取之规律 用之创造--《几何画板》教学方法研讨

取之规律 用之创造--《几何画板》教学方法研讨

[内容摘要] 在信息技术课中开设《几何画板》的选修活动课程，其教学目标是：用任务驱动教学，激活大脑，激发兴趣，激起灵感，构建问题，探讨规律，设计实验，勇于创造。在任务的驱动下，全身心地投入到对问题的求解上，通过认识、实践的不断变化过程中，悟出规律，构建模型，掌握创造性思维方法。打破定势思维，让触角伸向四面八方，从数学知识中要方法，要规律，要模型。启发学生发散思维。为学生创设了一个培养创新精神和实践能力的环境。在锲而不舍的探求中解决问题，引发创新的线索。

[关键词] 几何画板任务驱动探讨规律构建模型发散思维创新精神  《几何画板》作为电子尺规，是研究几何图形的关系，动态地观察几何图形运动状态，探索数学信息的有力工具。是一个很适合用于几何教学和学习的工具软件平台，同时又以CAI创作工具的形式出现，应用于代数、立体几何、解析立体几何、物理等其它学科的教学和学习中。在信息技术课中开设《几何画板》的选修活动课程，其教学目标是：用任务驱动教学，发挥学生的能动性，构建问题，探讨规律，发现特点，设计实验，勇于创造。

1. 熟，能，生巧

进入几何画板，打开几何世界之窗。教会学生用电子尺规工具熟练地作基本的几何图形。并能运用几何关系完成相对位置关系的几何图形，例如布置学生完成"作平行线族"，"从圆外一点向圆引切线"，"最少的步骤作一正方形"，见图1，让学生结合数学知识，充分发挥自己的想象力，在短时间内，尽可能多地运用画板中提供的功能，完成好课堂作业。几个简单的几何图形犹如一枚石子，在学生平静的心湖激起层层创造性思维的涟漪。有人巧妙地应用标识向量和平移实现"可控的"平行线族；运用两次的旋转变换作出了准确的正方形；连接圆心与圆外的一点的线段为直径作辅助圆，两圆交点即是所求的切点。以此类的例子作为授课的线索，拉开几何画板基本操作学习的序幕，旨在激活大脑，激发兴趣，激起灵感。

2. 任务驱动，寻求规律

在学生充分感知、兴趣盎然之时，为学生提供有代表性、规律性、创造性的范例，来诱发学生的观察力、判断力、想象力，使学生在任务的驱动下，全身心地投入到对问题的求解上，通过认识、实践的不断变化过程中，悟出规律，构建模型，解决问题，掌握创造性思维方法。

(1) 从实践认识中摸索规律

任务一：模拟"活塞运动"过程。

作如图2所示的模型（容易想到），但让它运动起来无论如何都不是"活塞运动"过程，而是l的伸缩运动。怎么办？通过反复的实践比较，学生们会摸索出让定线段l运动的规律，作出如图3的模型。

往下的任务是对图3进行加工美化，使之逼真地模拟"活塞运动"过程。

(2) 从数学知识中悟出规律

任务二：以参数p，作y2=2px的抛物线轨迹。

完成任务二可以给定p的实数值，通过测算变换画出抛物线来，那是真正意义上"画" 抛物线了，对抛物线几何性质的学习研究用处不大。这里要引导学生对抛物线定义和几何性质的钻研，因势利导，引发学生的创造性思维，悟出抛物线点运动的规律。作出如图4的模型。

从抛物线的定义知，焦点F与准线l的距离相等的点M的轨迹。这就是我们作抛物线的依据，同时从中垂线上点到线段两端点的距离相等中得到启发，于是之，作抛物线的步骤归结如下：

●在准线l上任取一点K，连结F ●作线段KF的中垂线 ●过K作X轴的平行线交中垂线于M

跟踪M点，当K点在l上往复运动，M点轨迹即为抛物线。拖动F点，改变参数p，观察抛物线形状，准线的位置。

获得的启示：要尽可能打破由方程做轨迹的定势思维，让触角伸向四面八方，从数学知识中要方法，要规律，要模型。启发学生发散思维。

3) 从发散思维中总结规律

任务三：作一定长的线段l的两端点在坐标轴上滑动过程的轨迹。

如图5，让定长的线段l的两端点在坐标轴上自由地滑动，也不是一件容易的事。指导学生求异、求新、发散思维，进行多角度联想，充分借用已有知识与技巧，独辟蹊径，构造线段滑动变换的运动模型。使发散性思维的成果熠熠生辉。构思巧妙，耐人寻味。

图6的模型形成：以O为圆心，l为半径作辅助圆；在辅助圆上任取一点p，过p分别向两坐标轴引垂线，交Y轴于M，交X轴于N。易证MN恒等于l的长度。这样点p绕辅助圆运动，而线段l就在坐标轴上自由地滑动。

学生在发散思维的诱导下，轻轻松松总结出运动规律，可真谓"四两拨千斤"。通过多层次的刺激，激发学生积极地思维，创造性地思维，使学生创造思维能力不断跃上一个个新的台阶。

3.发挥创造力的想象空间

《几何画板》为学生活用数学思想和方法创设了一个培养创新精神和实践能力的环境。它注重的是动态观察和分折计算，在锲而不舍的探求中解决问题，引发创新的线索。

例题：在直线l：y=x+3的上取一点P，过点P且以双曲线12x2-4y2=3的焦点为焦点作椭圆，求椭圆长轴长的最小值及此时P点的坐标与椭圆方程。

通过几何画板解决这个问题，在探索性的教与学的过程中，发现创新的命题和成果。在求得椭圆的两焦点为F1（-1，0），F2（1，0），探索P点在直线l:y=x+3上，做出长轴长2a的动态椭圆且求出长轴长2a的最小值。

具体步骤如下：

（1）建立坐标轴，画出两焦点F1（-1，0），F2（1，0）以及直线l：y=x+3上的任一点P。 （2）画线段PF1和PF2以P为圆心，线段PF1长为半径画圆交PF2的延长线于F3则PF3=2a。 （3）以F1、F2为焦点，长轴长F2F3=2a画椭圆： ●以F1为圆心，F2F3=2a为半径画圆； ●在所作的圆上任取一点Q，连接QF1，如图7； ●连接QF2，做QF2的中垂线，交QF1于N，如图8；

图7图8

随着Q在圆上运动，N点轨迹就是椭圆，如图9（隐藏一些辅助线）。

（4）如图10，拖动P点，观察椭圆的变化，当l：y=x+3与椭圆相切于P0时，P0点即是最值点。于是，以直线l：y=x+3为标识镜面，做F1反射点F1'，连结F1'F2交直线l于P0点，连结P F1'，则P F1'＝P F1，于是有：

2a = |PF1| + |PF2 = | P F1'| + |PF2| ≥ | F1'F2|

图9图10

同学们在构造椭圆的方法是很巧妙的,但同学们没有停留在构造椭圆上,而是通过改变决定椭圆形状的参数，非常直观、形象地了解这个图形系统对轨迹（椭圆）的影响，发现其中的几何关系,靠实验观察和逻辑推理相结合去归纳总结，逐步向目标状态（问题的解决）逼近。使对数学问题的探讨,通过实验、观察、归纳的方法去解决，起到事倍功半的作用。

《几何画板》提供了一个全新的学习数学的学习环境，学生在感性认识的基础上，调动了学习的主动性、提高了动手能力，培养了学习的探索与创造的能力。

[参考文献]

《几何画板》潘懋德

[作者简介] 陈 光 男 师大数学本科毕业中学高级教师 福建省中青年学科带头人