学龄前儿童计算能力的发展
（课程教材研究所 曹飞羽）
对儿童进行早期数学教育，不仅需要研究了解幼儿数概念发展的特点，也需要研究了解幼儿计算能力发展 的特点。只有掌握幼儿计算能力的发展规律，才便于正确地确定幼儿计算教学的内容，提出适宜的进行计算教 学的方法，同时也便于小学在此基础上进行较为系统的数学教学。
研究表明，幼儿在数概念发展的同时，计算能力也在逐步地发展着，而且与数概念的发展有着紧密的联系 。幼儿的计算能力也是在各种活动中以及成人的教育影响下逐步发展起来的。他们在对物体集合的元素反复进 行操作的基础上形成运算的初步概念，逐步掌握计算的方法，并对一些小的数目的计算逐步达到比较熟练。
一、幼儿的加、减计算能力的发展
通过测试研究，幼儿的加、减计算能力的发展大体经历三个阶段。
（一）实物操作阶段（三—四岁）
三岁以下的幼儿，对加、减计算基本上还处于朦胧状态。测试结果表明，让两岁半以下的幼儿先拿１个木 块，再添上１个木块，问一共有几个木块，只有了１／３儿童能做对。有１／３儿童不会拿。或者先抓一把， 再抓一把，或者先拿１个然后又拿走，也说不出有几个。还有１／３儿童在试者引导下能操作，但说不清一共 有几个木块。如果让儿童先拿１个，再添上２个，则只有１６．７％的儿童能够操作，但说不出一共是３个。 有少数儿童还是先拿１个，再拿１个，说一共是２个。这表明这些幼儿只认识数目２。减法的实物操作有类似 的情况。超过两岁半而不满三岁的幼儿，８３．３％能进行“１＋１”“２－１”的实物操作，但当试者提出 “１＋２”“４－２”之类的实物操作要求时，能做对的很少。在出示需要用“１＋１”或“２－１”计算的 实际问题时，两岁半以下的幼儿基本上都不会做，而且８３．３％的幼儿的回答是加法问题和减法问题的得数 相同。这表明这些幼儿在操作活动和数目的计算之间还没有建立起联系。超过两岁半而不满三岁的幼儿，对需 用“１＋１”计算的实际问题多数能正确回答，对需用“２－１”计算的实际问题则有半数能正确回答；但是 当改换其他数目，如需用“２＋２”“５－２”计算的实际问题则只有极少数能正确回答。这说明这个阶段的 大多数幼儿，由于多次操作活动开始形成牢固的个别联系，即１个添上１个是２个，２个拿走１个剩１个，但 还不真正理解加、减运算的一般含义。
三岁多的幼儿开始进入加、减法的实物操作阶段。这时约有半数幼儿能够进行５以内加、减法的实物操作 ，极少数幼儿还能进行１０以内加、减法的实物操作。有些幼儿能够正确地进行操作，但是说错了得数。另外 还有些幼儿由于点数实物的能力还很差，操作还有困难。开始有一部分幼儿通过操作初步理解加、减法的含义 ，即添上是加，拿走是减。由于多数幼儿能点数实物并说出计数的结果，因而有些幼儿不仅能口头回答得数， 而且同时能用手指表示得数。例如，当提问“１个添上２个是多少？”有些幼儿一边回答“３个”，一边伸出 ３个手指。这说明幼儿在做加减计算时在极大程度上需要实物操作的支持。如果让幼儿做抽象的数的计算，则 ５以内的加法有３７．４％的幼儿做对，５以内的减法只有２０％的幼儿做对，而且做对的题目大多是重现他 们生活经验中已经形成联系，幼儿还不会利用实物操作的方法（以数手指）去解决他们不熟悉的计算题。至于 结合儿童生活经验的实际问题，除了需用“１＋１”“２－１”计算的题目大多数幼儿能口答以外，其他题目 很少能做对。大多数幼儿不理解题意，随便说一个数来回答；甚至有的幼儿还没听完整个问题，就说出一个得 数。也有极少数幼儿能答对５以内的加、减法应用题，但是不明确是怎样算的。例如，提问一个三岁十个月的 幼儿，“小明有２块糖，妈妈又给他２块，小明一共有几块糖？”在说对得数以后，问她是怎样想的，她说： “我知道几个数，１加１等于２，２加２等于４。”这说明三岁多幼儿还没有明确的选用运算方法和已知数的 意识，有些幼儿虽然初步知道要用加法或减法计算，但是还不会根据题意选择已知数，于是往往把自己所会的 加法算式都说出来作为回答，出现对刺激的反应的泛化现象。
（二）半具体半抽象阶段（四—六岁）
这一阶段幼儿计算能力的发展有以下几个特点。
１．幼儿完全掌握了５以内加、减法的实物操作，大多数掌握了１０以内加、减法的实物操作。通过实物 操作大多数幼儿初步理解加、减法运算的含义。
２．能进行一些抽象数目的加、减计算，但一般离不开具体的实物操作，出现大量扳手指的现象。同三岁 多的幼儿相比，应该说这是一个很大的进步。因为三岁多的幼儿还没有完全掌握用实物计算的方法，还没有学 会利用手指进行计算。在测试中，令三岁幼儿用手指算，大多数都不会。例如，让三岁七个月女孩伸指算３个 添上２个是多少，她右手伸３个手指，左手伸１个手指；算６个添上３个是多少，就不会伸手指了。让三岁十 一个月男孩算５个减去３个是多少，他先答“６”。再让他手指算，他先错误地伸４个手指，而且不会去掉３ 个。但是四岁多的幼儿，由于大都有了利用实物计算的能力，有些幼儿开始能把用实物计算的方法应用于抽象 的数目的计算中去。测试结果表明，５以内加、减法，很多幼儿不需用手指就可以算出得数，５以上１０以内 的加、减法，四岁多幼儿基本会用手指计算的只占３３％左右，而五岁多幼儿基本会用手指计算的就达７５％ 左右。但是能用手指计算２０以内加减法的仍占少数，约占２５％左右，而且大多是五岁半以上的儿童。这些 幼儿在用手指算２０以内的进位加法时，也明显地反映出半具体半抽象的特点。例如，让一个五岁八个月的女 孩算“８＋４”，她先伸出８个手指，然后看着手指接着数４个数，说得“１２”；另一个五岁９个月女孩， 采取另外一种方法，他伸出４个手指表示要加的４，然后看着手指点数９、１０、１１、１２，说得“１２” 。
３．口头解答加、减法应用题能力有较大发展。四、五岁的幼儿绝大多数能口头解答５以内加、减法应用 题，一半左右能口头解答１０以内加、减法应用题。这与幼儿掌握了用实物计算加、减法有密切的联系。在成 人教育的影响下，幼儿通过大量的用实物计算活动，一方面初步理解加、减法的含义，另一方面逐步学会用实 物（特别是手指）计算的方法，从而就为口头解答加、减法应用题创造了条件。测试结果表明，这个阶段的幼 儿口头解答５以内加、减法应用题，正确率都高于相应范围的抽象数目的计算，有些幼儿做得还比较熟练。但 是这不能说明幼儿对加、减法的含义和应用已有较深的理解，仍说明这个阶段幼儿的加、减法计算的半具体半 抽象的特点
另外一个值得注意的问题是，这个阶段的幼儿在抽象数目的计算中，一般都表现为加法的成绩明显优于减 法的成绩。说明减法计算要比加法计算难。这与幼儿的心理发展有关。按照皮亚杰的观点，从心理学上讲，加 法与减法是一种运算。因为作一个运算，其特点之一是具有可逆的行动。加法作为一种可逆的运算，其本身就 包括了它的逆运算——减法。但是在幼儿期，还缺乏可逆行的运算能力。据测试，四、五岁幼儿有５０％对提 出的减法题做了加法。其中大多数是用手指算的。例如，算 《学龄前儿童计算能力的发展》
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对儿童进行早期数学教育，不仅需要研究了解幼儿数概念发展的特点，也需要研究了解幼儿计算能力发展 的特点。只有掌握幼儿计算能力的发展规律，才便于正确地确定幼儿计算教学的内容，提出适宜的进行计算教 学的方法，同时也便于小学在此基础上进行较为系统的数学教学。
研究表明，幼儿在数概念发展的同时，计算能力也在逐步地发展着，而且与数概念的发展有着紧密的联系 。幼儿的计算能力也是在各种活动中以及成人的教育影响下逐步发展起来的。他们在对物体集合的元素反复进 行操作的基础上形成运算的初步概念，逐步掌握计算的方法，并对一些小的数目的计算逐步达到比较熟练。
一、幼儿的加、减计算能力的发展
通过测试研究，幼儿的加、减计算能力的发展大体经历三个阶段。
（一）实物操作阶段（三—四岁）
三岁以下的幼儿，对加、减计算基本上还处于朦胧状态。测试结果表明，让两岁半以下的幼儿先拿１个木 块，再添上１个木块，问一共有几个木块，只有了１／３儿童能做对。有１／３儿童不会拿。或者先抓一把， 再抓一把，或者先拿１个然后又拿走，也说不出有几个。还有１／３儿童在试者引导下能操作，但说不清一共 有几个木块。如果让儿童先拿１个，再添上２个，则只有１６．７％的儿童能够操作，但说不出一共是３个。 有少数儿童还是先拿１个，再拿１个，说一共是２个。这表明这些幼儿只认识数目２。减法的实物操作有类似 的情况。超过两岁半而不满三岁的幼儿，８３．３％能进行“１＋１”“２－１”的实物操作，但当试者提出 “１＋２”“４－２”之类的实物操作要求时，能做对的很少。在出示需要用“１＋１”或“２－１”计算的 实际问题时，两岁半以下的幼儿基本上都不会做，而且８３．３％的幼儿的回答是加法问题和减法问题的得数 相同。这表明这些幼儿在操作活动和数目的计算之间还没有建立起联系。超过两岁半而不满三岁的幼儿，对需 用“１＋１”计算的实际问题多数能正确回答，对需用“２－１”计算的实际问题则有半数能正确回答；但是 当改换其他数目，如需用“２＋２”“５－２”计算的实际问题则只有极少数能正确回答。这说明这个阶段的 大多数幼儿，由于多次操作活动开始形成牢固的个别联系，即１个添上１个是２个，２个拿走１个剩１个，但 还不真正理解加、减运算的一般含义。
三岁多的幼儿开始进入加、减法的实物操作阶段。这时约有半数幼儿能够进行５以内加、减法的实物操作 ，极少数幼儿还能进行１０以内加、减法的实物操作。有些幼儿能够正确地进行操作，但是说错了得数。另外 还有些幼儿由于点数实物的能力还很差，操作还有困难。开始有一部分幼儿通过操作初步理解加、减法的含义 ，即添上是加，拿走是减。由于多数幼儿能点数实物并说出计数的结果，因而有些幼儿不仅能口头回答得数， 而且同时能用手指表示得数。例如，当提问“１个添上２个是多少？”有些幼儿一边回答“３个”，一边伸出 ３个手指。这说明幼儿在做加减计算时在极大程度上需要实物操作的支持。如果让幼儿做抽象的数的计算，则 ５以内的加法有３７．４％的幼儿做对，５以内的减法只有２０％的幼儿做对，而且做对的题目大多是重现他 们生活经验中已经形成联系，幼儿还不会利用实物操作的方法（以数手指）去解决他们不熟悉的计算题。至于 结合儿童生活经验的实际问题，除了需用“１＋１”“２－１”计算的题目大多数幼儿能口答以外，其他题目 很少能做对。大多数幼儿不理解题意，随便说一个数来回答；甚至有的幼儿还没听完整个问题，就说出一个得 数。也有极少数幼儿能答对５以内的加、减法应用题，但是不明确是怎样算的。例如，提问一个三岁十个月的 幼儿，“小明有２块糖，妈妈又给他２块，小明一共有几块糖？”在说对得数以后，问她是怎样想的，她说： “我知道几个数，１加１等于２，２加２等于４。”这说明三岁多幼儿还没有明确的选用运算方法和已知数的 意识，有些幼儿虽然初步知道要用加法或减法计算，但是还不会根据题意选择已知数，于是往往把自己所会的 加法算式都说出来作为回答，出现对刺激的反应的泛化现象。
（二）半具体半抽象阶段（四—六岁）
这一阶段幼儿计算能力的发展有以下几个特点。
１．幼儿完全掌握了５以内加、减法的实物操作，大多数掌握了１０以内加、减法的实物操作。通过实物 操作大多数幼儿初步理解加、减法运算的含义。
２．能进行一些抽象数目的加、减计算，但一般离不开具体的实物操作，出现大量扳手指的现象。同三岁 多的幼儿相比，应该说这是一个很大的进步。因为三岁多的幼儿还没有完全掌握用实物计算的方法，还没有学 会利用手指进行计算。在测试中，令三岁幼儿用手指算，大多数都不会。例如，让三岁七个月女孩伸指算３个 添上２个是多少，她右手伸３个手指，左手伸１个手指；算６个添上３个是多少，就不会伸手指了。让三岁十 一个月男孩算５个减去３个是多少，他先答“６”。再让他手指算，他先错误地伸４个手指，而且不会去掉３ 个。但是四岁多的幼儿，由于大都有了利用实物计算的能力，有些幼儿开始能把用实物计算的方法应用于抽象 的数目的计算中去。测试结果表明，５以内加、减法，很多幼儿不需用手指就可以算出得数，５以上１０以内 的加、减法，四岁多幼儿基本会用手指计算的只占３３％左右，而五岁多幼儿基本会用手指计算的就达７５％ 左右。但是能用手指计算２０以内加减法的仍占少数，约占２５％左右，而且大多是五岁半以上的儿童。这些 幼儿在用手指算２０以内的进位加法时，也明显地反映出半具体半抽象的特点。例如，让一个五岁八个月的女 孩算“８＋４”，她先伸出８个手指，然后看着手指接着数４个数，说得“１２”；另一个五岁９个月女孩， 采取另外一种方法，他伸出４个手指表示要加的４，然后看着手指点数９、１０、１１、１２，说得“１２” 。
３．口头解答加、减法应用题能力有较大发展。四、五岁的幼儿绝大多数能口头解答５以内加、减法应用 题，一半左右能口头解答１０以内加、减法应用题。这与幼儿掌握了用实物计算加、减法有密切的联系。在成 人教育的影响下，幼儿通过大量的用实物计算活动，一方面初步理解加、减法的含义，另一方面逐步学会用实 物（特别是手指）计算的方法，从而就为口头解答加、减法应用题创造了条件。测试结果表明，这个阶段的幼 儿口头解答５以内加、减法应用题，正确率都高于相应范围的抽象数目的计算，有些幼儿做得还比较熟练。但 是这不能说明幼儿对加、减法的含义和应用已有较深的理解，仍说明这个阶段幼儿的加、减法计算的半具体半 抽象的特点
，并在很大程度上是因为联系儿童日常生活的事物为儿童提供了具体的直观的表象。从以下的事实 可以得到证明：１．这个阶段的幼儿在操作活动中往往是用“添上”“去掉”等词语来表示“加”和“减”的 概念的，当出示抽象数目的式题，如说“３加２”“５减３”时，很多幼儿还不懂“加”“减”的意思，甚至 有用手指计算加法的方法来计算减法。２．有些幼儿不会做５以内加、减法的某几个式题，但是能够做类似的 应用题，这在减法中尤为明显。例如，在五岁的幼儿中有５０％不会做式题“５－３”，其中三分之一的幼儿 完全不懂“５－３”的意思，但是都能做对用“５－２”计算的应用题；其中一半幼儿在做式题“５－３”时 不会扳手指，但是做用“５－２”计算的应用题时却能用扳手指的方法做对了。这说明由于应用题给幼儿提供 了计算活动的情境，使幼儿在头脑中产生实物计算的表象，借助表象并配合实物计算达到正确地计算出结果。 ３．在口头解答应用题时，大多数幼儿只能说出得数，而说不出加法或减法算式。如五岁多的幼儿能说出加法 算式的只占１／３，能说出减法算式的只有８．３％。说明幼儿虽然能口头解答一些加、减法应用题，但仍处 在直观的表象的阶段，幼儿对于用加、减法算式来表示生活中的计算问题还没上升到概括性的认识。
另外一个值得注意的问题是，这个阶段的幼儿在抽象数目的计算中，一般都表现为加法的成绩明显优于减 法的成绩。说明减法计算要比加法计算难。这与幼儿的心理发展有关。按照皮亚杰的观点，从心理学上讲，加 法与减法是一种运算。因为作一个运算，其特点之一是具有可逆的行动。加法作为一种可逆的运算，其本身就 包括了它的逆运算——减法。但是在幼儿期，还缺乏可逆行的运算能力。据测试，四、五岁幼儿有５０％对提 出的减法题做了加法。其中大多数是用手指算的。例如，算 《学龄前儿童计算能力的发展》
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