教育教学论文|数学教学中发展学生联想能力的实践与认识
能力的做法
联想能力的提高是改善学生思维品质的可靠保证，在平时的教学中不只是注重课本知识，更注重培养学生能力。一方面,因为联想往往要利用头脑中已有知识及解题方法，去探索新问题的解题途径，所以学生不仅要理解基础知识，而且还必须通过亲自体验，即通过例题习题来巩固，形成一种思想上的飞跃，以建构自己的知识网，这样才能举一反三，产生联想 。另一方面，在平时教学中不能拘泥于简单的“做”，联想是有条件的，是在对基础知识熟练掌握及运用的基础上，进行思考、反省、是高级智力活动，过度的讲与练，会剥夺学生独立思考、自由发挥的机会，产生负面效应，应讲究一个“度”。
例6：设0＜x＜1,0＜y＜1,求证: + + +
[思路分析1]：观察不等式左边的特征，
联想到几何中两点的距离公式，
可将问题转化为正方形OABC 内点p(x,y)
到点A，B，C，O的距离之和不小于2 。（如图）
即︱OP︱+︱BP︱+︱PA︱+︱PC︱≥︱OC︱+︱AB︱=2
[思路分析2]：观察不等式左边每项被开方数都是两个正数，故而联想到基本不等式：a2+b2≥(a+b)2/2 (a＞0,b＞0)
原不等式左边≥ (x+y)+ (1-x+y)+ (x+1-y)+ (1-x+y)
即左边≥2
[思路分析3]：观察不等式左边各项特征 ，联想到复数模的性质，设Z1=X+Yi，Z2=（1-X）+Yi，Z3=x+(1-y)i,Z4=(1-x)+(1-y)i,
所以原不等式左边也转化为 ｜Z1｜+｜Z 2｜+｜Z 3｜+｜Z 4｜≥｜Z 1+ Z 2+ Z 3+ Z 4｜=｜2+2i｜=2
还可以联想到正弦、余弦的三角函数，函数的极值等等，这样即复习了代数几何知识，又培养学生联想思维能力。
例7：是否存在这样的二次函数f(x)=ax2+bx+c,使它的图象过点M(-1,0)且满足条件对一切切实实x∈R都有x≤f(x) ≤ (1+x)
[思路分析]:单从结构上联想，就近挂靠基本不等式及其变形，直接建立它与ab≤( )2≤ （a,b∈R）的联系，设a=1,b=x,所以f(x)=( )2= x2+ x+ ,且过点（-1，0），合乎题意，还可以构造例题：是否存在这样的二次函数其过点（-n ,0）,且对一切实数x满足nx≤f(x)≤ (n +x ).
说明，一道好的数学题字里行间无不散发着大量信息，由此展开丰富的联想，大胆的创新，直至关键的突破。
例8:设x∈[ , ],求证cscx-cotx＞ -1
[思路分析]由 ,1联想等腰直角三角形,不仿构造一个等腰直角三角形来研究.
作RT△ABC,令∠C=90.AC=1在AC上取一点D,设∠CDB=X,则BD=cscx,CD=cotx,AD=1-cotx利用AD+DB≥AB=
可得cscx-cotx≥ -1
说明:在教学中启发学生通过敏锐的观察、丰富的联想,构造数学模型解题。
总之，在教学中培养学生的联想能力要有一个过程，要体现层次，要充分让学生思考，教师加以积极的引导，鼓励他们联想，而不应将解题思路、定理结论等强加给学生。这样才能更好地培养学生的联想能力，提高他们分析问题、解决问题的能力。
下面是我在平时数学教学中一个关于培养学生联想能力的教学案例。
课题：三角函数的解题技巧
在解三角函数的具体问题时，我们常需要通过丰富的联想、灵活的构思、创造性的思维等能力构造数学模型来解决问题，因此在平时教学中我常设计这样的习题课，让学生积极想象，找出解题思维。
例1：若0＜β＜α＜ ，求证α-β＜tanα-tanβ
通过此题，学生热烈讨论后（讨论了许多思路都行不能）教师可适当提示，最后总结出用单位圆中的三角函数线求解。
例2：在△ABC中，已知2b=a+c，且a＜b＜c,C-A=90。
求证：sinA:sinB:sinC的值.有些同学很快由a:b:c=sinA:sinB:sinC
可如何求 a:b:c呢？又由C-A=90。，联想到相似三角形，根据相似三角形性质及勾股定理来求出三边之比。（△ABC～△CBD）
例3：设m是给定的非零常数，f(x)定义在R上，且对任意x。，有f(x+m)=
求证：f(x)为周期函数、并求其周期。
此题属于抽象函数题较难，同学们讨论分析的时间也最长。最后在教师的指导下，由f(x)为周期函数联想到三角函数，再由条件f(x+m)=
的结构联想到正切公式tan(x+ )= 因为tanx的周期是π，恰为π/4的4倍，因此同学生们猜想f(x)的周期有可能为4m，有些同学并给出如下证法：
f(x+m)=
f(x+２m)=f(x+m+m)=-
f(x+3m)=f(x+2m+m)=
f(x 《教育教学论文|数学教学中发展学生联想能力的实践与认识(第3页)》
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联想能力的提高是改善学生思维品质的可靠保证，在平时的教学中不只是注重课本知识，更注重培养学生能力。一方面,因为联想往往要利用头脑中已有知识及解题方法，去探索新问题的解题途径，所以学生不仅要理解基础知识，而且还必须通过亲自体验，即通过例题习题来巩固，形成一种思想上的飞跃，以建构自己的知识网，这样才能举一反三，产生联想 。另一方面，在平时教学中不能拘泥于简单的“做”，联想是有条件的，是在对基础知识熟练掌握及运用的基础上，进行思考、反省、是高级智力活动，过度的讲与练，会剥夺学生独立思考、自由发挥的机会，产生负面效应，应讲究一个“度”。
例6：设0＜x＜1,0＜y＜1,求证: + + +
[思路分析1]：观察不等式左边的特征，
联想到几何中两点的距离公式，
可将问题转化为正方形OABC 内点p(x,y)
到点A，B，C，O的距离之和不小于2 。（如图）
即︱OP︱+︱BP︱+︱PA︱+︱PC︱≥︱OC︱+︱AB︱=2
[思路分析2]：观察不等式左边每项被开方数都是两个正数，故而联想到基本不等式：a2+b2≥(a+b)2/2 (a＞0,b＞0)
原不等式左边≥ (x+y)+ (1-x+y)+ (x+1-y)+ (1-x+y)
即左边≥2
[思路分析3]：观察不等式左边各项特征 ，联想到复数模的性质，设Z1=X+Yi，Z2=（1-X）+Yi，Z3=x+(1-y)i,Z4=(1-x)+(1-y)i,
所以原不等式左边也转化为 ｜Z1｜+｜Z 2｜+｜Z 3｜+｜Z 4｜≥｜Z 1+ Z 2+ Z 3+ Z 4｜=｜2+2i｜=2
还可以联想到正弦、余弦的三角函数，函数的极值等等，这样即复习了代数几何知识，又培养学生联想思维能力。
例7：是否存在这样的二次函数f(x)=ax2+bx+c,使它的图象过点M(-1,0)且满足条件对一切切实实x∈R都有x≤f(x) ≤ (1+x)
[思路分析]:单从结构上联想，就近挂靠基本不等式及其变形，直接建立它与ab≤( )2≤ （a,b∈R）的联系，设a=1,b=x,所以f(x)=( )2= x2+ x+ ,且过点（-1，0），合乎题意，还可以构造例题：是否存在这样的二次函数其过点（-n ,0）,且对一切实数x满足nx≤f(x)≤ (n +x ).
说明，一道好的数学题字里行间无不散发着大量信息，由此展开丰富的联想，大胆的创新，直至关键的突破。
例8:设x∈[ , ],求证cscx-cotx＞ -1
[思路分析]由 ,1联想等腰直角三角形,不仿构造一个等腰直角三角形来研究.
作RT△ABC,令∠C=90.AC=1在AC上取一点D,设∠CDB=X,则BD=cscx,CD=cotx,AD=1-cotx利用AD+DB≥AB=
可得cscx-cotx≥ -1
说明:在教学中启发学生通过敏锐的观察、丰富的联想,构造数学模型解题。
总之，在教学中培养学生的联想能力要有一个过程，要体现层次，要充分让学生思考，教师加以积极的引导，鼓励他们联想，而不应将解题思路、定理结论等强加给学生。这样才能更好地培养学生的联想能力，提高他们分析问题、解决问题的能力。
下面是我在平时数学教学中一个关于培养学生联想能力的教学案例。
课题：三角函数的解题技巧
在解三角函数的具体问题时，我们常需要通过丰富的联想、灵活的构思、创造性的思维等能力构造数学模型来解决问题，因此在平时教学中我常设计这样的习题课，让学生积极想象，找出解题思维。
例1：若0＜β＜α＜ ，求证α-β＜tanα-tanβ
通过此题，学生热烈讨论后（讨论了许多思路都行不能）教师可适当提示，最后总结出用单位圆中的三角函数线求解。
例2：在△ABC中，已知2b=a+c，且a＜b＜c,C-A=90。
求证：sinA:sinB:sinC的值.有些同学很快由a:b:c=sinA:sinB:sinC
可如何求 a:b:c呢？又由C-A=90。，联想到相似三角形，根据相似三角形性质及勾股定理来求出三边之比。（△ABC～△CBD）
例3：设m是给定的非零常数，f(x)定义在R上，且对任意x。，有f(x+m)=
求证：f(x)为周期函数、并求其周期。
此题属于抽象函数题较难，同学们讨论分析的时间也最长。最后在教师的指导下，由f(x)为周期函数联想到三角函数，再由条件f(x+m)=
的结构联想到正切公式tan(x+ )= 因为tanx的周期是π，恰为π/4的4倍，因此同学生们猜想f(x)的周期有可能为4m，有些同学并给出如下证法：
f(x+m)=
f(x+２m)=f(x+m+m)=-
f(x+3m)=f(x+2m+m)=
f(x 《教育教学论文|数学教学中发展学生联想能力的实践与认识(第3页)》
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