数学教学中教师该做些什么?——对一节研究性教学课例的思考
地生发并由此而深刻地体验“由特殊到一般”的研究思想？
其次，在学生6回答完毕之后，教师提出的“那么学生3的猜想中有合理的地方吗？”也给人一种“生硬”的感觉．即如果没有教师这种突兀的指引，学生能否采取这样一种策略呢？
事实上，以上两个地方正是探究活动暨思维教育的重要环节，因而我们就不得不为师生感到担心：是否错过了思维教育或磨砺的重要机会？
笔者以为，对于前一问题，我们是否可以这样处理，即在提出“圆锥曲线的焦点弦问题是解析几何中一个非常重要的问题．今天，我们就来共同研究抛物线焦点弦的有关性质”这一问题之后，教师并不讲授通径的概念，而是放手让学生自行去探究一阵，包括鼓励和指导学生几个人一组地“共同”探究．
可以说，以上的改进方案就给予了学生更具真实性和挑战性的问题：没有了“通径”这一具体条件，问题更为开放；没有“通径”这一特殊情形的提示，对一般情形的研究也更为真实．从而，“问题”给予学生的探究空间就更为广阔，引发的探究性活动就更具自主性．同时，由于给予了学生自主探究的时间，特别是通过小组共同研究，学生更易被广泛地调动起来，他们的思维也更能在思想的交流、碰撞和启发中得到激活，并从不同的角度广泛和深入地展开，从而为接下来全班性的师生共同研讨打下必要的基础．
事实上，学生通过自觉或盲目的探究更易发现并从整体上感知“抛物线的焦点弦的长在它垂直于横轴时最短，而当它的倾斜角由90?°?逐渐减小到0?°?时，抛物线的焦点弦就逐渐变成抛物线的对称轴，它的长度将由2p趋于无穷大”．而且，由于此种情况下此结论往往首先是从图形(的变化）上看出来的，因而就不会像课例中那样受已有结论“｜ＡＢ｜＝２ｐ”的干扰了．特殊地，由此数形结合思想及解析几何所蕴含的“运动观”就能更广泛地得到体验和认识．
特别地，由此也更有利于学生形成良好的数学观，体会和认识“特殊到一般”的方法论，增进发现问题和提出问题的能力，形成创新的意识和科研的欲望，获得成功的体验和成就后的满足．即,通过以上，学生可以清晰地看到，“通径”的概念是数学上必要和合理的“创造”，而“特殊”在科学研究中具有重要的研究价值，“特殊到一般”是科学研究的重要方法论，学习不等于被动接受，他们是可以有所创造的！
对于后一问题，笔者以为，此时完全可以放手让学生自行（包括独立思考和合作讨论）去尝试证明（开放），而没有必要把学生的思维突然指引到学生3的解答上去（收敛）．不要怕学生找不到合理或高效的思路，学生在由盲目到自觉、由失败到成功的曲折历程（体验）中更能理解和认识“错误之中有合理的地方”、“要善于从失败之中汲取有益的成分获得有益的启示”，这比单纯地由教师给出这一道理更为有效——这也是一种启发式或灌输式．
事实上，以上的讨论已提醒我们，思维方法的教育一如知识的教授，也是不可灌输而只能让学生从自己已有的知识和经验出发，在“经历”问题解决的过程中自主建构的；在问题解决的过程中，只有方向是他（们）自己选择的，子问题是他（们）自己提出的，信息是他（们）自己收集处理的，方法是他（们）自己思考（包括相互交流、相互启发）获得的，才能真正地、有效地培养学生勇于创新的意识、独立思考的精神、问题解决的能力特别是提出问题的能力，以及合作、交流的行为方式．因此，我们在试图进行思维方法教育时，就需要进行必要的放手，特别是在某些重要环节，我们又必须尽可能地放手，否则易使设计之中的思维方法教育成为实际上的“知识（经验）灌输”．
一般地说，在此课例中，问题基本上是教师提出来的，而学生基本上是被教师从一个问题引领到另一问题，基本上只是在尝试解决教师所提问题而没有“提出问题”的行为．特别是在一些探究的关键环节上，学生尚未多加思考时教师便已主动地“牵引”（提问）学生前行，实是遗憾．
事实上，以上就涉及了一种更为普遍和值得探讨的教学现象，即在许多数学课堂上，我们往往看到问题一提出来教师即让学生口答，问题最终在教师和几位学生的“问——答”之中解决了．当然，有时也有一些学生能跟上来，能听懂他们之间的对话并参与其中（齐答)．但事实上．由于每个学生具有的知识和经验不尽相同，他们对问题的感知、理解、探究、解答的方式、方法、进程也是不尽相同的，特别是在速度上往往相差很大．从而在这样的教学当中，我们就往往可以看到这样一种现象，即当部分（往往是少部分）对问题的感知、理解、探究、解答走在前面的学生说出他们的思考之际，另一部分（往往是大部分）学生便丧失了经历对问题的感知、理解、探究、解答的机会，因为发言者已使他们的认识“一步到位”了．试想，这种“得来全不费功夫”的问题解决对他们来说到底具有多大的意义呢？即便许多学生能“听懂”发言者的解答或他与教师之间的对话!更何况在许多课堂中．许多学生因此便只能当“看客”了．“事非经过不知难”．不经历问题解决活动的实际探索过程，特别是不经历其中“发生错误、产生障碍、克服困难、由失败走向成功”的过程，谁能真正学会思维，学会解决问题？
笔者以为，从以上讨论可见，此课例在此也存在着这一问题．又比如，从发表的课例实录来看，在学生3的猜想受到质疑之际，教学活动主要是教师与学生3、4、5、6之间的对话．此时，教师给予了学生3“充分表达自己想法的机会和探索的时间”，即没有给予其他学生足够的独立思考或相互讨论的时空．那么，除学生6之外，还有几人已发现抛物线的焦点弦的这一性质？同样地，对于抛物线的焦点弦的性质的证明，教师也没有给予学生独立思考或相互讨论的时空，那么除学生9之外，还有几人已想到了设直线的方程并与抛物线方程联立加以证明？既然舍得花“一分钟”时间让学生动手演算，那么是否可以再花“一分钟”时间让学生动脑思考再组织他们交流、讨论呢？
总的来说，瑕不掩玉，从这节课例我们不难看到，数学研究性教学所展示的数学其内容是那样的丰富多彩，其思维是那样的鲜活生动，整个探究活动是那样的充满智慧和挑战，教育意义是那样的丰富完整．因此，以研究的方式从事数学教学就可以摆脱传统的数学?教学?枯燥无味、有知识教授缺乏能力培养、忽视情?感态度?价值观教育等弊端与不足，使数学教学焕发青春活力 《数学教学中教师该做些什么?——对一节研究性教学课例的思考》
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其次，在学生6回答完毕之后，教师提出的“那么学生3的猜想中有合理的地方吗？”也给人一种“生硬”的感觉．即如果没有教师这种突兀的指引，学生能否采取这样一种策略呢？
事实上，以上两个地方正是探究活动暨思维教育的重要环节，因而我们就不得不为师生感到担心：是否错过了思维教育或磨砺的重要机会？
笔者以为，对于前一问题，我们是否可以这样处理，即在提出“圆锥曲线的焦点弦问题是解析几何中一个非常重要的问题．今天，我们就来共同研究抛物线焦点弦的有关性质”这一问题之后，教师并不讲授通径的概念，而是放手让学生自行去探究一阵，包括鼓励和指导学生几个人一组地“共同”探究．
可以说，以上的改进方案就给予了学生更具真实性和挑战性的问题：没有了“通径”这一具体条件，问题更为开放；没有“通径”这一特殊情形的提示，对一般情形的研究也更为真实．从而，“问题”给予学生的探究空间就更为广阔，引发的探究性活动就更具自主性．同时，由于给予了学生自主探究的时间，特别是通过小组共同研究，学生更易被广泛地调动起来，他们的思维也更能在思想的交流、碰撞和启发中得到激活，并从不同的角度广泛和深入地展开，从而为接下来全班性的师生共同研讨打下必要的基础．
事实上，学生通过自觉或盲目的探究更易发现并从整体上感知“抛物线的焦点弦的长在它垂直于横轴时最短，而当它的倾斜角由90?°?逐渐减小到0?°?时，抛物线的焦点弦就逐渐变成抛物线的对称轴，它的长度将由2p趋于无穷大”．而且，由于此种情况下此结论往往首先是从图形(的变化）上看出来的，因而就不会像课例中那样受已有结论“｜ＡＢ｜＝２ｐ”的干扰了．特殊地，由此数形结合思想及解析几何所蕴含的“运动观”就能更广泛地得到体验和认识．
特别地，由此也更有利于学生形成良好的数学观，体会和认识“特殊到一般”的方法论，增进发现问题和提出问题的能力，形成创新的意识和科研的欲望，获得成功的体验和成就后的满足．即,通过以上，学生可以清晰地看到，“通径”的概念是数学上必要和合理的“创造”，而“特殊”在科学研究中具有重要的研究价值，“特殊到一般”是科学研究的重要方法论，学习不等于被动接受，他们是可以有所创造的！
对于后一问题，笔者以为，此时完全可以放手让学生自行（包括独立思考和合作讨论）去尝试证明（开放），而没有必要把学生的思维突然指引到学生3的解答上去（收敛）．不要怕学生找不到合理或高效的思路，学生在由盲目到自觉、由失败到成功的曲折历程（体验）中更能理解和认识“错误之中有合理的地方”、“要善于从失败之中汲取有益的成分获得有益的启示”，这比单纯地由教师给出这一道理更为有效——这也是一种启发式或灌输式．
事实上，以上的讨论已提醒我们，思维方法的教育一如知识的教授，也是不可灌输而只能让学生从自己已有的知识和经验出发，在“经历”问题解决的过程中自主建构的；在问题解决的过程中，只有方向是他（们）自己选择的，子问题是他（们）自己提出的，信息是他（们）自己收集处理的，方法是他（们）自己思考（包括相互交流、相互启发）获得的，才能真正地、有效地培养学生勇于创新的意识、独立思考的精神、问题解决的能力特别是提出问题的能力，以及合作、交流的行为方式．因此，我们在试图进行思维方法教育时，就需要进行必要的放手，特别是在某些重要环节，我们又必须尽可能地放手，否则易使设计之中的思维方法教育成为实际上的“知识（经验）灌输”．
一般地说，在此课例中，问题基本上是教师提出来的，而学生基本上是被教师从一个问题引领到另一问题，基本上只是在尝试解决教师所提问题而没有“提出问题”的行为．特别是在一些探究的关键环节上，学生尚未多加思考时教师便已主动地“牵引”（提问）学生前行，实是遗憾．
事实上，以上就涉及了一种更为普遍和值得探讨的教学现象，即在许多数学课堂上，我们往往看到问题一提出来教师即让学生口答，问题最终在教师和几位学生的“问——答”之中解决了．当然，有时也有一些学生能跟上来，能听懂他们之间的对话并参与其中（齐答)．但事实上．由于每个学生具有的知识和经验不尽相同，他们对问题的感知、理解、探究、解答的方式、方法、进程也是不尽相同的，特别是在速度上往往相差很大．从而在这样的教学当中，我们就往往可以看到这样一种现象，即当部分（往往是少部分）对问题的感知、理解、探究、解答走在前面的学生说出他们的思考之际，另一部分（往往是大部分）学生便丧失了经历对问题的感知、理解、探究、解答的机会，因为发言者已使他们的认识“一步到位”了．试想，这种“得来全不费功夫”的问题解决对他们来说到底具有多大的意义呢？即便许多学生能“听懂”发言者的解答或他与教师之间的对话!更何况在许多课堂中．许多学生因此便只能当“看客”了．“事非经过不知难”．不经历问题解决活动的实际探索过程，特别是不经历其中“发生错误、产生障碍、克服困难、由失败走向成功”的过程，谁能真正学会思维，学会解决问题？
笔者以为，从以上讨论可见，此课例在此也存在着这一问题．又比如，从发表的课例实录来看，在学生3的猜想受到质疑之际，教学活动主要是教师与学生3、4、5、6之间的对话．此时，教师给予了学生3“充分表达自己想法的机会和探索的时间”，即没有给予其他学生足够的独立思考或相互讨论的时空．那么，除学生6之外，还有几人已发现抛物线的焦点弦的这一性质？同样地，对于抛物线的焦点弦的性质的证明，教师也没有给予学生独立思考或相互讨论的时空，那么除学生9之外，还有几人已想到了设直线的方程并与抛物线方程联立加以证明？既然舍得花“一分钟”时间让学生动手演算，那么是否可以再花“一分钟”时间让学生动脑思考再组织他们交流、讨论呢？
总的来说，瑕不掩玉，从这节课例我们不难看到，数学研究性教学所展示的数学其内容是那样的丰富多彩，其思维是那样的鲜活生动，整个探究活动是那样的充满智慧和挑战，教育意义是那样的丰富完整．因此，以研究的方式从事数学教学就可以摆脱传统的数学?教学?枯燥无味、有知识教授缺乏能力培养、忽视情?感态度?价值观教育等弊端与不足，使数学教学焕发青春活力 《数学教学中教师该做些什么?——对一节研究性教学课例的思考》
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