椭 圆 及 其 标 准 方 程

椭 圆 及 其 标 准 方 程胡挺员 10月16日 《中学数学》  1 观察与实验（课外完成）   T：在自然界、科学界、技术界乃至我们的生活中都存在大量的“椭圆”形态，请大家注意观察，看能发现多少；并根据书上介绍的用绳子画椭圆的方法试着画些椭圆。   2 阅读与交流（1课时）   观察与实验的交流（略）   T：鉴于椭圆的重要性，我们有必要进一步对其进行定性和定量的研究。下面请大家阅读本节教材，对重、疑点作出标记，并尽可能用自己的想法进行解释。半小时后我们一起交流（教师巡回指导）。   T：下面我们开始交流。有疑的提问，无疑的为同学或者为我释疑。   S：（1）为什么要把“焦距”和“常数”设为2c和2a?而不设为c和a？   （2）在“设a2-c2=b2“时，为什么要规定”b>0"?   （3）是否可以按画圆的直观图的方法画椭圆？   T：（4）改变椭圆定义中“大于|F1F2|”结果如何？   （5）推导椭圆标准方程的方程变形过程是否为等价变形？   （释疑过程略）   3 探索与创新（课外完成）   T：江泽民同志多次强调指出：“创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力。”（《人民日报》1998年12月24日）。那么，对椭圆标准方程的推导你能否通过探索有所创新？下堂课展示大家的研究成果。   4 成果与点评（约1课时）   思路一：（S俞沧粟等）由A+B=2a，左边分子有理化，建立关于A、B的方程组，求出A或B，…   T：逆向思维、方程思想！   思路二：（S王一克等）由A+B=2a，为迅速去根号，寻找与之配偶的共轭根式A-B=？。令A-B=Z，与A+B=2a联立解得Z，进而求出A、B。…   T：求简意识、方程思想！   思路三：（S周元、李高艳等提出思路）受用细绳画椭圆的实验的启发（当两定点渐渐靠近重合为一点时，椭圆变为圆），试图寻找椭圆和圆的标准方程之间的联系。由圆x2+y2=a2各点的纵坐标缩短到原来的b/a倍得到椭圆x2+(a/b)2y2=1,即x2/a2+y2/b2=1。   T：实验的感知、理性的思索！   思路四：（S孙亮、王韵等）受例2启发，由两圆方程（x+c）2+y2=r2与(x-c)2+y2=(2a-r)2（r为参数）联立获得。   T：得益于对“曲线的方程”的深刻理解和转化的思想！   思路五：（S俞沧粟、孙亮等）由(x/a)2+(y/b)2=1联想Sin2a+Cos2a=1,为使两者沟通，想到了三角函数定义。利用分别以a、b为半径，以原点为圆心的两个同心圆进行构造（是一条获得椭圆参数方程的精彩思路）。   T：反思、联想、构造、数形结合。   思路六：（T）由A+B=2a直接平方整理，注意结构特征，进行合理运算——胆量与智慧的结合！   思路七：（T）一个定点、一个定值的情况我们熟悉，为此，先考虑一个定点F1和一个定长2a（拉成一条线段）的情形，由此可发现，椭圆就是以F1为圆心、2a为半径的圆的半径的外端点与F2的连线的垂直平分线与该半径的交点的轨迹——退一步，实现转化！选修“几何画板的学习和应用”的同学不妨在电脑上玩一玩，你将会获得椭圆之外的惊喜！   5 反思与伏笔   T：上面我们根据椭圆的定义得到了推导椭圆标准方程的许多思路（思路一~四、六），是由“形”到“数”的过程；又通过对标准方程的反思，获得了推导标准方程的新思路（思路五），是由“数”再到“数”的过程。还运用了以退求进的策略对椭圆作出了另一种解释（思路七），这显然是从“形”到“形”的收获。那么，你能否从“数”到“形”再作些研究？比如由a2-cx=aB进行适当变形，对椭圆作出新的几何解释？