教育教学论文|数学教学中发展学生联想能力的实践与认识
过“类比是伟大的引路人”。
在解题过程中为了寻找问题的解决线索，往往借助于类比联想，以达到启发思路的目的，因此，类比联想在求解问题中有着广泛的应用。在解题教学中采用类比教学，可以达到梳理知识、归纳题型、总结解题方法，这样做既有利于学生记忆和掌握所学知识，又有利于培养学生联想思维的灵活性。
例1． 求证：若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0则x,y,z成等差数列。
[思路分析]：观察已知条件的外形，可联想到一元二次方程的根的判别式
△ =b2-4ac非常相似，则类比题设可以构造一个一元二次方程来求解。于是我们可把已知条件看作是t的二次方程 （x-y）t2+(z-x)t+(y-z)=0有等根的条件。
再次观察还可以发现方程左边的系数之和为零，故方程有两个根为1，于是由韦达定理得：t1t2= =1
说明，由本例可见，一般的类比联想解决问题线索为：观察——类比——联想。
例2． x R,求函数y= + 的最小值.
[思路分析]：求这样的无理函数的最值，用代数法直接求解较难，可由条件联想到距离公式，作如下变形：
y= +
设p(x,0),A(-1,-1),B(2,2)如图1所示，
于是求y的最小值转化为求x轴上一点p，
使 ︱PA︱+︱PB︱最小显然是︱PA︱+︱PB︱≥︱AB︱=3
∴当x=0时,y =3
说明由“数”到“形”的类比联想，获得解题的新思路。
(一） 接近联想
接近联想是指在相互接近的事物之间形成的联想。接近联想是从已知探索未知的有力武器。化学元素周期表的发现便是有力的例证，在数学教学中我们要培养学生学会观察问题的条件和结论，联想到与之内容相近的有关知识，从而发现解决问题的思路。
例3：设(x-3)2+(y-3)2=6，试求
(1)y/x的最大值、最小值；（2）x2+y2最大值、最小值。
[思路分析]：已知的方程代表一个圆Q，如图2，题中的点M(x,y)均在圆周上，观察第（1）题中的“y/x”
可以联想到直线OM 的斜率，
欲求y/x 的极值，就是要求直线OM的斜率的极值，即切线OT1，OT2观察第（2）题中的”x2+y2”,可以联想到距离公式，而x2+y2的极值就是OQ与圆Q的交点p1、p2到原点O的距离。因此，两个问题都不难解决。
说明：此题运用接近联想把相互接近的式子巧妙地联系在一起，再找出解题方法。
（三）对比联想
对比联想亦称相反联想。是指具有相反特征的事物或相互对立的事物之间所形成的联想。在平时的教学中，对比联想的事例比比皆是，如在指数函数与对数函数的教学中，它们的定义域和值域、图象和性质，通过对比产生联想，有助于学生的学习和培养对比联想能力。
例4：已知x,y,z R ,x+ =y+ =z+
求证：x=y=z
[思路分析]：本题条件是一个连等式，可化简得到一个三元方程组
x2y+x=xyz+y
y2z+y=xyz+z
z2x+z=xyz+x
三式相加得等式x2y+y2z+z2x=3xyz①
联想到不等式x2y+y2z+z2x 3
即x2y+y2z+z2x 3xyz②
比较①式和②会发现当且仅当x=y=z时等式成立。
说明：运用对比联想（等式和不等式）解题可起到意想不到的效果。
（四）因果联想
因果联想是从某一事物出现某种现象，从而联想到它们之间的因果关系的一种思维方法。
（五）发散联想
发散联想就是在接触某一事物时产生丰富的联想，将思维向更广阔的空间，得出更丰富的结论。我们在讲解教材中的概念、法则、公式、例题时，应引导学生从不同的方面，不同的角度去联想，培养学生一题多解的发散思维能力。
如（ab）n=anbn,则(a1a2……an)n=?
(a+b)2=a2+2ab+b2,则（a1+a2+……+an）2=?
例5．如图正方形ABCD中，E为BC上任意一点，∟EAD的平分线交CD于F，求证：BE+DE=AE
[思路分析一]：由已知条件和结论可联想到将BE、DF放在一起，这样可将△ADF旋转到如图△ABF，的位置。
[思路分析二]：由题设中的直角三角形较多，
可联想到用面积来探索解题思路，
由S△ABE+ S△AECF+S△ADF=S正ABCD可得。
[思路分析三]：因条件中有角相等及直角关系，还联想到三角函数来解，设正方形ABCD边长为a，∠DAF=θ,
则BE=a tan( ),DF=a tan ,
∴BE+DF=a cot2 +a tan
=a.( + )
=a. =
而AE= = , ∴BE+DF=AE
说明：发散联想思维是一种很重要的思维能力，它能导致许多科学发展创造，如：飞机、潜艇等。
四、培养学生联想 《教育教学论文|数学教学中发展学生联想能力的实践与认识(第2页)》
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在解题过程中为了寻找问题的解决线索，往往借助于类比联想，以达到启发思路的目的，因此，类比联想在求解问题中有着广泛的应用。在解题教学中采用类比教学，可以达到梳理知识、归纳题型、总结解题方法，这样做既有利于学生记忆和掌握所学知识，又有利于培养学生联想思维的灵活性。
例1． 求证：若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0则x,y,z成等差数列。
[思路分析]：观察已知条件的外形，可联想到一元二次方程的根的判别式
△ =b2-4ac非常相似，则类比题设可以构造一个一元二次方程来求解。于是我们可把已知条件看作是t的二次方程 （x-y）t2+(z-x)t+(y-z)=0有等根的条件。
再次观察还可以发现方程左边的系数之和为零，故方程有两个根为1，于是由韦达定理得：t1t2= =1
说明，由本例可见，一般的类比联想解决问题线索为：观察——类比——联想。
例2． x R,求函数y= + 的最小值.
[思路分析]：求这样的无理函数的最值，用代数法直接求解较难，可由条件联想到距离公式，作如下变形：
y= +
设p(x,0),A(-1,-1),B(2,2)如图1所示，
于是求y的最小值转化为求x轴上一点p，
使 ︱PA︱+︱PB︱最小显然是︱PA︱+︱PB︱≥︱AB︱=3
∴当x=0时,y =3
说明由“数”到“形”的类比联想，获得解题的新思路。
(一） 接近联想
接近联想是指在相互接近的事物之间形成的联想。接近联想是从已知探索未知的有力武器。化学元素周期表的发现便是有力的例证，在数学教学中我们要培养学生学会观察问题的条件和结论，联想到与之内容相近的有关知识，从而发现解决问题的思路。
例3：设(x-3)2+(y-3)2=6，试求
(1)y/x的最大值、最小值；（2）x2+y2最大值、最小值。
[思路分析]：已知的方程代表一个圆Q，如图2，题中的点M(x,y)均在圆周上，观察第（1）题中的“y/x”
可以联想到直线OM 的斜率，
欲求y/x 的极值，就是要求直线OM的斜率的极值，即切线OT1，OT2观察第（2）题中的”x2+y2”,可以联想到距离公式，而x2+y2的极值就是OQ与圆Q的交点p1、p2到原点O的距离。因此，两个问题都不难解决。
说明：此题运用接近联想把相互接近的式子巧妙地联系在一起，再找出解题方法。
（三）对比联想
对比联想亦称相反联想。是指具有相反特征的事物或相互对立的事物之间所形成的联想。在平时的教学中，对比联想的事例比比皆是，如在指数函数与对数函数的教学中，它们的定义域和值域、图象和性质，通过对比产生联想，有助于学生的学习和培养对比联想能力。
例4：已知x,y,z R ,x+ =y+ =z+
求证：x=y=z
[思路分析]：本题条件是一个连等式，可化简得到一个三元方程组
x2y+x=xyz+y
y2z+y=xyz+z
z2x+z=xyz+x
三式相加得等式x2y+y2z+z2x=3xyz①
联想到不等式x2y+y2z+z2x 3
即x2y+y2z+z2x 3xyz②
比较①式和②会发现当且仅当x=y=z时等式成立。
说明：运用对比联想（等式和不等式）解题可起到意想不到的效果。
（四）因果联想
因果联想是从某一事物出现某种现象，从而联想到它们之间的因果关系的一种思维方法。
（五）发散联想
发散联想就是在接触某一事物时产生丰富的联想，将思维向更广阔的空间，得出更丰富的结论。我们在讲解教材中的概念、法则、公式、例题时，应引导学生从不同的方面，不同的角度去联想，培养学生一题多解的发散思维能力。
如（ab）n=anbn,则(a1a2……an)n=?
(a+b)2=a2+2ab+b2,则（a1+a2+……+an）2=?
例5．如图正方形ABCD中，E为BC上任意一点，∟EAD的平分线交CD于F，求证：BE+DE=AE
[思路分析一]：由已知条件和结论可联想到将BE、DF放在一起，这样可将△ADF旋转到如图△ABF，的位置。
[思路分析二]：由题设中的直角三角形较多，
可联想到用面积来探索解题思路，
由S△ABE+ S△AECF+S△ADF=S正ABCD可得。
[思路分析三]：因条件中有角相等及直角关系，还联想到三角函数来解，设正方形ABCD边长为a，∠DAF=θ,
则BE=a tan( ),DF=a tan ,
∴BE+DF=a cot2 +a tan
=a.( + )
=a. =
而AE= = , ∴BE+DF=AE
说明：发散联想思维是一种很重要的思维能力，它能导致许多科学发展创造，如：飞机、潜艇等。
四、培养学生联想 《教育教学论文|数学教学中发展学生联想能力的实践与认识(第2页)》
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