浅谈数学的设计
3、建立新数学课程的原则
前面已经谈到促使数学课程改革的条件变化和改革的方向。把数学看成模式的科学和语言的观点为新数学课程奠定了基础，改革仍可采取多种形式，但它应该遵循一些基本原则。美国数学科学教育委员会在《重建中小学数学》（Reshaping School Mathematics）一书中提出了六条原则：
原则1：数学教育必须集中于发展数学能力
数学能力使学生理解数学概念和方法并且在各种情况下辨明数学关系。它帮助学生逻辑地推理，解决各种问题，常规的和非常规的问题。数学能力要求学生能够用数学方法阅读文献，能够用口头和书面的形式表达数量的和逻辑的分析。
数学能力强的学生能够在他的职业和日常生活中使用数学。他们将是数学思想的明智使用者，接受或者拒绝表面上有数学论证的主张，他们将会数学地看事情，知道什么时候数学的分析有助于解释清问题。他们将有充分的数学知识去择业和进一步学习要求精通数学的学科
。
数学能力不包括交流数学的才能。除了知道如何解决问题以外，学生还必须会阅读并理解数学课本并且会口头和书面地把数学研究和问题解决的结果向别人表达。所以，数学课程必须提供适当的情境，让学生能够学习读数学、写数学、说数学。
原则2：数学课程从始至终都应当使用计算器和计算机
学生只有把数学看成配称现代的科目才能获得数学能力。新课程教材必须设计得能从 科学技术的进一步发展预期不断改革。在数学中，不积极参与数学的交际活动过程（猜想与争论、探索和推理、问题提出和解决、计算和检验），一般不可能达到理解。计算器功能像“快笔”，所以能够使数学过程比用纸笔更有用、更有效率。同样，计算机能使学生算得快、画得快，快速地模似过程，使用其他任何手段是难以作到的。所以使用计算器和计算机的教学比传统教学更有潜力，更能使学生获得深刻的理解。
原则3：恰当的应用应当是课程有的机组成部分
学生需要在自然地产生数学思想 的情境——从简单的计算和度量到商业和科学中的应用——中体验数学思想。计算器和计算机使得在课程中能够引进实际应用。
一项应用是否恰当重要的标准是看它是否能引起学生兴趣。是否是激发他们的数学思维，有吸引力的应用应当取自儿童生活的世界，取自社会事件，或课程的其他部分，不仅取自自然科学，也要取自商业、地理、艺术和其他科目。
教学的基本目的应当是让学生学会在反映实际应用的情境中使用数学工具。数学思想总是应当在有意义的数学活动的情境中呈现和发展。
原则4：课程的每一部分都应当由其本身的价值来证明其必要性。
数学提供了如此丰富、大量有趣、有用的思想，以至难以挑选。然而，课程中不能仅仅因为现在已经有了的概念或技能就应当保留。虽然在现在的课程中有许多是有效的，但是我们不能再把“课程中已经有了”作为这个课题应当保留的主要理由。我们需要“从零开始”，没有一个思想不作仔细考查。
修订课程不应当只是增加更多的课题，而是确立重点，有些重点应当取消，有消增加，有些保留。甚至对于确实要保留的重要重点，现代应用或现代技术可以作十分不同的处理。常常一种新颖的处理方法可以避免阻止必要改革的思想僵化。 原则5：课程的选材应当和中小学数学的现代化标准相一致。
新的“中小学数学课程和评价标准（NCTM，1989）提供了一类课程标准的范例，应当用来作评定中小学数学课题的价值的标准。课程的选材应当和这些课程标准相一致，改革的步子如此巨大，甚至现在的课程指南未适应明天的需要。课程改革要求持续地努力，植限于学校的现实，目标坚定地指向未来。
原则6：各级的数学教学都应当促进学生积极参与
恰当使用新技术要求有新的数学教学方法，使学生成为更积极的学习者。除了使用新技术之外，关于学生如何学习的研究提出了更多教数学的有效 方法。数学教学必须适应这两方面的发展，大多数的数学教学不再适于传统的老师教学生被动地听的模式。
没有单独的一种教学方法。也没有单独的一类学习经验能够发展各种数学能力。需要的是各种活动，包括学生之间的讨论，实习作业，重要技术的实践。问题解决，日常的应用，调研工作，以及教师讲解。
教师应当是催化剂，他帮助学生学会自己思考，他们不应当只扮演教育者，其作用只是告诉学生“正确方法”。此外，课堂活动应当给学生提供充分的机会用书面和口头的数学语言彼此交流。
一个有用的比喻是，教师是一个明智的辅导员，不同的时间，要求教师充当以下不同角色：
模特儿角色，他不仅演示正确途径，而且也演示错误的开端和高级思维技能，引导去解决问题；
顾问，他帮助个人、小组、全班决定他们的工作是否保持了主题，进展得是否合理；
仲裁人，他提出总是让学生考虑，但把决定留给全班去做；
对话者，他支持学生在班上发表意见，鼓励他们靠自己的活动去做出反应，靠自己去探索数学；
询问者，他鞭策学生弄清他们做什么才是合理的、有目的的，使学生确信他们能够捍卫自己的结论。（未完，待续）
4、新数学课程目的
数学教学有几个非常不同的目的，它们是数学在社会中的作用的反映。它们是：
实用目的：帮助个人解决日常生活问题。
公民目的：使公民能够明智地参加公民事务。
职业目的：为学生找工作、就业、或学业备作准备。
文化目的：传递人类文化的主要因素。
为达到这些目的所必需的数学知识在二十世纪已有了巨大变化。以后还将比以前变得更快。前面在讨论条件的重要变化时已涉及，这里不再赘述。
这里要谈的目的是前面的一般原则的具体化。它们可以为新的数学课程提供一个构造性的框架。
第一，小学数学的基本目的是发展数的意识(Number Sense)
学生用数值住处去有效地说理的能力要求有以下的体验：
表达——用数表达数量和数量关系的能力。
操作——熟练一位新的算术；决定适当的算术程序的能力；熟练估算；选择适当方法进行复杂计算的经验。
解释——从数据中抽取结论的能力和为了准确性和合理性去检验数据和结论的能力。
小学教学应当使用具体材料、计算机软件和计算器。应当强调心算，特别是估算多位数计算和结果，同时应当大大削减教多位数、分数和小数的传统笔算方法的时间。用这种观点处理算术的小学课程将同今天教的普通算术显著不同。今天的小学数学的中心任务是发展整数、分数、小数的各种运算的手工技巧。要根本改革教学，不再强调这些课题，而增加说理、发现模式、辨明正确程序以及抽取结论的机会，这样安排着重点的小学数学课程会使数量推理的水准获得惊人的进步。 第二，小学数学应当为数学打好一切方面的基础
如果学生为就业和日常生活作更好的数学准备，小学数学就必须包括比算术更多的科目：
几何，包含二维、三维对象的性质，对称和全等，几何图形的作图和几何图形的变换；
度量，包括度量单位，报时，量温，算钱；
数据分析，包括搜集、整理、表示和解释数据；制作统计图表；以及用数据去作分析和预测；
概率，介绍简单实验和数据搜集；
离散数学，包括基础组合思想和用图作问题模型。
每个这样的课题都能够起到使小学数学课程更有趣、更适合学生的显著作用。几何提供了看物理世界的明显窗户，现在通过计算机画图更提高了明显程度，在数学里和
在生活中一样，一图值千言，度量即使很年轻的儿童也能提供有意义的应用。并加强数的概念。数据分析提供了有趣、合适的问题的源泉，概率也如此，它还能和熟悉的游戏联系。代数的一些概念能把学生引向简单的抽象，而离散数学提供一些课题，使数学能与许多领域联系，特别是和计算机联系。 另外，教学应当是综合的，使得不同领域间的关系得以领悟和加强。比如，教师应当加强算术在几何和概率中的应用，以及几何概念在数据表示中的使用。
第三，在一切 《浅谈数学的设计》
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