。
一、以“过渡题”为原型，由此及彼，同化新知
认知学习理论认为，学习是认知结构的形成和改组，学生良好认知结构的形成，又是从良好的教材结构转 化过来的。九年义务教育教材十分重视教材结构，增加了“准备题”的内容，以沟通新旧知识，但在具体的教 学中怎么沟通，并不能简单化，需要以原型的启发作为纽带。我们在新教材第一册“9+几”（第一教时）这节 研讨课的准备过程中，对这点有较深的体会。“9+几”的计算方法是“凑十法”，其分析基础是10以内数的组 成与分解，计算基础为得数是10的加法及10+几的计算。教材中的三类准备题：(1)
（附图 {图}）
……(2)9+()=10 9+1+1=□……(3)10+510+7……显然是让学生复习为“凑十法”计算作准备的旧知识。有 的教师让学生做了以上的练习之后，以为可以教新课了，即转入新课例1：教师出示皮球盒，内有10个空格，装 9个花皮球，教师又拿出2个花皮球，问学生求一共有多少个皮球怎样列式？为了引入“凑十法”，教师又问： 从盒子外拿几个皮球放入盒内算得比较快？这时问题就来了，有的说不要再拿皮球放进盒里，只要口算就知道 是11个；有的虽说出放进盒里1个，但追问为什么时，竟反问：盒子不是只剩下一个空格子了吗？
课后我们觉得，应该在准备题与例题之间设计“过渡题”作为中介。通过“过渡题”这个原型的启发作用 ，引导学生开展主动的认识活动，把新旧知识沟通起来。于是决定在练完准备题后，增加两道“圈10”练习作 为过渡题。第一题教师在绒板左边贴9只小鸟，右边贴4只小鸟，教师先与学生一起一只一只地数，数清共13只 小鸟。然后指出这样数虽然也可以，但比较麻烦，下面老师教同学们一种算得快的方法。接着教师提问：左边 有几只小鸟？（9只）从右边移动几只小鸟到左边，左边的小鸟就可以凑成10只？（1只）教师移动1只后马上把 左边的10只小鸟用毛线圈上，再问右边还剩下几只？（3只）现在左边有10只，右边有3只，一共是多少只？（ 13只）这样算快不快？（快）这时学生情绪很高，教师紧接着出示第2题：左9只小猴，右7只小猴，问你们也能 像刚才移动小鸟那样，移一移小猴，使大家算得快吗？学生个个跃跃欲试，完成后，教师以问答形式及时小结 ：刚才的9只小鸟添上几只凑成10只？9只小猴添上几只凑成10只，那也就是9添上几凑成10？9加1凑成10后，再 用10+几的计算方法算得快吗？（快）然后教师指出遇到算9+几时，我们先把9添上1凑成10再计算比较快。这道 过渡题既上承了三类准备题旧知识，又为学生理解例1做了坚实的铺垫。通过“圈10”这道过渡题的练习，启发 了学生的思维，学生对“凑十”的过程与原理有了初步感性的认识，教师顺利地完成例1的教学任务。对后面三 道“凑十法”例题的教学起了原型启发的作用。最后通过课后“做一做”中的比较题9+1+3＝ 9+4＝ 的练习， 教师再度启发：9加1再加3，一共加了几？那么9+4怎么计算？从而把新旧知识从理性上连成一体，扩展了学生 的认知结构。
二、以“比较题”为原型，求同辨异，促成分化
数学教材中有很多表面形式相似的内容，学生往往容易混淆，要消除这类错误就必须在教学中以比较题为 原型进行对比。如教稍复杂的百分数应用题例6、例7，学生虽对某数×(1±n/n)和某数÷(1±n/n)两类分数应 用题有了一定的理解，但不一定深刻，还有部分学生仍产生混淆。我们教这两道例题的处理方法是：把重点放 在例6、例7异同点的分析上，以培养学生的分化能力。首先用较少的时间教完例6后，设计了一道为例7提供比 较的题目作为原型：一个工厂由于采用了新工艺，原来每件产品的成本是44元，现在降低了15%，现在每件产品 的成本是多少元？审题后，提出以下问题：已知条件是什么？关键句是什么？谁是“单位1”的量？现在相当于 原来的几％？要求学生用线段图表示（略），说出现在与原来间的数量关系：原来的(1-15%)=现在。接着又出 示一组线段图：（已知） （问题）
（附图 {图}）
思考两组线段图哪些地方相同？（略）有哪些不同点？（已知条件和要求不一样，第一组已知原来每件成 本是44元，求现在每件成本；第二组相反，已知现在，求原来。）教师及时板书：原来的(1-15%)=现在。
（问题） （已知）由于线段图比较直观，学生比较起来并不 困难，这时我们要求学生根据第二组线段图的已知条件和数量关系，编成一道百分数应用题（即例7）：一个工 厂由于采用了新工艺，现在每件产品成本是37.4元，比原来降低了15%。原来每件成本是多少元？并把比较题和 改编题作为一个题组出现，要求学生同时解答。最后教师小结，对比板书（略）。由于学生是在分析比较题的 基础上，并以比较题为原型，通过改编以题组形式进行对照解答，这样有利于学生深刻理解两类应用题间的联 系和区别。
三、以“缩减题”为原型，以简驭繁，掌握结构
某些应用题，尽管在具体内容上各不相同，但实际上却具有相似的结构形式，即所谓的同构异素问题。教 学时可以设计“缩减题”为原型，从具体内容中将结构形式逐步超脱出来，以启发相似结构不同题材问题的解 决。如以下的4道应用题，分别散落在五年制第六、七册课本的部分单元复习题中：A、一只猫头鹰一年能吃10 00只田鼠，每只田鼠一年大约糟塌24千克粮食，照这样计算，有10只猫头鹰吃田鼠，一年大约少损失多少千克 粮食？B、一吨废纸可以生产纸张700千克。如果1千克纸张能制成25本练习本，35吨废纸生产的纸张，能制成多 少本练习本？C、一个肉类加工厂原计划九月份生产480吨羊肉，结果比原来计划多生产16.5吨，按120只羊出1 吨羊肉计算，九月份屠宰多少只羊？D、一个纺织厂有35000个纱锭，平均1000个纱锭每小时生产棉纱26.5千克 ，如果1千克棉纱织布7.2米，这个工厂每小时生产的棉纱可以织布多少米？据调查，学生完成这类题的正确率 比较低，解题时思维无序，列式感到困难。究其原因，不理解这类题目的结构是主要
（附图 {图}）
最后找出在结构形式上的相同点，进一步掌握解题方法，发展学生的认知结构。
四、以“生活实例”为原型，启发想象，优化理解
有些数学知识比较抽象难懂，是教学中的“老大难”问题。如减法性质，明明都是减法，为什么又可以把 两个减数加起来？学生理解困难，运用时经常出错。在教学中我们注意以发生在学生身边的生活实例为原型， 启发学生通过再造想象，加以理解。教学中教师先出示一个具体等式：100-32-28=100-(32+28)，启发学生想象 出一个实例来证明：爸爸身上有100元钱，开学交费时，哥哥先向爸爸要32元，我又向爸爸要28元，爸爸就剩下 "100-32-28"元钱，爸爸也可以把哥哥和我交费一共需要的"32+28"元钱拿出来让我俩自己去分，那么爸爸就剩 下"100-(32+28)"元钱了。前后两种情况结果一样，所以两个算式是相等的。又如，整数减法中的连续退位是教 学中的一个难点，学生有两点难以理解：被减数个位上数不够减，十位上是0借不到怎么办？被减数十位上是0 不够减，百位数上退1作10，怎么又变成9了呢？这时教师以学生平时经常买铅笔这一生活实例为原型，引导学 生想象：一个小朋友买一支铅笔要付6分钱，他身边没带零钱怎么办？学生回答可以拿出一角的票去找零。教师 进一步 《以原型启发为中介优化学生的认知结构》
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数学知识是有严密组织的知识系统，学生学习数学，在掌握知识的过程中，也就形成相应的认知结构。为 了促进正迁移，我们在教学中重视在旧知识与新知识之间设置“原型”，并将其作为中介物，把新旧知识有机 地联结起来，启发学生思维，优化学生的认知结构。
一、以“过渡题”为原型，由此及彼，同化新知
认知学习理论认为，学习是认知结构的形成和改组，学生良好认知结构的形成，又是从良好的教材结构转 化过来的。九年义务教育教材十分重视教材结构，增加了“准备题”的内容，以沟通新旧知识，但在具体的教 学中怎么沟通，并不能简单化，需要以原型的启发作为纽带。我们在新教材第一册“9+几”（第一教时）这节 研讨课的准备过程中，对这点有较深的体会。“9+几”的计算方法是“凑十法”，其分析基础是10以内数的组 成与分解，计算基础为得数是10的加法及10+几的计算。教材中的三类准备题：(1)
（附图 {图}）
……(2)9+()=10 9+1+1=□……(3)10+510+7……显然是让学生复习为“凑十法”计算作准备的旧知识。有 的教师让学生做了以上的练习之后，以为可以教新课了，即转入新课例1：教师出示皮球盒，内有10个空格，装 9个花皮球，教师又拿出2个花皮球，问学生求一共有多少个皮球怎样列式？为了引入“凑十法”，教师又问： 从盒子外拿几个皮球放入盒内算得比较快？这时问题就来了，有的说不要再拿皮球放进盒里，只要口算就知道 是11个；有的虽说出放进盒里1个，但追问为什么时，竟反问：盒子不是只剩下一个空格子了吗？
课后我们觉得，应该在准备题与例题之间设计“过渡题”作为中介。通过“过渡题”这个原型的启发作用 ，引导学生开展主动的认识活动，把新旧知识沟通起来。于是决定在练完准备题后，增加两道“圈10”练习作 为过渡题。第一题教师在绒板左边贴9只小鸟，右边贴4只小鸟，教师先与学生一起一只一只地数，数清共13只 小鸟。然后指出这样数虽然也可以，但比较麻烦，下面老师教同学们一种算得快的方法。接着教师提问：左边 有几只小鸟？（9只）从右边移动几只小鸟到左边，左边的小鸟就可以凑成10只？（1只）教师移动1只后马上把 左边的10只小鸟用毛线圈上，再问右边还剩下几只？（3只）现在左边有10只，右边有3只，一共是多少只？（ 13只）这样算快不快？（快）这时学生情绪很高，教师紧接着出示第2题：左9只小猴，右7只小猴，问你们也能 像刚才移动小鸟那样，移一移小猴，使大家算得快吗？学生个个跃跃欲试，完成后，教师以问答形式及时小结 ：刚才的9只小鸟添上几只凑成10只？9只小猴添上几只凑成10只，那也就是9添上几凑成10？9加1凑成10后，再 用10+几的计算方法算得快吗？（快）然后教师指出遇到算9+几时，我们先把9添上1凑成10再计算比较快。这道 过渡题既上承了三类准备题旧知识，又为学生理解例1做了坚实的铺垫。通过“圈10”这道过渡题的练习，启发 了学生的思维，学生对“凑十”的过程与原理有了初步感性的认识，教师顺利地完成例1的教学任务。对后面三 道“凑十法”例题的教学起了原型启发的作用。最后通过课后“做一做”中的比较题9+1+3＝ 9+4＝ 的练习， 教师再度启发：9加1再加3，一共加了几？那么9+4怎么计算？从而把新旧知识从理性上连成一体，扩展了学生 的认知结构。
二、以“比较题”为原型，求同辨异，促成分化
数学教材中有很多表面形式相似的内容，学生往往容易混淆，要消除这类错误就必须在教学中以比较题为 原型进行对比。如教稍复杂的百分数应用题例6、例7，学生虽对某数×(1±n/n)和某数÷(1±n/n)两类分数应 用题有了一定的理解，但不一定深刻，还有部分学生仍产生混淆。我们教这两道例题的处理方法是：把重点放 在例6、例7异同点的分析上，以培养学生的分化能力。首先用较少的时间教完例6后，设计了一道为例7提供比 较的题目作为原型：一个工厂由于采用了新工艺，原来每件产品的成本是44元，现在降低了15%，现在每件产品 的成本是多少元？审题后，提出以下问题：已知条件是什么？关键句是什么？谁是“单位1”的量？现在相当于 原来的几％？要求学生用线段图表示（略），说出现在与原来间的数量关系：原来的(1-15%)=现在。接着又出 示一组线段图：（已知） （问题）
（附图 {图}）
思考两组线段图哪些地方相同？（略）有哪些不同点？（已知条件和要求不一样，第一组已知原来每件成 本是44元，求现在每件成本；第二组相反，已知现在，求原来。）教师及时板书：原来的(1-15%)=现在。
（问题） （已知）由于线段图比较直观，学生比较起来并不 困难，这时我们要求学生根据第二组线段图的已知条件和数量关系，编成一道百分数应用题（即例7）：一个工 厂由于采用了新工艺，现在每件产品成本是37.4元，比原来降低了15%。原来每件成本是多少元？并把比较题和 改编题作为一个题组出现，要求学生同时解答。最后教师小结，对比板书（略）。由于学生是在分析比较题的 基础上，并以比较题为原型，通过改编以题组形式进行对照解答，这样有利于学生深刻理解两类应用题间的联 系和区别。
三、以“缩减题”为原型，以简驭繁，掌握结构
某些应用题，尽管在具体内容上各不相同，但实际上却具有相似的结构形式，即所谓的同构异素问题。教 学时可以设计“缩减题”为原型，从具体内容中将结构形式逐步超脱出来，以启发相似结构不同题材问题的解 决。如以下的4道应用题，分别散落在五年制第六、七册课本的部分单元复习题中：A、一只猫头鹰一年能吃10 00只田鼠，每只田鼠一年大约糟塌24千克粮食，照这样计算，有10只猫头鹰吃田鼠，一年大约少损失多少千克 粮食？B、一吨废纸可以生产纸张700千克。如果1千克纸张能制成25本练习本，35吨废纸生产的纸张，能制成多 少本练习本？C、一个肉类加工厂原计划九月份生产480吨羊肉，结果比原来计划多生产16.5吨，按120只羊出1 吨羊肉计算，九月份屠宰多少只羊？D、一个纺织厂有35000个纱锭，平均1000个纱锭每小时生产棉纱26.5千克 ，如果1千克棉纱织布7.2米，这个工厂每小时生产的棉纱可以织布多少米？据调查，学生完成这类题的正确率 比较低，解题时思维无序，列式感到困难。究其原因，不理解这类题目的结构是主要
方面。我们的处理方法是 把这些题加以收集整理，用一、两节练习课专门解决。首先设计一道缩减题：一千克鲜黄豆可以做3千克豆腐， 640千克鲜黄豆可以做多少千克豆腐？学生解答后，把“640千克”转化成间接条件，原题扩编成：1千克鲜黄豆 可以做3千克豆腐，如果1千克带壳黄豆可以剥0.8千克鲜黄豆，800千克带壳黄豆，可以做多少千克豆腐？这样 把缩减题扩编成了一道两步连乘求总数的应用题（与A、B、C、D四道题结构相似）。由于在条件的转化过程中 ，学生熟悉了扩编题的结构，能较容易地解答出来。然后教师再引导学生通过联想，发挥原型的启发作用，用 类推方法完成以上四道题，并结合原题把它们的算式进行比较：
（附图 {图}）
最后找出在结构形式上的相同点，进一步掌握解题方法，发展学生的认知结构。
四、以“生活实例”为原型，启发想象，优化理解
有些数学知识比较抽象难懂，是教学中的“老大难”问题。如减法性质，明明都是减法，为什么又可以把 两个减数加起来？学生理解困难，运用时经常出错。在教学中我们注意以发生在学生身边的生活实例为原型， 启发学生通过再造想象，加以理解。教学中教师先出示一个具体等式：100-32-28=100-(32+28)，启发学生想象 出一个实例来证明：爸爸身上有100元钱，开学交费时，哥哥先向爸爸要32元，我又向爸爸要28元，爸爸就剩下 "100-32-28"元钱，爸爸也可以把哥哥和我交费一共需要的"32+28"元钱拿出来让我俩自己去分，那么爸爸就剩 下"100-(32+28)"元钱了。前后两种情况结果一样，所以两个算式是相等的。又如，整数减法中的连续退位是教 学中的一个难点，学生有两点难以理解：被减数个位上数不够减，十位上是0借不到怎么办？被减数十位上是0 不够减，百位数上退1作10，怎么又变成9了呢？这时教师以学生平时经常买铅笔这一生活实例为原型，引导学 生想象：一个小朋友买一支铅笔要付6分钱，他身边没带零钱怎么办？学生回答可以拿出一角的票去找零。教师 进一步 《以原型启发为中介优化学生的认知结构》
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