非常规数学问题解法探微
nbsp; 用数学归纳法可以证明,一般情况下,若圆周上原来摆着2ｎ枚棋子,最多操作2ｎ次后一定全剩下黑子。
例4 有11只杯子都口朝上放着,然后将它们任意翻偶数只算一次操作(翻过的也可以再翻)。证明:无论操作多少次,都不能使11只杯子都口朝下。
解 将口朝上的杯子记为1,口朝下的记为-1,然后计算每操作一次后11只杯子乘积的正负号:
开始,11只杯子都口朝上,所以乘积的符号为:111=1。
当翻动ｎ个杯子(ｎ为偶数且ｎ≤10)使其口朝下时,乘积的符号为:
111-ｎ·(-1)ｎ=1·1=1
继续讨论可知,无论ｎ是小于11的什么偶数,乘积的正负号均为正,而11只杯子都口朝下时,乘积为(-1)11=-1,故不可能办到。
本问题的一般结论是:奇数个杯子每次翻动偶数个或偶数个杯子每次翻动奇数个,都不能使所有杯子都口朝下。
3 抽屉原理抽屉原理是证明“存在性”问题的有力工具,其最基本形式是:将ｎ+1(或更多)个元素任意放入ｎ个抽屉中,则至少有一个抽屉中至少有两个(或更多)元素。抽屉原理的正确性简单而显然,但具体运用并不容易,困难之处在于怎样设置抽屉,把一个实际问题转化为抽屉原理问题。
例5 世界上任意6个人中,总有3个人,或彼此都认识,或彼此都不认识。
这是有名的Ｒａｍｓｅｙ问题,要用抽屉原理来解。
对6个人中的任一个人,不妨设为Ａ来说,除Ａ外的其余5人可分为同Ａ相识或不同Ａ相识两类(即两个抽屉),由抽屉原理可知,至少有一类中至少有3个人。分别讨论如下:
如果同Ａ都认识的那一类中至少有3人,若有3人互相都不认识,则结论成立;否则至少有两个人互相认识,而这两人又都同Ａ认识,故有3人互相认识,结论也成立。
如果同Ａ都不认识的那一类中至少有3人,若其中有3人互相认识,则结论成立;否则,至少有两人彼此不认识,但这二人又都与Ａ互不认识,故这时有3人互相不认识,结论也成立。
此问题也可以用染色法来证明:
在平面上用Ａ1,Ａ2………Ａ6来代表6个人,设它们无三
证明:考虑由Ａ1出发的5条线,因为只有红、蓝两种颜色(两个抽屉),所以至少有3条为同色,不妨设Ａ1Ａ2、Ａ1Ａ3、Ａ1Ａ4为红色。其次,再考虑△Ａ2Ａ3Ａ4三边的颜色,若均为蓝色则结论成立(此三人互相不认识);否则,至少有一条边为红色,例如Ａ2Ａ3,则△Ａ1Ａ2Ａ3的三边都为红色,结论也成立(此三人彼此都认识)。
例6 已知某学者在五年期间内每月至少发表一篇文章,又知他每年至多发19篇,则可得结论:他必在某连续的几个月内恰好发文24篇,试证明之。
解 设此人在5年内(60个月)每月发文数为ａ1,ａ2……ａ60,又设此数列前ｎ项和为Ｓ1,Ｓ2,…,Ｓ60≤19×5=95。
如果他在某连续的几个月内恰发文24篇,则说明存在两个编号ｉ和ｊ,使得
Ｓｊ=Ｓｉ+24 (1≤ｉ<ｊ≤60)成立。
又Ｓ1+24,Ｓ2+24…,Ｓ60+24≤95+24=119共60个数,连同Ｓ1,Ｓ2…Ｓ60共120个数,将它们写在一起,即
1≤Ｓ1,Ｓ2…Ｓ60,Ｓ1+24…Ｓ60+24≤119
上式表明,在区间〔1,119〕中写了20个整数(元素),但〔1,119〕上只有119个不同的整数(设为抽屉),由抽屉原理知,在Ｓ1,Ｓ2…Ｓ60+24这120个整数中必有两个相等。又因为Ｓ1<Ｓ2…<Ｓ60彼此不相等,从而Ｓ1+20<Ｓ2+24<…<Ｓ60+24也各不相等,因此彼此相等的那两个数必来自两组之中,不妨设为Ｓｊ与Ｓｉ+24相等,即Ｓｊ=Ｓｉ+24成立。
4 逻辑推理有一些涉及逻辑推理方面的问题,可通过逻辑推理方法,将矛盾结论排除,找出合理结论。推理顺序有顺推法和逆推法。
例7 要分派Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ五人去执行一项任务,但按实际情况必须满足以下条件:
(1)若Ａ去,Ｂ也去;
(2)Ｂ、Ｃ两人中至少有一人去;
(3)Ｂ、Ｃ两人中必须去且只能去一人;
《非常规数学问题解法探微》
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例4 有11只杯子都口朝上放着,然后将它们任意翻偶数只算一次操作(翻过的也可以再翻)。证明:无论操作多少次,都不能使11只杯子都口朝下。
解 将口朝上的杯子记为1,口朝下的记为-1,然后计算每操作一次后11只杯子乘积的正负号:
开始,11只杯子都口朝上,所以乘积的符号为:111=1。
当翻动ｎ个杯子(ｎ为偶数且ｎ≤10)使其口朝下时,乘积的符号为:
111-ｎ·(-1)ｎ=1·1=1
继续讨论可知,无论ｎ是小于11的什么偶数,乘积的正负号均为正,而11只杯子都口朝下时,乘积为(-1)11=-1,故不可能办到。
本问题的一般结论是:奇数个杯子每次翻动偶数个或偶数个杯子每次翻动奇数个,都不能使所有杯子都口朝下。
3 抽屉原理抽屉原理是证明“存在性”问题的有力工具,其最基本形式是:将ｎ+1(或更多)个元素任意放入ｎ个抽屉中,则至少有一个抽屉中至少有两个(或更多)元素。抽屉原理的正确性简单而显然,但具体运用并不容易,困难之处在于怎样设置抽屉,把一个实际问题转化为抽屉原理问题。
例5 世界上任意6个人中,总有3个人,或彼此都认识,或彼此都不认识。
这是有名的Ｒａｍｓｅｙ问题,要用抽屉原理来解。
对6个人中的任一个人,不妨设为Ａ来说,除Ａ外的其余5人可分为同Ａ相识或不同Ａ相识两类(即两个抽屉),由抽屉原理可知,至少有一类中至少有3个人。分别讨论如下:
如果同Ａ都认识的那一类中至少有3人,若有3人互相都不认识,则结论成立;否则至少有两个人互相认识,而这两人又都同Ａ认识,故有3人互相认识,结论也成立。
如果同Ａ都不认识的那一类中至少有3人,若其中有3人互相认识,则结论成立;否则,至少有两人彼此不认识,但这二人又都与Ａ互不认识,故这时有3人互相不认识,结论也成立。
此问题也可以用染色法来证明:
在平面上用Ａ1,Ａ2………Ａ6来代表6个人,设它们无三
点共线。将互相认识的两人连一条红线,否则连一条蓝线。问题就转化为:在这15条连线中要证明至少有一个同颜色的三角形。
证明:考虑由Ａ1出发的5条线,因为只有红、蓝两种颜色(两个抽屉),所以至少有3条为同色,不妨设Ａ1Ａ2、Ａ1Ａ3、Ａ1Ａ4为红色。其次,再考虑△Ａ2Ａ3Ａ4三边的颜色,若均为蓝色则结论成立(此三人互相不认识);否则,至少有一条边为红色,例如Ａ2Ａ3,则△Ａ1Ａ2Ａ3的三边都为红色,结论也成立(此三人彼此都认识)。
例6 已知某学者在五年期间内每月至少发表一篇文章,又知他每年至多发19篇,则可得结论:他必在某连续的几个月内恰好发文24篇,试证明之。
解 设此人在5年内(60个月)每月发文数为ａ1,ａ2……ａ60,又设此数列前ｎ项和为Ｓ1,Ｓ2,…,Ｓ60≤19×5=95。
如果他在某连续的几个月内恰发文24篇,则说明存在两个编号ｉ和ｊ,使得
Ｓｊ=Ｓｉ+24 (1≤ｉ<ｊ≤60)成立。
又Ｓ1+24,Ｓ2+24…,Ｓ60+24≤95+24=119共60个数,连同Ｓ1,Ｓ2…Ｓ60共120个数,将它们写在一起,即
1≤Ｓ1,Ｓ2…Ｓ60,Ｓ1+24…Ｓ60+24≤119
上式表明,在区间〔1,119〕中写了20个整数(元素),但〔1,119〕上只有119个不同的整数(设为抽屉),由抽屉原理知,在Ｓ1,Ｓ2…Ｓ60+24这120个整数中必有两个相等。又因为Ｓ1<Ｓ2…<Ｓ60彼此不相等,从而Ｓ1+20<Ｓ2+24<…<Ｓ60+24也各不相等,因此彼此相等的那两个数必来自两组之中,不妨设为Ｓｊ与Ｓｉ+24相等,即Ｓｊ=Ｓｉ+24成立。
4 逻辑推理有一些涉及逻辑推理方面的问题,可通过逻辑推理方法,将矛盾结论排除,找出合理结论。推理顺序有顺推法和逆推法。
例7 要分派Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ五人去执行一项任务,但按实际情况必须满足以下条件:
(1)若Ａ去,Ｂ也去;
(2)Ｂ、Ｃ两人中至少有一人去;
(3)Ｂ、Ｃ两人中必须去且只能去一人;
《非常规数学问题解法探微》
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