CAI与中学数学教育
败了，它留给世人一连串深刻的思考和教训，其中重要的一条是：对欧几里得几何这份宝贵的历史遗产的改造要持慎重态度。
当前这场争论仍在继续。例如，在计算机飞速发展的今天，计算机不仅能快速的进行计算，还能进行机器证明。于是一些数学家包括最著名的数学家提出：几何教改的方向就是几何的代数化、几何证明的机械化。另一些数学家其中也包括最著名的数学家则对此表示了担心。英国数学家M. 阿蒂亚(M. Atiyah)认为几何直观是增进数学理解力的有效途径.，欧氏几何在学校的衰落是件不幸的事。我国数学家丁石孙教授认为。“由希腊人开创的几何永远是教育中训练思维的最好工具”。于是，“几何教改向何处去？”真成了难题。。一方面欧氏几何是珍贵遗产，另一方面又成为一个沉重的负担。要妥善地改造几何，就需要认真考虑几何的特点，几何在数学教育中的作用，学生学习几何感到困难的原因，特别是有了计算机几何教改可能有怎样的新思路。
M. 阿蒂亚(M. Atiyah)在“什么是几何”一文中是这样谈论几何的：“几何在希腊人手中成为数学的第一个分支并趋于成熟，这件事绝非偶然。究其基本原因，几何乃是最少抽象性的数学形式，它在日常生活中有直接的应用；而且不需花费太多的智力就能理解它。”“几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位。”在几何中直观和抽象是两个不同的侧面，而这两个侧面联系的又如此紧密。尽管几何中没有大小的点、没有宽窄的线、没有厚薄的面是十分抽象的“理想”世界的“理想”事物，但借助与视觉思维和生活经验并不妨碍人们理解它。在几何中人们抽象出的数学概念是相当多的，如平行线、相交线、垂直线、角、余角、补角、三角形、全等形、相似形、……，可以说人们在几何中抽象出的概念比代数多得多，然而这些概念的抽象都是以直观的图形为背景。变得不难理解，这是与代数的最大区别。或许正是由于这个原因，希腊人才从几何开始把注意力集中于对事物基本属性的准确把握，感受到数学抽象的巨大威力。数学也才从几何开始上升为一门系统的科学。
除开图形的直观性之外，系统化的演绎推理是几何的另一特征。欧几里得总结了前人的成果，从不多的几条精心选择的公理出发，推导出来一系列定理 (竟达近500条)。人们第一次从几何中看到逻辑的力量，人们理性思维的力量。通过概念的抽象化，再结合演绎推理，数学作为人类高度精神活动的实质被凸现出来了，从此数学成为一种哲学，影响了人类几千年的发展。
在分析了几何的特点之后，几何在数学教育中的作用就清楚了。数学不是作为一种教条让学生死记硬背就行了，数学也不是作为一项技能让学生反复练习就可以了。归根结底，数学教育应该提高人的思维能力，如此说来几何怎么能够大刀阔斧的砍掉呢？几何不应被看做是过时的老古董，只是由于它难学就采取枪毙的做法。事实上，几何是一种思维方式，这种思维方式的训练 对于智力发展可能受到高技术负面影响的新的一代是必不可少的。
让学生在几何教学中受到良好的思维训练，就要减少他们学习的困难，并激发他们的学习兴趣。这是否有可能呢？我们认为有必要反思我们的教学。
上面谈到，“几何乃是最少抽象性的数学形式，它在日常生活中有直接的应用；而且不需花费太多的智力就能理解它。”为什么不少学生感到几何难学呢？恐怕原因之一是从直观到抽象这个环节出了问题。几何又是用一大套定义、公理、定理精心编织的体系，而这些定义、公理、定理是用严谨抽象的语言表达的。多年来几何教学让学生背定义、背定理，而缺乏足够的几何图形作为抽象概念的基础。不少学生对所背的内容并不理解，他们当然感到枯燥困难。不少学生被迫记忆的是没有意义的单词组合。有些被歪曲地误解了，有些则似是而非。如对垂直关系许多学生只认识水平位置与竖直向下的直线，等腰三角形的顶角必须处于‘上面’的位置，直角三角形、圆周角也被学生顽固地放到特定位置。这表明学生并没有全面正确的抽象出概念，他们没有抓住事物最本质的属性。 另一个原因是片面强调逻辑思维训练，忽视了观察、实验、想象、猜测等方面能力的培养，于是本来生动、机智、充满创造力的整个数学思维过程不见了。教师经常代替学生思维的结果导致学生懒于思考并怀疑自己的智力。
在分析了学生学习几何困难的原因之后，我们指出计算机能够帮我们一些忙，教育技术能极大地开阔几何教改的思路，创造出传统教学不可能实现的奇迹。
首先谈谈动态的图形。利用计算机技术我们只需一两分钟就能画出动态的三角形、动态的特殊三角形、动态的互相垂直的直线、动态的圆周角等等。这给几何教学带来了转机。让图形说话!过去许多用口头用语言难以讲清楚的概念，现在一看图形就完全明白了。需要时只需轻轻一按鼠标将动态图形定格，就能得到变式图形，这为学生抽象出准确的概念提供了丰富的素材。再谈测算，过去必须用刻度尺与量角器进行度量，现在利用计算机能对线段、角度。面积等我们感兴趣的几何量(包括动态图形的几何量)进行及时的度量和计算。于是许多图形的几何性质，某些条件对图形性质的影响可以让学生自己去发现了。利用鼠标还能托动图形或其中的一部分平移、旋转或缩放，这不仅便于更深刻认识图形，还能直观地显示运动变换等数学思想。计算机还能顷刻隐藏或显示图形的某一部分，这使得图形的分解与综合都可以在学生眼前出现。通过多窗口显示能将几个图形加以对比或把某图形的一部分局部放大。通过菜单能随心所欲地切入画面、文字、声音，这使我们借助于计算机可以创设出最佳的教学情景。所有教过几何的教师面对计算机提供的上述帮助都会兴奋不已，当几何教改进退两难之时，教育技术无疑带来了希望的曙光。看来欧氏几何这一珍贵的遗产，不一定非成为沉重的包袱。
近来我们数学CAI课题组引入了“几何画板”，初步的反映表明：几何能成为最受学生欢迎的课程之一。计算机对几何教改的影响是深远的，它的确能改变学生对学习几何的态度和方法，提高他们对几何的认识能力。那么在教育技术的支持下几何教改的出路何在呢？我们的意见是不一定非要对欧氏几何动大手术 《CAI与中学数学教育(第5页)》
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当前这场争论仍在继续。例如，在计算机飞速发展的今天，计算机不仅能快速的进行计算，还能进行机器证明。于是一些数学家包括最著名的数学家提出：几何教改的方向就是几何的代数化、几何证明的机械化。另一些数学家其中也包括最著名的数学家则对此表示了担心。英国数学家M. 阿蒂亚(M. Atiyah)认为几何直观是增进数学理解力的有效途径.，欧氏几何在学校的衰落是件不幸的事。我国数学家丁石孙教授认为。“由希腊人开创的几何永远是教育中训练思维的最好工具”。于是，“几何教改向何处去？”真成了难题。。一方面欧氏几何是珍贵遗产，另一方面又成为一个沉重的负担。要妥善地改造几何，就需要认真考虑几何的特点，几何在数学教育中的作用，学生学习几何感到困难的原因，特别是有了计算机几何教改可能有怎样的新思路。
M. 阿蒂亚(M. Atiyah)在“什么是几何”一文中是这样谈论几何的：“几何在希腊人手中成为数学的第一个分支并趋于成熟，这件事绝非偶然。究其基本原因，几何乃是最少抽象性的数学形式，它在日常生活中有直接的应用；而且不需花费太多的智力就能理解它。”“几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位。”在几何中直观和抽象是两个不同的侧面，而这两个侧面联系的又如此紧密。尽管几何中没有大小的点、没有宽窄的线、没有厚薄的面是十分抽象的“理想”世界的“理想”事物，但借助与视觉思维和生活经验并不妨碍人们理解它。在几何中人们抽象出的数学概念是相当多的，如平行线、相交线、垂直线、角、余角、补角、三角形、全等形、相似形、……，可以说人们在几何中抽象出的概念比代数多得多，然而这些概念的抽象都是以直观的图形为背景。变得不难理解，这是与代数的最大区别。或许正是由于这个原因，希腊人才从几何开始把注意力集中于对事物基本属性的准确把握，感受到数学抽象的巨大威力。数学也才从几何开始上升为一门系统的科学。
除开图形的直观性之外，系统化的演绎推理是几何的另一特征。欧几里得总结了前人的成果，从不多的几条精心选择的公理出发，推导出来一系列定理 (竟达近500条)。人们第一次从几何中看到逻辑的力量，人们理性思维的力量。通过概念的抽象化，再结合演绎推理，数学作为人类高度精神活动的实质被凸现出来了，从此数学成为一种哲学，影响了人类几千年的发展。
在分析了几何的特点之后，几何在数学教育中的作用就清楚了。数学不是作为一种教条让学生死记硬背就行了，数学也不是作为一项技能让学生反复练习就可以了。归根结底，数学教育应该提高人的思维能力，如此说来几何怎么能够大刀阔斧的砍掉呢？几何不应被看做是过时的老古董，只是由于它难学就采取枪毙的做法。事实上，几何是一种思维方式，这种思维方式的训练 对于智力发展可能受到高技术负面影响的新的一代是必不可少的。
让学生在几何教学中受到良好的思维训练，就要减少他们学习的困难，并激发他们的学习兴趣。这是否有可能呢？我们认为有必要反思我们的教学。
上面谈到，“几何乃是最少抽象性的数学形式，它在日常生活中有直接的应用；而且不需花费太多的智力就能理解它。”为什么不少学生感到几何难学呢？恐怕原因之一是从直观到抽象这个环节出了问题。几何又是用一大套定义、公理、定理精心编织的体系，而这些定义、公理、定理是用严谨抽象的语言表达的。多年来几何教学让学生背定义、背定理，而缺乏足够的几何图形作为抽象概念的基础。不少学生对所背的内容并不理解，他们当然感到枯燥困难。不少学生被迫记忆的是没有意义的单词组合。有些被歪曲地误解了，有些则似是而非。如对垂直关系许多学生只认识水平位置与竖直向下的直线，等腰三角形的顶角必须处于‘上面’的位置，直角三角形、圆周角也被学生顽固地放到特定位置。这表明学生并没有全面正确的抽象出概念，他们没有抓住事物最本质的属性。 另一个原因是片面强调逻辑思维训练，忽视了观察、实验、想象、猜测等方面能力的培养，于是本来生动、机智、充满创造力的整个数学思维过程不见了。教师经常代替学生思维的结果导致学生懒于思考并怀疑自己的智力。
在分析了学生学习几何困难的原因之后，我们指出计算机能够帮我们一些忙，教育技术能极大地开阔几何教改的思路，创造出传统教学不可能实现的奇迹。
首先谈谈动态的图形。利用计算机技术我们只需一两分钟就能画出动态的三角形、动态的特殊三角形、动态的互相垂直的直线、动态的圆周角等等。这给几何教学带来了转机。让图形说话!过去许多用口头用语言难以讲清楚的概念，现在一看图形就完全明白了。需要时只需轻轻一按鼠标将动态图形定格，就能得到变式图形，这为学生抽象出准确的概念提供了丰富的素材。再谈测算，过去必须用刻度尺与量角器进行度量，现在利用计算机能对线段、角度。面积等我们感兴趣的几何量(包括动态图形的几何量)进行及时的度量和计算。于是许多图形的几何性质，某些条件对图形性质的影响可以让学生自己去发现了。利用鼠标还能托动图形或其中的一部分平移、旋转或缩放，这不仅便于更深刻认识图形，还能直观地显示运动变换等数学思想。计算机还能顷刻隐藏或显示图形的某一部分，这使得图形的分解与综合都可以在学生眼前出现。通过多窗口显示能将几个图形加以对比或把某图形的一部分局部放大。通过菜单能随心所欲地切入画面、文字、声音，这使我们借助于计算机可以创设出最佳的教学情景。所有教过几何的教师面对计算机提供的上述帮助都会兴奋不已，当几何教改进退两难之时，教育技术无疑带来了希望的曙光。看来欧氏几何这一珍贵的遗产，不一定非成为沉重的包袱。
近来我们数学CAI课题组引入了“几何画板”，初步的反映表明：几何能成为最受学生欢迎的课程之一。计算机对几何教改的影响是深远的，它的确能改变学生对学习几何的态度和方法，提高他们对几何的认识能力。那么在教育技术的支持下几何教改的出路何在呢？我们的意见是不一定非要对欧氏几何动大手术 《CAI与中学数学教育(第5页)》
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