谈谈“暴露式”的数学教学过程
黄育粤，原系福建省福安市实验小学副校长兼教导主任。现任福建省小学数学教育研究委员会常务委员， 宁德地区教育学会常务理事，并受聘于厦门英才学校。
他致力于小学教育管理和教学研究30余年。治学严谨、教书育人，善于探索教学规律，具有“教风正、教 法巧、抓得实、效果好”的特色，常把激发兴趣、注重“双基”、教给方法、培养习惯、发展能力融于一体， 以提高学生的整体素质。曾培养多位青年教师在省级以上小学数学课堂教学竞赛和论文评选中获一、二等奖。 在全国30多家省级以上报刊发表教育、教学论文200余篇， 教研成果《学生学习主动性的培养与发展》入选《 世纪文典》一书。由他撰稿、主讲的电视教育评论《注重学生“参与”，着眼素质提高》等在中央教育电视台 和福建电视台播放。他的事迹被收入《中国特级教师辞典》一书。主要著述有：《概念教学与能力培养》、《 把思维的方法教给学生》、《基础·能力·素质》、《研究学法改进教法》等。
长期以来，数学教学一直停留在知识型的教学模式上。教学中，过于强调对数学概念、法则、性质、公式 的灌输与记忆，忽视了对这些知识的产生、发展、形成和应用过程的揭示和探究，不善于将这一过程中丰富的 思维训练因素挖掘出来，也不善于将知识中蕴藏的丰富的思想方法加以暴露，学生学到的是无本之木，无源之 水的知识。随着教学改革的不断深入，已有不少教师认识到数学教学的本质应是“数学思维活动过程”的教学 。在这一“活动过程”的教学中，应暴露数学概念的形成过程、规律的探索过程、结论的推导过程及方法的思 考过程等。要让学生在原有知识和经验的基础上，在主动参与中，通过操作和实践，由外部活动逐渐内化，完 成知识的发展过程和“获取”过程，使学生既长知识，又长智慧。下面谈谈我的做法和体会。
一、概念形成过程的教学
数学概念是人们对数学现象和过程的认识在一定阶段上的总结，是以精辟的思维形式表现大量知识的一种 手段。在概念教学中，我首先暴露概念提出的背景，暴露其抽象、概括的过程，将浓缩了的知识充分稀释，便 于学生吸收。
例如，“体积”概念的教学，就应紧扣概念的产生、发展、形成和应用的有序思维过程来精心设计。
1.首先让学生观察一块橡皮擦和一块黑板擦，问学生哪个大，哪个小？又出示两个棱长分别是5厘米和3厘 米的方木块，问学生哪个大，哪个小？通过比较，学生初步获得物体有大小之分的感性认识。
2.拿出两个相同的烧杯，盛有同样多的水，分别向烧杯里放入石子和石块，结果水位明显上升。然后引导 学生讨论烧杯里的水位为什么会上升？学生又从这一具体事例中获得了物体占有空间的表象。
3.引导学生分析、比较，为什么烧杯里的水位会随着石块的增大而升高。在这一思维过程中，学生就能比 较自然地导出：“物体所占空间的大小叫作体积”这一概念。
4.接着我又让学生举出其它有关体积的例子，或用体积概念解释有关现象，使体积概念在应用中得到巩固 。如先在烧杯里盛满水，然后放入石块，问学生从杯里溢出的水的多少与石块有什么关系？经过观察、分析， 学生便能准确地回答：从杯里溢出的水的体积与石块的体积相等。接着再把石块从水中取出，杯里的水位下降 ，学生立即说出，水位下降的部分，就是石块所占空间的体积。这样，既提高了学生的学习兴趣，又加深了对 新学概念的理解。因而，“体积”概念的建立过程，是通过观察、比较、分析、抽象概括的过程，体现了学生 在教师的引导下，环环相扣、步步递进、主动参与了这个“从感知经表象达到认识”的思维过程，学生在知识 的形成过程中认识并掌握了数学概念，学到知识的同时又学到了获取知识的方法。
二、规律探索过程的教学
课堂教学是师生的双边活动，教师的“教”是为了诱导学生的“学”。在教学过程中，我常根据教材的内 在联系，利用学生已有的基础知识，引导学生主动参与探索新知识，发现新规律。这对学生加深理解旧知识， 掌握新知识、培养学习能力是十分有效的。
例如，教学“能化成有限小数的分数的特征”时，课始，我就很神秘地请学生考老师，让学生随意说出一 些分数，如1／2、5／6、7／25、7／15……我很快判断出能否化成有限小数， 并让两个学生用计算器当场验证 ，结果全对。正当学生又高兴又惊奇时，我说：“这不是老师的本领特别大，而是老师掌握了其中的规律，你 们想不想知道其中的奥秘呢？”学生异口同声地说：“想”。从而创设了展开教学的最佳情境。我紧接着问： “这个规律是存在于分数的分子中呢？还是存在于分数的分母中？”当学生观察到 7／25与7／15，分子相同， 但7／25能化成有限小数，而7／15却不能时，学生首先发现规律存在于分母中。 我追问：“能化成有限小数的 分数的分母有什么特征呢？”学生兴趣盎然地议论开了：有的同学说分母是合数的分数，但 7／15不能化成有 限小数，而1／2却又能化成有限小数；有的同学又说分母应是偶数的分数，但 5／6不能化成有限小数，7／25 却可以化成有限小数……这时，我不再让学生争论了，而是启发学生试着把分数的分母分解质因数，从而发现 了能化成有限小数的分数特征。正当学生颇有大功告成之态时，我又不失时机地指出8／24与6／24，为什么分 母同是24，化成小数却有两种不同的结果？学生的认识又激起了新的冲突，从而再次引导学生通过实践、思考 ，自己发现了必须是“一个最简分数”这一重要前提条件。学生在知识内在魅力的激发下，克服了一个又一个 的认知冲突，主动地投入到知识的发生、发展、形成的过程中，尝到了自己探索数学规律的乐趣。
三、结论推导过程的教学
数学是一门逻辑性很强的学科，它的逻辑性强，首先反映在系统严密、前后连贯上，每个知识都不是孤立 的，它既是旧知识的发展，又是新知识的基础。遵循小学生的认识规律，引导学生运用已有知识去推导新的结 论，才能发展学生的学习能力。例如，教学《面积单位间的进率》时，启发学生：我们已学过长度单位，知道 每相邻两个单位间的进率是10，就是1米＝10分米、1分米＝10厘米等。那么，现在学习面积单位，它们每相邻 的两个面积单位间的进率是多少呢？这一数学结论我并没有直接告诉学生。凡新旧知识间有联系的，我都要让 学生运用已有的结论，通过自己的思考，推导出新的数学结论。如，可以让学生拿出边长 1分米的正方形，先 用分米作单位量一量边长，说出它的面积是多少平方分米。然后再想想用厘米作单位，边长应是多少厘米，它 的面积是多少平方厘米。从而推导出1平方分米＝100平方厘米。紧接着再让学生用左手拿着1平方分米的方块， 右手拿着1平方厘米的方块，看看1 平方分米含有多少个（10×10）平方厘米，以便牢固地记住1平方分米与1平 方厘米间的进率是100的结论。用同样的方法也可以推导出1平方米＝100 平方分米。最后得出结论：每相邻两 个面积单位间的进率是100。
四、方法思考过程的教学
过去我讲课时，急于代替学生思考，把一些计算或解题的方法和盘地教给学生，这种教学，学生吃的是现 成饭，学得快，忘得也快，更谈不上自己去寻找方法。为了改变这种状况，我只在教学重点的地方设问，在关 键处启发，然后让学生动脑、动手寻找方法解决问题。思考过程是一种艰苦的脑力劳动过程，我不仅要求学生 勤于思考，而且还要善于思考。
例如，教学《分数除以整数》时，当讲完分数除法的意义后，出示例题“把4／5米铁丝平均分成2段，每段 长多少米？ ”引导学生理解题意后，列出算式：4／5÷2。这是一道分数除以整数的算式， 怎么计算呢？我并 没有把分数除以整数的方法告诉学生，而让学生分组进行讨论。小组通过集体讨论后，选派代表上讲台介绍各 组解决问题的方法：
第一种方法：先把“4／5”化成小数，4／5÷2＝0.8÷2＝0.4（米）；
第二种方法：按照分数和分数单位的意义解决问题，把4／5米平均分成2段，就是把4个1／5平均分成2份， 每份是2个1／5米，所以，4／5÷2＝4÷2／5＝2／5 《谈谈“暴露式”的数学教学过程》
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他致力于小学教育管理和教学研究30余年。治学严谨、教书育人，善于探索教学规律，具有“教风正、教 法巧、抓得实、效果好”的特色，常把激发兴趣、注重“双基”、教给方法、培养习惯、发展能力融于一体， 以提高学生的整体素质。曾培养多位青年教师在省级以上小学数学课堂教学竞赛和论文评选中获一、二等奖。 在全国30多家省级以上报刊发表教育、教学论文200余篇， 教研成果《学生学习主动性的培养与发展》入选《 世纪文典》一书。由他撰稿、主讲的电视教育评论《注重学生“参与”，着眼素质提高》等在中央教育电视台 和福建电视台播放。他的事迹被收入《中国特级教师辞典》一书。主要著述有：《概念教学与能力培养》、《 把思维的方法教给学生》、《基础·能力·素质》、《研究学法改进教法》等。
长期以来，数学教学一直停留在知识型的教学模式上。教学中，过于强调对数学概念、法则、性质、公式 的灌输与记忆，忽视了对这些知识的产生、发展、形成和应用过程的揭示和探究，不善于将这一过程中丰富的 思维训练因素挖掘出来，也不善于将知识中蕴藏的丰富的思想方法加以暴露，学生学到的是无本之木，无源之 水的知识。随着教学改革的不断深入，已有不少教师认识到数学教学的本质应是“数学思维活动过程”的教学 。在这一“活动过程”的教学中，应暴露数学概念的形成过程、规律的探索过程、结论的推导过程及方法的思 考过程等。要让学生在原有知识和经验的基础上，在主动参与中，通过操作和实践，由外部活动逐渐内化，完 成知识的发展过程和“获取”过程，使学生既长知识，又长智慧。下面谈谈我的做法和体会。
一、概念形成过程的教学
数学概念是人们对数学现象和过程的认识在一定阶段上的总结，是以精辟的思维形式表现大量知识的一种 手段。在概念教学中，我首先暴露概念提出的背景，暴露其抽象、概括的过程，将浓缩了的知识充分稀释，便 于学生吸收。
例如，“体积”概念的教学，就应紧扣概念的产生、发展、形成和应用的有序思维过程来精心设计。
1.首先让学生观察一块橡皮擦和一块黑板擦，问学生哪个大，哪个小？又出示两个棱长分别是5厘米和3厘 米的方木块，问学生哪个大，哪个小？通过比较，学生初步获得物体有大小之分的感性认识。
2.拿出两个相同的烧杯，盛有同样多的水，分别向烧杯里放入石子和石块，结果水位明显上升。然后引导 学生讨论烧杯里的水位为什么会上升？学生又从这一具体事例中获得了物体占有空间的表象。
3.引导学生分析、比较，为什么烧杯里的水位会随着石块的增大而升高。在这一思维过程中，学生就能比 较自然地导出：“物体所占空间的大小叫作体积”这一概念。
4.接着我又让学生举出其它有关体积的例子，或用体积概念解释有关现象，使体积概念在应用中得到巩固 。如先在烧杯里盛满水，然后放入石块，问学生从杯里溢出的水的多少与石块有什么关系？经过观察、分析， 学生便能准确地回答：从杯里溢出的水的体积与石块的体积相等。接着再把石块从水中取出，杯里的水位下降 ，学生立即说出，水位下降的部分，就是石块所占空间的体积。这样，既提高了学生的学习兴趣，又加深了对 新学概念的理解。因而，“体积”概念的建立过程，是通过观察、比较、分析、抽象概括的过程，体现了学生 在教师的引导下，环环相扣、步步递进、主动参与了这个“从感知经表象达到认识”的思维过程，学生在知识 的形成过程中认识并掌握了数学概念，学到知识的同时又学到了获取知识的方法。
二、规律探索过程的教学
课堂教学是师生的双边活动，教师的“教”是为了诱导学生的“学”。在教学过程中，我常根据教材的内 在联系，利用学生已有的基础知识，引导学生主动参与探索新知识，发现新规律。这对学生加深理解旧知识， 掌握新知识、培养学习能力是十分有效的。
例如，教学“能化成有限小数的分数的特征”时，课始，我就很神秘地请学生考老师，让学生随意说出一 些分数，如1／2、5／6、7／25、7／15……我很快判断出能否化成有限小数， 并让两个学生用计算器当场验证 ，结果全对。正当学生又高兴又惊奇时，我说：“这不是老师的本领特别大，而是老师掌握了其中的规律，你 们想不想知道其中的奥秘呢？”学生异口同声地说：“想”。从而创设了展开教学的最佳情境。我紧接着问： “这个规律是存在于分数的分子中呢？还是存在于分数的分母中？”当学生观察到 7／25与7／15，分子相同， 但7／25能化成有限小数，而7／15却不能时，学生首先发现规律存在于分母中。 我追问：“能化成有限小数的 分数的分母有什么特征呢？”学生兴趣盎然地议论开了：有的同学说分母是合数的分数，但 7／15不能化成有 限小数，而1／2却又能化成有限小数；有的同学又说分母应是偶数的分数，但 5／6不能化成有限小数，7／25 却可以化成有限小数……这时，我不再让学生争论了，而是启发学生试着把分数的分母分解质因数，从而发现 了能化成有限小数的分数特征。正当学生颇有大功告成之态时，我又不失时机地指出8／24与6／24，为什么分 母同是24，化成小数却有两种不同的结果？学生的认识又激起了新的冲突，从而再次引导学生通过实践、思考 ，自己发现了必须是“一个最简分数”这一重要前提条件。学生在知识内在魅力的激发下，克服了一个又一个 的认知冲突，主动地投入到知识的发生、发展、形成的过程中，尝到了自己探索数学规律的乐趣。
三、结论推导过程的教学
数学是一门逻辑性很强的学科，它的逻辑性强，首先反映在系统严密、前后连贯上，每个知识都不是孤立 的，它既是旧知识的发展，又是新知识的基础。遵循小学生的认识规律，引导学生运用已有知识去推导新的结 论，才能发展学生的学习能力。例如，教学《面积单位间的进率》时，启发学生：我们已学过长度单位，知道 每相邻两个单位间的进率是10，就是1米＝10分米、1分米＝10厘米等。那么，现在学习面积单位，它们每相邻 的两个面积单位间的进率是多少呢？这一数学结论我并没有直接告诉学生。凡新旧知识间有联系的，我都要让 学生运用已有的结论，通过自己的思考，推导出新的数学结论。如，可以让学生拿出边长 1分米的正方形，先 用分米作单位量一量边长，说出它的面积是多少平方分米。然后再想想用厘米作单位，边长应是多少厘米，它 的面积是多少平方厘米。从而推导出1平方分米＝100平方厘米。紧接着再让学生用左手拿着1平方分米的方块， 右手拿着1平方厘米的方块，看看1 平方分米含有多少个（10×10）平方厘米，以便牢固地记住1平方分米与1平 方厘米间的进率是100的结论。用同样的方法也可以推导出1平方米＝100 平方分米。最后得出结论：每相邻两 个面积单位间的进率是100。
四、方法思考过程的教学
过去我讲课时，急于代替学生思考，把一些计算或解题的方法和盘地教给学生，这种教学，学生吃的是现 成饭，学得快，忘得也快，更谈不上自己去寻找方法。为了改变这种状况，我只在教学重点的地方设问，在关 键处启发，然后让学生动脑、动手寻找方法解决问题。思考过程是一种艰苦的脑力劳动过程，我不仅要求学生 勤于思考，而且还要善于思考。
例如，教学《分数除以整数》时，当讲完分数除法的意义后，出示例题“把4／5米铁丝平均分成2段，每段 长多少米？ ”引导学生理解题意后，列出算式：4／5÷2。这是一道分数除以整数的算式， 怎么计算呢？我并 没有把分数除以整数的方法告诉学生，而让学生分组进行讨论。小组通过集体讨论后，选派代表上讲台介绍各 组解决问题的方法：
第一种方法：先把“4／5”化成小数，4／5÷2＝0.8÷2＝0.4（米）；
第二种方法：按照分数和分数单位的意义解决问题，把4／5米平均分成2段，就是把4个1／5平均分成2份， 每份是2个1／5米，所以，4／5÷2＝4÷2／5＝2／5 《谈谈“暴露式”的数学教学过程》
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